中考数学总复习一点通代数部分

第一部分代实数的运 (1)n1)n1

()(2)(3)

(2)2

1)(3) 2

23

25 82000 ：合理运用乘法分配律和使用anbn(ab)n1833333325)546.314444398

（3）

[(2)3(

1)22

51分析：（1）题可将 改写成(104

41题注意混合运算的顺序，不能先算(5) 5513【例3】已知a (c2)20，求13分析：利用a

≥0a2n≥0（n为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令aa、b、c的值，代入后本题a答案【问题一】下面由火柴棒拼出的一系列图形中n个图形是由n个正方形组成的，通过观察可 n

n

n

n ；（2）第n个图形中火柴棒的根数是 分析：观察各个图形的根数与图形个数n之间的关系，并由此归纳出第n个图形中火柴棒的根数。答案：（1）13；（2）3n1【问题二】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 数；当按顺序从第m个数到第n个数（m＜n）时，共数了 分析：探索规律，发现规律形式的考题是近年来中考热点题型。本题中，从第2个数数到第6个数6、75个数，而5＝7－3＋1，依此类推，不难探索其规律。答案：5、(nm训练 11、计算：1(1)3( 132、计算：232(23)2

[225(2)24)2 [(1)2n]2n1 3

19971998199920002001 4、如果2x3(2y1)20，那么(x 5、若1n(1)n0，则(1)n 6、如果a＝5，b＝3，比较大小：ab ba7、计算：0.12515(215)3＝ A、(23)224 B、(c)3(c)5C323)4

D、5

122

3、计算2 1

122

44

等于 1A、

4、设a355，b444，c533，则a、b、c的大小关系是 A、c＜a＜ B、a＜b＜ C、b＜c＜ D、c＜b＜ 1、计算（1）757181.4563.95

211131196 96

32 32111111 111111100个整数是什么求这100个整数的和121122223233请你将探索出的规律用自然数n（n≥1）表示出来 1234 ＝ 2345 ＝ 3456 ＝ 45671 ＝ 5（1）根据113135可得1352n1如果135 （2）观察式子：13

；2135

；21357(17)2按此规律计算1357 “和，……重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝，我们称它为数字“黑洞”，T为何

整1、单项式x2y3z的系数 ，次数 2、若3xn(m1)x1为三次二项式，则mn2 3、计算：(a3)4a3a 2x2y(4x3y2) (3x2y333x2y (2x2)(x1 4、已知xmy3与ynx4是同类项，则m ，n 5、如果ax2，ay3，则a2x3y 6、当m 时，x22(m3)x25是完全平方式7、计算：2b3c43c2b42bc2 答案：1、1，6；2、8；3a108x5y39x4y82x24m4n3；5、108；6、8或－2；76b211c216bc【例1】选择题 22A22

3

B、ab2a2C、ab(a22abb2)a3 D、a1a5a24a2、如果长方形的周长为4m，一边长为mn，则另一边长为 A、3m

B2m

C、m

D、m3如果多项式mx2mnxn与nx2mnxm的和是单项式下列m与n的正确关系 ）Am）4、化简

C、m＝0或n D、mnA、3 B、3 C、

D、

2分析：3题求得两个多项式的和为mnx2mn，要使这个二次二项式为单项式，1mn0即可；4题将式子前面变形12

2131，使31乘入后， 地使21、某校学生给“希望小学”邮寄每册a元的240册，若每册的邮费为书价的5％，则共 1公斤（不足1公斤按1公斤计算）需增加5角，则托运行李的费用C 3、如图：在△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，且∠C＝900，分别以AC、BC为直径 Ab 33题

问题一图 问题一图答案：1、a5%240；2、20.5(p1)；3 8

b2

2解：d，周长为l，4个小圆直径分别为d1、d2、d3、d4，周长分别为l1、l2l3l4ld(d1d2d3d4)＝d1d2d3d4＝l1l2l3l4，所以大圆周长与4个小圆周长之和相等，即两种方案用料一样多。每个车间每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检查其中两个车间这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示试求用b表示a的关系式1名质检员14b个成5（1）1

2a2ba2b或2a5b3b2 2a5b2a2b 2a2b＝3b2a2 另解：3b24b＝7.5（名 答：质检科至少要派出8名检验员训练1、多项式x55xny4y5是五次三项式 整数n可以取值 2、4x3x222 4x 3、计算2a33a24a xy2xyxy＝ abc2 ab2ab2

＝a2b2 4、如果4x25xm是完全平方式，则m 5、若x

y3

ymnx是同类项，则2mn 6、若x2xnx2mx6，则m ，n 8、某城市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6105个水龙掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少是 1、如果32273n，则n的值为 C、D、）A2a24a26aC2a2a3

B、2a23D、6a3m3am3、已知x23x5的值为3，则代数式3x29x1的值为 A、 D、 a1b

B、110%a D、110%a 15、如图：正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C、F为圆心，a为半径

5题6

B1a3

3

31、2a2b3b22a34ab2

2、a1a22a112a2a3、a2a24a416a 4、2a23a52a23a1xy12

3，zy12

，求xyzxyyzxz 2122232425262728256通过观察，用你发现的规律写出89的末位数字 x1x2x1x31x1x3x2x1x41x1x4x3x2x1x51……由规律可得x1xnxn1x 3、当x5时ax2003bx2001cx19996的值为－2，求当x5时，这个代数式的值4、本市出租车的标准为：3千米以内（含3千米）5元，超过3千米的部分每千米（1）x3y（3）x12x

