31关于实数的基本定理分析

第三章、关于实数基本定理

及闭区间上连续函数性质的证明其次部分、极限续论1/7/20231福州高校数学与计算机学院确界原理单调有界性定理区间套定理聚点原理与致密性定理柯西收敛准则有限覆盖定理第一节关于实数的基本定理1/7/20232福州高校数学与计算机学院一子列

1/7/20233福州高校数学与计算机学院定理1若数列｛xn｝收敛于a,则它的任何子列｛a｝也收敛于a,即证明：

由可知，

取K=N,于是当k>K时，有

因而成立推论：若存在数列｛xn｝的两个子列分别收敛于不同的极限，则数列｛xn｝必定发散

.1/7/20234福州高校数学与计算机学院例1证明数列发散.

证明：取则由上述推论

子列

推论即函数极限并归原则的必要性(已证明).1/7/20235福州高校数学与计算机学院定义1当S既有上界又有下界,称S是有界集,否则称S无界.二上确界和下确界

1/7/20236福州高校数学与计算机学院

MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界确界先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则明显它有无穷多个上界,其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界,记作supS;的一个下界，称为该数集的下确界,记作infS

同样,若数集S有下界,有无穷多个下界,其中最大1/7/20237福州高校数学与计算机学院定义2若β是数集S的上界:确界的精确定义1/7/20238福州高校数学与计算机学院例2考察下列数集的上确界与下确界1/7/20239福州高校数学与计算机学院事实上:１）ｂ是I的一个上界：，有２）任何小于ｂ的数不是I的上界，使得因此bax同理可证证例3数集I=｛x∣a<x<b｝,即I=(a,b),a与1/7/202310福州高校数学与计算机学院定理3(确界原理)

非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界.数集有上（下）确界,则上（下）确界是唯一的.定理21/7/202311福州高校数学与计算机学院不妨设数列单调增加且有上界，根据确（1）（2）界存在定理，由构成的数集必有上确界满足：定理4单调有界数列必有极限.

证明:(应用确界原理证明)1/7/202312福州高校数学与计算机学院因而于是几何说明:1/7/202313福州高校数学与计算机学院定义(区间套):

具有如下性质设闭区间列

三区间套定理

则称该闭区间列为闭区间套,或简称区间套.

1/7/202314福州高校数学与计算机学院定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端点满足不等式:.

1

2

2

1

b

b

b

a

a

a

n

n

£

£

£

£

£

£

£

£

L

L

L

说明:1/7/202315福州高校数学与计算机学院定理5(区间套定理)或若有且则1/7/202316福州高校数学与计算机学院留意:1.区间套定理中各个区间应是闭区间,若是开区间定理不确定成立．例如｛(1,1/n)}明显一个套一个，且但不存在一个公共点属于全部开区间由条件（1）可知

证明:（应用单调有界定理）明显，1/7/202317福州高校数学与计算机学院由定理4设

1/7/202318福州高校数学与计算机学院则有

.

'

x

x

=

故有

证毕.下面证明满足题设条件的ξ是唯一的设ξˊ也满足:推论1/7/202319福州高校数学与计算机学院四聚点定理与致密性定理

定义

设S为数轴上的无穷点集,

若ξ的任何邻域内都含有S

中无穷多个点,ξ为定点,(它可以属于S,也可以不属于S)则称ξ为S的一个聚点.1/7/202320福州高校数学与计算机学院说明:聚点概念与下列两个说法等价.1/7/202321福州高校数学与计算机学院定理(Weierstrass聚点定理)实轴上任一有界无限点集,至少有一个聚点.证明:(应用区间套定理证明)1/7/202322福州高校数学与计算机学院1/7/202323福州高校数学与计算机学院证毕.1/7/202324福州高校数学与计算机学院证明：

于是存在实数a1,b1成立定理6(致密性定理)任一有界数列必有收敛子列.致密性定理

1/7/202325福州高校数学与计算机学院将闭区间等分为两个小区间

则其中至少有一个含有数列｛xn｝中的与无穷多项，把它记为，再将闭区间等分

为两个小区间与，同样其中至少有一个区间含有

数列｛xn｝中的无穷多项，把它们记为1/7/202326福州高校数学与计算机学院都含有数列｛xn｝中的无穷多项.依据闭区间套定理，存在实数ξ满足现在我们证明数列｛xn｝必有一子列收敛于实数.个闭区间套，其中每一个闭区间中这样的步骤可以始终做下去.于是得到一1/7/202327福州高校数学与计算机学院

首先在中选取｛xn｝中的某一项,记它为

然后，因为在中含有数列｛xn｝中的无穷多项，

可以选取位于后的某一项，记它为，，继续这样做下去，在选取

后，因为在中仍含有｛xn｝中的无穷多项,可以选取位于后的某

因为在中含有数列｛xn｝中的无穷多项，

1/7/202328福州高校数学与计算机学院一项，记它为，这样就得到了数列｛xn｝的一个子列，满足由利用极限的夹逼性得

1/7/202329福州高校数学与计算机学院1/7/202330福州高校数学与计算机学院具有以下特性：Cauchy列：

如果数列＞＜则称数列是一个基本数列.五柯西收敛原理

1/7/202331福州高校数学与计算机学院1/7/202332福州高校数学与计算机学院柯西收敛准则的几何说明柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的确定值可小于预先给定的随意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1

x2

x3

x4

x5

1/7/202333福州高校数学与计算机学院证明：

1/7/202334福州高校数学与计算机学院由致密性定理，在数列｛xn｝中必有收敛子列.1/7/202335福州高校数学与计算机学院

因为｛xn｝是基本数列

在上式中取，其中k充分大,满足，并令,于是得到

即｛xn｝收敛.1/7/202336福州高校数学与计算机学院1/7/202337福州高校数学与计算机学院1/7/202338福州高校数学与计算机学院证明：取ε＝½，对随意正整数n,取m=2n,有例4．设所以，原数列发散．1/7/202339福州高校数学与计算机学院六有限覆盖定理

1/7/202340福州高校数学与计算机学院则H覆盖E.则H覆盖E.例如,E=(0,1)例如,E=[0,2]1/7/202341福州高校数学与计算机学院定理8(Heine-Borele有限覆盖定理)

留意:1.若被覆盖的区间是开区间,定理不确定成立;2.用来覆盖的区间族应是开区间,否则定理不确定成立.1/7/202342福州高校数学与计算机学院则H覆盖E,但不存在有限个开区间覆盖E.例如,E=(0,1),1/7/202343福州高校数学与计算机学院H1不能覆盖E.解:若存在有限个开区间覆E=(0,1),令则1/7/202344福州高校数学与计算机学院证明:(应用区间