（2）3x318x2（4）4xy22y③注意ab2nba2nab2n1b （2）3xx32 （4）2xy22x

x23xy10y

（2）2x3y2x2y2

（3）x242答案：（1）x2yx5y；（2）2xyx3yx2y；（3）x22x（1）4x24xyy2z2；（2）a3a2b2a2b（3）x22xyy22x2ya2ba1a1（三、二分组后再提取公因式（1）x44 （2）2x23x1

317 3172x

x 【例5】已知a、bc是△ABC的三边，且满足a2b2c2abbcac，求证：△ABC分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证abc，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式ab2bc2ca20，即可得证，将原式两边同乘以2即可。a2b2c2abbcac2a22b22c22ab2bc2acab2bc2ca2∴ab即△ABC

11

11

11

32

解：原式＝1

1112 2

23 23＝1323910911＝ 10 （2）计算：20022 01220002分析：分解后，便有规可循，再求12002的和。解：原式＝200220012002＝200212

＝2005【问题二】如果二次三项式x2ax8（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 能用形如x2pqxpq型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于a，由此可以求出所有可能的a的值。a的值可为7、－7、2训练1、9n2 2；2a2 2；am1bamc x22xyy2 x27xy18 xy210xy25 3、计算 ，2724627232 4、若a2a10，那么a2001a2000a1999 5、如果282102n为完全平方数，则n n6mn满足m2n

0，分解因式x2y2mxyn＝ 1、把多项式ab1ab因式分解的结果是

2、如果二次三项式x2ax1可分解为x2xb，则ab的值为 3、若9x2mxy16y2是一个完全平方式，那么m的值是（ A、 B、 4、已知2481可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是 （1）6xn114xn

（2）x23x22x23x（3）a2b22ab2b2a

2x2x26x8yy2252x

的值3、计算

4a、b、c是△ABC的三边，且满足a4b2c2b4a2c2，试判断△ABC的形状。a4b2c2b4a2c2得a4b4a2c2b2c2a2b2a2b2c2a2b2①②a2b2c③∴△ABCRt△试问：以上解题过程是④错在哪一步？（号；错误原因是；本题的结论应为。1-分【例1x21x为何值时，分式x2x2有意义x21x为何值时，分式x2x2A 中B若B＝0，则分式两

B

的值为零的条件是A＝0且

a24aaa

a

x x2xx2（3）12

x1

xx x2x

x2（1）答案

a

x

xx（1）2

2xyxyxyxy

（2）1 1 1

1 1 22用其结果再与1x2相加，依次类推

1

1 答案：（1）xy；（2）1【例4x

1 1 （1）已1 x2

，求1

1x

x2

、ytan

1

2x

x22xyy

x2

xy

3x

x2y2xx

11 2x2211 2∵x22∴12x2

1

x222∴ 222x223（2）∵x4sin300101，ytan60033xy213 3【例5

1 x1 已知3x2

xy2y

ya

yx2y

已知

3a10

a4

2x∵3x2xy2y2∴3x2yxy∴xx

yxy3y时，原式＝－3；当xy时，原式3（2）∵a23a10，a∴a1aa

1∴

a4

＝a2 ＝aa

2＝322aa【问题一题初中数学中有这样一段叙述要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正100千克，乙每次购粮用去100元假设x、y分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克。试用含x、y的代数式表示：甲 元；乙两次共千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1 ； 解：（1）第一次购买粮食付款100x元，第二次粮食付款100y元，两次共付

100乙第一 粮

千克第二次粮x

千克故两次 粮食

千克 y 100x100 x

∴Q1＝100100

；Q2＝ 100＝x （2）要判断谁更合算，就是判断Q1、Q2的大小，小的更合算些x

x∵Q1－Q2

xy＝2xy且xxy2＞02xQ1Q2＞0故Q1Q2

c22a23b2c2【问题二】已知a、b、c为实数，且满足

的值

(b3)c

a b解：由题设有2a23b2

，可解得a＝2bc2c2

，c1∴a

12 b12

＝2

3332 333

12 ab12

abb

abc

abbcc，

的值

abc

abb

abckabc∴abcabc

abk，即ackbckk1abck＝1abck＝1时，原式＝k13＝8；当abc0时，原式abbcc∴

＝8或训练

x2x27xx1、当 时，分式x24有意义 当 时，分1x

x当 时，分2、计算

12

当

2

的值为－1x2

x2

y ①1

② y

x

x2 m

n

a2a1

a 3、已知113。则分式2x3xy2y的值 x2xy 3x4、若x＜03x5

x

的值是整数，则整数x的值

x3x

1x6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值： x2

x 7、已知3a4b

2a23ab a28、若ab7ab12

a2b2 9、若11 ，则 a a 10、若

2xx1x2

Ax

x

恒成立，则 11x25x10x2xx2

1 x12

bc

ac

a

kk＜0ykxk形面积 x

x2 、

y2

3a

x2

3x

a

x A、1 B、2 C、3 D、4x22x 2、已知x26x9的值为零，则 的值是 1A、－19

1B、191

D、13、甲瓶盐水含盐量m

n

m

m

4xyx

y1，则用x的代数式表示y得 yAy

xx

By

11

Cy

11

Dy

xx154x3y6z0，x2y7z0（xyz0

2x23y26zx25y27z

的值 A、 B、 C、 x23x126x25x19970

x

的值是 A、 B、 7x

x

2xx2

xA、 C、 D、1、3xx2

x x2

x24x

x2 2x3、 m

mnn2

44a2

a1a1 m22mnn

m2n2n

a2a

a a1a2ax

x

2xx211x＝x1x1x1x ＝x32x ＝x32x ＝x 笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本，可买多少

【例1】填空题（1）32的平方根

的算术平方根 ；52的算术平方 ；38的立方根 （2）若

b是a的立方根，则a ；若b的平方根是±6， b2

12x有意义，则 ；若3 有意义，则x 1111

m0，则 ；

3a1，则 ；ax1，则axa

有意义，则x的取值范围 22

有意义，则

aa＜0，a

a ；若b＜0

ba3b ab23 ，1 ab23 1m≤0，a3

（6）2a，【例2】选择题3x3x

3x3xaaA、x≥3 B、x≤1 C、1≤x≤3 D、1＜x≤aaA、

C、3a3

D、 3、若x＜2x223x的正确结果是）B、C2xD、54、式子 ax（a＞0）化简的结果是 AxBxCxDx【例3】解答题a已a

1

，求a 51a51amn都是实数，且满足na

m24m24 4m2

， a分析：解决题（1）的问题，一般不需要将a的值求出，可a

1

5等式两边同5aa

3，再求a

1aa

a

1aa

aaa中，由被开方数是非负数得m2，但分母m20，故m2，代入原等式求得n的值aaa

1

得a5a5

7，a

1aa

a

1aa

4aa

5m24511（2）4m2

m2n2m2∴4】已知a

1313

13，求13

abba 的abbaa、b的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故abab的值也可以求出ab

312

3＝2

，ab31231 ab33

ab

＝aba3【问题一】3

2

1

4 34

3254 的大小 325424n 324n

nnnnnn132 2 1≈1.414－1＝0.323 344

2 235443nnn 3 2 235443nnnnnnn

nn

＝

nnnnnn12n2n1 1nn1 nn nn

nnnnn n1nn n n1n1 n nnnnnnnnn a2b4ab2a

（0a2b b(a b(a24ab4b2a a aaa aa

＝ ab(a＝ ab(aaaaaa2b a＝ 训练1、212的平方根

3的算术平方根 ； 的3 2、当

3a2无意

有意义的条件 2223a

的平方根是±2，那么a a2ba2b2ab2

4a3b与b12ab6是同类二次根式，则a ，b

b，则a、b应满 aba6、把根号外的因式移到根号内

；当b＞0时 x x11(a11m27、若m0.04，则2m m238、若m＜0，化简：2mm 39、

15321532

3)13333 C、 D、0和2、

、 2、 aax

3 3A、0没有平方 B、－1的平方根是 C、4的平方根是－2D、32的算术平方根是464 46

16的算术平方根是 6aaaa 5、对于任意实数6aaaa

D、a a

a767

的小数部分为b，则b(b4)的值是 A、 127、若x ，则x22x112222 B、2 2228、如果1aA6

，29xB、29x

a2的值是 a22aa22a2

1x1x

；②(ab)(ab)

a2a1

；⑤0.75 aa4b4323a a2b3（aa4b4323a2 2

3a3aa3aa1a4a

（a

2(4a(4a3

D、133(4aa133(4aa2a12a2b22 a2b22

12③3

27

49 5；④349

33 ；⑤33

5 55 5133A、0 B、1 C、2 13313、已知a

，b

2，则a与b的关系是 Aa

Ba

C、a D、ab1b1236 2363723。A323723。

222831、

9 9

5152四、已知x

，求x33

1xx

2x

2xx1 2 3 991 1 2 3 991

a21a1

a22aa22a

，其中a 2 六、已知A4ab3a2a2的算术平方根B3a2b92b是2b的立方根，求2 n次方七、已知正数a和b，有下列命题ab2，

若ab3， ≤32ab6，

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若ab9， 237，33 3237，33 3，443 47

m已知m为实数，化简：m解：原式＝＝m

m11

方程与一次方程（组）及解精典例题【例1】解方程2(x1

x33

7x2x7

k(x

k(x

1【例2】若关于x的方程：105k的值

3x

1

与方程52(x1) 3分析：由“解相同”的定义，将方程52(x1)k的方程，解之即可k

的解代入第一个方程，建立一个3【例3】在代数式axbymx＝2y＝3m＝4x＝－3＝－6m＝4时，它的值是4；求a、b的值分析a、b的二元一次方程组，侧重分析如何选择使用加减法或代入a答案： b 【问题一】要把面值为10元的换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人 A、5 B、6 C、8 D、10略解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的各为x、y张（x、y为非

y102x，0x≤5x为整数x＝0、1、2、3、4、51DxEB1【问题二】如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，1DxEB1当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用3小时，求CE的长；若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为CEx千米x＝0.4A→D→C→B→E→A环线和环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9

A问题二训练1、若(32x)∶2＝(32x)∶5，则x

2x 与 x

x3的值互为相反数，则x axby3、已知y1是方程组4xby

的解，则ab 4

1a

与 是同类项，则m 3 B、 5xy x2y2、已知方程组ax5y4与

有相同的解，则a、b的值为 ab

ab

by

ab

ab3xyk3、若方程组x3y

的解x、y满足0＜xy＜1，则k的取值范围是 A、2＜k B、2＜k C、－4＜k D、－4＜k草的人数是植树人数2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？解题时若设支援拔草的人数有x人，则下列方程中正确的是（）A、32x2

B、32x2(38

C、52x2(18

D、52x21 x

1.8

0.03

x1 33

4

2x3y

x1y22(x3、 4、 3x2y

x3y

2y 2x＝1、2、3时ax2bxc2、3、6，求a、bc22a五、已知a、b2a

b

0，解关于x的方程(a2)xb2a1知识考点

不等式与一元一次不等式（组）了解一元一次不等式、一元一次不等式组的概念，能熟练地运用不等式的性质解一元一次不等精典例题【例1

y13

y≥2

y6

1，并在数轴上表示出它的解集yx2(x1)【例2】解不等式组2x5

答案：－1xxy【例3】求方程5x3y

分析k必为正整数，由方程组可解得用含k的代数式表示xyxy零，可得出不等式组，解出k的范围，再由k为正整数可得k＝6、7、8，分别代入可得解x x答案：k＝6时y2；当k＝8y 【问题一】已知不等式3xa≤0，的正整数解只有1、2、3，求a 略解：先解3xa≤0x3a

3

允许的范围3

＜4，解得9a＜12a”二a只是种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为xyx之间略解：（1）设生产A种产品x件，那么B种产品(50x件，则9x4(50x)3x10(50x)

解得30xx＝30、31、32，依x设安排生产A种产品x件，那么y700x1200(50整理得y500x60000（x＝30、31、x＝30时，对应方案的利润最大，最大利润为45000元训练①3x1是非负 ；②2x5不大于 ③a的2倍减去－3的差是负 2、若abm①m2a m2b ②m＞m，则 mb3、

m2，则不等式82m≥0的整数解 (24、当1x＜2x(2

x24xx24xx2b5、若不等式组2xa1的解集为－1＜x＜1，那么(a1)(bx2b52x6x的不等式组xa

无解，则a的取值范围 1、下列各中，不满足不等式2(x5)x8的解集的是 2、对任意实数a，下列各式中一定成立的是（ Aa

Ba

Ca

D、a3y

x的自变量x的取值范围是 xA、x B、x C、x D、x≥－5且x4y

的自变量x的取值范围是 xxxx2A、x≠1 B、x≠－1 Cxxxx21y

x

2、y ；3、y

4y

2x2xx2xx2

(x1)1，并把解集在数轴上表示出来 22

x

x(x1)(x3)(x3x4(x2)3

1

2x 33(x1)5xxx3

2x3

五、已知a33a，当a为何整数时，方程组3x6y5x11y

的解都是负数六、将若干只鸟放入若干个笼子，若每个笼子里只放4只，则有一只鸟无笼可放；若每个笼子放5只，

【例1】分别用公式法和配方法解方程2x23x键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。解：化方程为标准形式得2x23x2∵a＝2，b＝－3，cb b2b b21x1＝2x2＝2。1

2

3((3) (3)2424解：化二次项系数为1得

3x23x313x31 13122222配方得(x

3)24

开方得x4

4

移项得x

3 1x1＝2x2＝21（1）7(2x3)228 （2）y22y3992x2125x （4）(2x1)23(2x1)2（2）（3）∴(2x3)22x3 2x3 x1＝2x2＝2（2）∵y

2y399

(25)(25)2422∴y22yy22y1399

＝25245 (y1)2y1

5 x2 y1y1＝21y2＝－19（3）∵2x212

∵(2x1)23(2x1)2∴[(2x1)1][(2x1)2]即(2x2)(2x3)∴2x2

5x1

2x202x33x1＝－1x2＝ 3∵a＝2，b＝25，c bb2bb2【例3】已知(a2b22a2b260，求a2b2是以a2b2注意a2b2的值应为非负数a2b2看作一个整体，分解因式得：[(a2b23[(a2b22](a2b230或(a2b22a2b2＝3a2b2但是a2b2＝－2∴a2b2【问题一】解关于x的方程(a1)x22axa（12（2）a≠1∵判别式△＝(2a)24a(a1＝a＜0时，原方程没有实数根②当a＝0时，原方程有两个相等的实数根x1＝x2③当a＞0且a≠1时，原方程有两个不相等的实数根 ＝a a axxxx(502x)(302x)1502解得x1＝6.05x2＝56.95（舍去 问题二训练1、方程x25x的根 ；方程x(x1)2的解 2、设(x1)(x2)0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x12x2 3、已知关于x的方程4x24kxk20的一个根是－2，那么k 4、x x 3

＝(x )1、用直接开平方法解方程(x3)28，得方程的根为 3Ax33Cx13

2，x232

Bx322Dx1322

33，x23332、在实数范围内把x2x22A、(x2)(x12

22B、(x2)(x122C、(x

2)(x1

D、(x

2)(x1 3、方程x23x20的实数根有 A、 D、4、若关于x的方程(k215)x2k(2x21)5有无穷多个解，则 A、k≠－3且k≠5B、k＝3或k C、k D、k为任意实5、如果是方程x23xm0的一个根，是方程x23xm0的一个根，那么的 A、1或 B、0或 C、－1或 D、0或1、x25x20 2、9(2x3)24(2x5)23、

x

x60；4、(6x7x)2(6x7x) x1 5四、已知a、b是方程x23x 50的两个正根，c是方程x29的正根，试判断以a5b、c为边的三角形是否存在？并说明理由x23x20的两根是方程2x25x3六、已知△ABC的两边AB、ACx的一元二次方程x22k3)xk23k20的两个实数根，第三边BC的长是5。k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长【例1m取什x的方程x22(2m1)x2m2)20；4

【例2m取何值，方程9x2m7)xm30都有两个不相【例3m为什x的方程(m24)x22(m1)x10有实根分析方程应分m24＝0和m2≠0略解m24＝0m2时，2(m1≠0m2≠0m2时，方程有根的条件是△＝2(m5

4)8m20≥0，解得m2∴当m≥ 且m2时，方程有实根25综上所述：当m≥ 52x的方程k2x22k1)x10有两个不相等的实数根x、x，问 k，使kk

k2 2k1)4k

化简得kx1x2

2k1k

k 建新围栏的价格是每米4.5元若计划修建费为150DE120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少DE略解：设CF＝DE＝x，则

x

F修建总费用为：1.75

问题二6.25x 条件是：10xx（1）6.25x 150x ∴能完x（2）6.25x

x

120

120x900∵△＜0此方程元实 训练1、下列方程①x210；②x2x0；③x2x10；④x2x0中，无实根的方程 2、已知关于x的方程x2mx20有两个相等的实数根，那么m的值 3、如果二次三项式3x24x2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围 4、在一元二次方程x2bxc0中(bc，若系数b、c可在1、2、3、4、5 1x1xxx

2y6 y

2

Dx23x22、若关于x的一元二次方程(m2)2x2(2m1)x10有两个不相等的实根，则m的取范围是 3Am34

Bm4

Cm

且m D、m≥

m3、在方程ax2bxc0（a≠0）中，若a与c异号，则方程 三、试证：关于x的方程mx2(m2)x1必有实根。四、已知关于xx2mx2mn0的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m、n的五、已知关xx22m1)xm22

有两个不等实根，试判断直线y2m3)x4m7能否通过A（－2，4），并说明理由x的方程x22(m2)xm20，问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。七、已知n＞0，关于x

(m2n)x

mn0有两个相等的正实根，求n

【例1】关于x的方程2x2kx410的一个根是－2，则方程的另一根 k 52

【例2xx是方程2x23x50的两个根，不解方程，求下列代数式的值 （1）x2x

x

x23x2 略解：（1）x2x2＝(xx)22xx＝7 (xx)24x(xx)24x 1

1 1＝2 （3）原式＝(x1x2)

3x2)＝745＝12【例3】已知关于xx22(m2)xm250有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16m的值。分析：有实数根，则△≥0x2x2xx16，联立解得m 1x1x22(mxx1

m2x2x2x

14(m2)24(m25)m1m15，又由④可知m4m15舍去m【问题一】xx是关于x的一元二次方程4x24(m1)xm20的两个非零实 根，问x1x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若 略解：由32m16≥0m2x1x2m1x1x24mx1x2（1）若x1＞0，x2＞0，则xx ，解得m＜1且m∴m≤2

m

1x1x2 （2）x1＜0x2＜0，则xx

，解得m＞1与m 211综上所述：当m2

m≠0【问题二】xx是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根 3是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x22成立？若存在，求出k的值；若不存在求

2的值为整数的实数k∵x1x21，x1x2

k1∴(2xx)(x2x)2(xx)29x 1k9∴k

9，而k5

(xx)2 （2）122＝ 4＝

，要使

的值为整数，而k

k

kk1只能取±1、±2、±4，又kk的值为－2、－3、训练 1、设x、x是方程x4x20的两根，则 1 ；②x xx xx (x11)(x21 2、以方程2x2x40的两根的倒数为根的一元二次方程 3、已知方程x2mx450的两实根差的平方为144，则m 4、已知方程x23xm0的一个根是1，则它的另一个根 ，m的值 k5、反比例函数y 的图象经过点P（a、b其中a、b是一元二次方程xkx两根，那么点P的坐标

kx4 6、已知x、x是方程x23x10的两根，则4x212x11的值 1、如果方程x2mx1的两个实根互为相反数，那么m的值为 b2、已知ab≠0，方程ax2bxc0的系数满足 ac，则方程的两根之比为（2 C、 3、已知两圆的半径恰为方程2x25x20的两根，圆

3，则这两个圆的外公3 A、0 B、1 C、2 D、314、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长 ，两直角边的长分别是关于x的方程2x23(m

x9m0的两个根，则△ABC的内切圆面积是 2A

B、323

C、747

D、9495、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是x的方程：x2(2m1)xm230的根，则m的值为 C、5或 D、－5或1、证明：方程x21997x199702、已知关于x的方x23xa0的两个实数根的倒数和等于3，关x的方程(k1)x23x2a0k为正整数，求代数式k1k3、已知关于xx212a)xa230xx22x2a10a取什么整数时，方程①有整数解4x的方程x22(m1)xm23xx是方程的两根，且(xx)2xx120，求m的值 5、已知关x的方kx22k1)xk10只有整数根，且关于y的一元二次方程 (k1y23ym0yy kk的值12在（1）m＝2，求y212

26x、x是关于x的一元二次方程4x24(m1)xm20x、

x2

3(x

1 11、x ；2x 2

x1

x21

3、2x x x2

1

x

，yx

x3（1）x311

3172

32

x1x

1x22【例2】解方程组： 1 AB y＝B得： AB

，用根与系数的关系可解出A、再求xy，解x

x2

2，

y11【例3】解方程2x1

2x21分析：此题初看似乎应先去分母，但去分母会使方程两边次数太高，仔细观察可发2xx

2x2x

2x21，所以应设y ，用换元法解x

1

6，

1

2，

，1 1

2【问题一】已知方 2x

xmx2

1

1x

，是否存在m的值使得方程无解？若存在，求（1△＜74

m＝2每吨利润可达45007500元当地一公司收获这种蔬菜140吨，其生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰15天完成。略解：第案获利630000元；第二种方案获利725000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精工，用时间列方程解得x60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案训练1、若关于x

axx1

10有增根，则a的值 2、用换元法解方程

x

x2

10x

xy，则原方程可变形为整式方 1

x

x11

x

0有增根x1，则k 4、若xx

2

，则x 2x1x25

xx2

有 2 2x

x

2的根是 1 2

2

D、2(x21)6(x1)

x x2

Ayx22

Byx

Cy

x2x

Dy

x24、用换元法解方程

x 4，通常会设y x2Axx2

Bx1x1

1 x21

x xx

xx

2

x2x

1x3 x1

x3x

x2

1

x4x

x5x

x7x

xxx1

x1

22

2xx2

3xx

1133、2x24x

3 4、

x

6x22x1

x

x五、已知

3x10，求x41x知识考点

二元二次方程2xy

xy

x2y2110x

y

x1

；2xy

；3x

3xy2y2Ⅱ型方程组，应将x23xy2y20xy0x2y0x2y210配搭转x x1 x

x1

x2

1，

2；（2）

1，y

x32

x42y

，5 y5

5，y

，

5 5

y24x2y1【例2】已知方程组ykx

有两k的取值范围分析：由②代入①得到关于x的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个k2x22k4)x1k2(2k4)24k216k16

k即k∴当k＜1k≠03x2y

x1

x2【例3xy

的两组解y1y

，y2y

不解方程组1221分析：y5xx的一元二次方程，1、2是两根，可用根与系数的关系，151252代入1221后，用根与系数的关系即可求值3

y2

x1

x2y1【问题】已知方程组y2xn的两组解是y1

2

x1x10x1x2m

11 12略解：（1）将②代入①化简，由xx0n2n12 利用根与系数的关系得：m （n

n4(1n)2 n22

n2n

且n2训练yx

x24y21方程组yx22x3的解 2方程组x2y

的解 x2y23、解方程组(x2y)(x3y)11

时可先化 4、方程组1

6 1 x xy

x1

x25、方程组xy

的两组解为

b，

b，则a1a2b1b2 xy

1、由方程组(x

(y

4

消去y后得到的方程是 A2x22x3C2x22x1xy

B2x22x5D2x22x92、方程组2x2xy30解的情况是 A、有两组相同的实数解B、有两组不同的实数 x2y213、方程组yxm22yx

有唯一解，则m的值是 22B、 C、 224、方程组yxm有两组不同的实数解，则 A、m≥ B、m＞ ＜m

xy

xy

x22xyy21、x2y215 2、x2y2 3、2x25xy3y20 xy4xy

x2y2 5、xyx2y2四、m为何值时，方程组xy

应用问题（一【例1】甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。分析：x天，则乙组单独完成需要(x5天，由题意得4 x x5x

x答案：10天，乙15天【例2】A、B两地间的路程15千米，早6点整，甲从AB地，20分钟后，乙从B地出发骑车前A地。乙到A地后，停40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲、乙两人同时到达B地？时间方面：甲步行15千米的时间比乙骑车走301小时（由20分钟＋40分钟得到）x千米，易列分式方程；速度方面：乙骑车比甲步行每小时多走10千米，设甲所用时间为x小时，易列分式方程答案：9点钟甲、乙两人同时到达B地【例3】A、B36千米，甲从A地，乙B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再走1小时36分钟到达A地，求两人的速度。速为x千米／小时，乙速为y千米／小时，则有： (260)x(160)y

x

230

答案

y 60 120x

x

x1＝30x2＝－40（舍去千米摩托车的速度为45千米／小时运货汽车的速度为35千米／小时 x小时两车相遇，依题意可得45x35xx2

2

小时两车相遇训练1、某工程甲独做x天完成，乙独做y天完成，两人合 2、快艇往返甲、乙两地之间，顺水速度为60千米／小时，逆水速度为40千米／小时，则该船往返一 3A、B两地同时出发，若同向而行，则经过a小时快者追上慢者；若相向而行，则经过b小时两人相遇。那么快者与慢者的速度比是多少？甲用1先走1小时只用125、甲、乙两人分别在A、B两地同时相向出发，当甲到半路时，乙离终点还有24千米；而乙走到半路时，甲离终点还有15千米。问甲到达终点时，乙离终点还有多少千米？6、两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向8米／秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头1项工作12任务而由乙组工人继续做了3天才完成25018个以后，改进操作方法每天可以多制27天完成任3、某乡搞改水工程，计划用251000个土方，施工4天后，抽54、甲、乙共同完成一项工作需要4天，甲单独工作3天后剩下部分由乙去做，乙还需工作的天数5、正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成；61元，那么120元钱可以买到的

应用问题（二18％，求2003年秋季初一、高一的计划招生人数各是多少？答案：初一360人，高一230人送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2381万立方米。问完成甲、乙水多少天（x天），则：

x

（2

x

3

x

2（万立方米答案：甲地5天，乙地3天均每天可多售出2件。若商场平均每天要1200元，每件衬衫应降价多少元（1

(40x)(202x)1200可解出x（2）当x取不同的值时， 随x变化，可配方为：2(x15)21250求最大值。y(40x)(202x)y2x260x8000元如果每节A型车厢最多可种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可种略解：（1）设用A型车厢x节，则用B型车厢(40x节，总运费为y万元，则y0.6x0.8(40x)0.2x35x25(40x)15x35(40x)∴x＝24或25或

解得：24xy0.2x32知xy越小，故当x＝26y0.22632＝26.8（万元解法1x人y人，5a30x30钟内检票完毕要同时开放n个检票口，依题意得

a10x210y，由（1）（2）消xa5xn5ay （4），代入（1）xa（5），将（4）和（5）代入（3）得aana，而a0a 所以n≥3.5n为整n＝4，故至少需同时开放4个检票口得a

10a

a5x

ay个，检票时间为x分钟，依题意，y与x之间的函数关系为y ，而x＝30，y＝1；＝10y＝2，因此可求出y30xx需同时开放4个检票口.训练

2y

1、据《》2003年6月11日道，今年1～4月福州市完成工业总产值550亿元，比去年 2、如图是某公司近三年的投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001年的利 A、1 B、2 C、3 D、4

投放总投放总额（万元利润（万元年份（年

2002年份（年

从乙仓库调出403吨，那么甲、乙仓库原来所存药品分别为（）A、24吨，21吨 B、21吨，24吨 C、25吨，20吨 D、20吨，25吨125道试题，每道题答对4分，不答或答错倒扣2分，如果一学生在这次竞中得分不低于60甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨。运费20元计算品102∶3，三月份两种产品的总产量是65件，求乙种产和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？3得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次年利率5期后可得利息15元，求第一次存款的年利率

，这样648间教室，进出这栋大楼共有4侧门时，2560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，作物品蔬121100烟13750小14600

正比例函数与反比例函1、若正比例函数y(m1)xm25m13的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析 （k≠0）的图像上，其中ax

2m3（m33、如图，正比例函数ykx（k＞0）与反比例函数y 的图像交于A、C两点，AB⊥x3x于B，CD⊥x轴于D，则S四边形ABCD yAyADOxCyCAPBO 例1 例2答案：1y3x；2、一、三；3、6；4【例2】如图，直线yxb（b＞0）与双曲线yk（k＞0）在第一象限的一支相交xA、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点PO试用k、b表示C、P

PD3若△OAB的面积等于 ，试求△COA与△BOD的面积之和3 ∵PO＝PD∴xP

22，yP

b（2）∵

1，有1b2k1k＝1y1（x 设A（x1y1），B（x2y2）SCOASBODSCODSAOB得1

1

1b2

，又y2x2

得

3b)b2 ，即33 3

得

x2

4x1

yx192，再由312y312

x

b，x1

1，从而推出(b4)(b4)(b2120，所以b43SCOASBOD83【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直x轴、y轴分1和点B，且OA＝OB＝1。这条曲线是函数y 的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线1任意一点，它的坐标是（a、b），由点Pxy轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直AB分别交PM、PN于点E、FyBNF)EOM EF（a的代数式表示点E的yBNF)EOM 求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示1△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明。如果不一1当点P在曲线y 上移动时，△OEF随之变动，SEOFS矩形MONPSEMOSFNO＝ab1a(1a)1b(1b)1(ab

＝1(ab △AOF与△BOE一定相似，下面给出证yBN yBN EOM

a2(1a2(11(11b)2b21∵点P（a，b）是曲线y 上一2ab1，即

1当点P在曲线y 11解决就不难了。在证明三角形相似时，∠EBO＝∠OAF是较明显的，关键是证明两夹边1这里用到了点P（a，b）在双曲线y 训练y3x（2x≤5）②若y与3z成反比例zx成正yx44时y1y2 A、1 B、2 C、3 D、42、已知Myk（k≠0）图像上一点，MAx轴于Ax

4，则这个 Ay

By

Cy8y

4或y

y x3、在同一坐标系中函数ykx和yk1的大致图像必是 xxyxyxAyyyxxxBCD4y

1x

的图像上有三点（x1y1（x2y2（x3y3）

> Ay3y1

By3y2

Cy1y2

Dy1y3k5、在同一坐标系内，两个反比例函数y 的图像与反比例函数yx

k x的图像（k 么k的值是（ C、 D、

A 51、若反比例函数y(m25)xm2m7在每一个象限内，yx的增大而增大，则 12、A、B两点关于y轴对称，A在双曲线y 上，点B在直线yx上，则A点坐1x 3、已知双曲线y 上有一点A（m，n），且m、n是方程x ，点A到原点的距离

4t20的两根，则 5、如图，Rt△AOB的顶点Ayxm3的图像与反比例函数ym的图像x第二象限的交点，且SABO1，则A点坐标是 yC BD点C、D分别在一、三象限，且OA＝OB＝ACyC BD1题2yyyyx2成正比例yx1x＝－1时y＝3 ＝2时y2yx2x

时，求yyANMOBx3y8与一次函数yx2的图像交于A、yANMOBxx求A、B两点的坐标求△AOB3题34、如图，已知双曲线y COA上不与O、A重合的任意一点，CA＝a(0a1，CD⊥AB于Ea为何值时，CE＝ACOA上是否存在CCE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C的坐标；若不存在，请说明理由。yyBPEDQOCaAx

4题精典例题【例1】已知直线ykxb（k≠0）x轴的交点在xkb＞0；②k＞0，b＜0；③k＜0，b＞0；④k＜0，b＜0，其中正确结论的个数为 A、 B、 解：根据题意知，直线ykxb（k≠0）的图像可以如图1k＞0b＜0；也可以如图2k＜0b＞0。故选B。yOx yyOxyOxyO A1

1

2评注：本题关键是掌握一次函数ykxb中的系数k、b与图像性质之间的3分析：欲求直线的解析式，需要两个独立的条件建立关于k、b的方程组，结合题目条件，本题y3x2y3x 5。求两个函数的解析式（2）若BPy轴于点C，求四边形PCOA的面(25)2作PH⊥AO，则(25)2解得a4。∴A（4，0），故直线PBy2x2；直线APy4x16 S四边形PCOASABPSOBCyPCByPCBO yB yBNM 3

探索与创新【问题一】如上图yx2x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线ykx若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过CykxbOB交于M（0h），分△AOB面积为1∶5得 1

解得 ，所以M（0，

6 6 经过点M作直线MN∥OAABN（a2），则3

2，因N（a 3，线yx2上所以a4故N（ 2）∴直线CM：y3x2直线CN：y2x， （1液中含量为每毫升3y（微克）随时x（小时）分别求出x≤2x≥2yx之间的函数关系式如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效解析：（1）x≤2时ykx，把坐标（2，6）代入得y3x；设x≥2时ykxb，把坐标

63（10，3）代入得y3x27

（2）把y4代入y3x

y3x27中得：x4，x22，则

tx2x1

训练1yxb2y2x4x轴上一点A，且与y轴分别交于B、C两点△ABC的面积积为 22A、 B、4 C、4 D、221A2

B 6

D（0， 1413、若一次函数y(12k)xk的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 Ak2

B、0k2

C、0k2

D、k＜0或k24、直线ykxb经过点A（－1，m）与点B（m，1），其中m＞1，则必有 金额（元A、k＞0，b＞0 B、k＞0，b＜0 C、k＜0，b＞0 D、k＜0，b＜05、小每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克金额（元 A、32 B、36C、38元 D、44元

40质量（千克51、若

ac

a 2

，则直线ypxp一定经过 则此图像沿y轴向下平移 3、如图，已知直线PAyx1y轴于Q，直线PBy2xm 5若四边形PQOB的面积6

，则m

风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风 ①在y轴（）

填空第3题yy（千米／小时））O4 x（小时4③当x≥25y（千米／小时）x（小时）之间的函数关系式是。涪陵推出的一种保险―鸿泰分红保险，投资者交保费10000元（10份），保险期为5写 1 x1的图像与x轴、y轴分别13求直线BC若P是直线BD上一点，且 1 ，求P点坐标 2

B 213、如图yx2分别交x轴、y轴于A、C，P12线上在第一象限内的一点，PBx轴于BSABP9求点PRTx轴于T，当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时，求点R的坐标。

yPCRyPCR x4、如图，直lx轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA、OB的长是方程x214x4(AB2)0的两个根（OB＞OA），P为直线l上A、B两点 B间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OBOA于点QP求tan∠BAO的值PQ的长

13

时PAB

4y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形。若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。二次函数（一 【例1】二次函yax2bxc的图像如图所示，那么abc- 1b24ac、2ab、4a2bc这四个代数式中，值为正的有 A、4 B、3 C、2 D、1b解析：∵x ∴2ab＞0答案b置判定c的符号x轴的交点个数判定b24ac的符号x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2ababcabc的符号。【例2】已知abc0a≠0yax2bxc向下平移1个单位，再向再向上平移1个单位即得原抛物线。式为ya(x2)2式为ya(x25)210a(125)21，解得a4

∴原抛物线的解析式为：y (x3) 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋y轴对y轴对【问题】已知，抛物线ya(xt1)2t2（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线yx22x1的顶点是B。判断点Ayx22x1上，为什么ya(xt1)2t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。y x解析：（1）ya(xt1)2t2的顶点A（t1ty xxt1当时yx22x1x1)2x11)2＝t2，所以点Ayx22x1上。（10a(1

t0

a

②设抛ya(xt1)2t2x轴的另C，∴B（1，0），C（2t1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过AADxDAD＝BD。当点C在点B左边时t21t1)，解得t1或t0（舍当点C在点B的右边时，t2t11，解得t1或t0（舍。故t1评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常训练yAOC1 1yax2bxyAOC1 ①abc＜0；②4acb2；③acb1④2ab0；⑤OAOBa

4a2bc0 2yx2bxc的图像向右平移3个单位，再向平移2个单位，得到函数图像的解析式为yx22x1，则b与

1EFEF）3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BCh4，DBC上一点，EF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，那么y关于x的函数图像大致是

3y42 y42 y42 y42 4y42 4 4、若抛物线yax2与四条x1x2y1y2围成的正方形有公共点，则a ≤a B

a 2

a 4

≤a5、如图，一次函数ykxb与二次函数yax2bxc的大致图像是 yOxyyOxyOxyOxyOx 1、若抛物线y(m1)x22mx3m2的最低点在x轴上，则m的值 2、二次函数y4x2mx5，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大。则当x