抽样的基本概念

第4章抽样估计第一节抽样的基本概念第二节抽样分布与中心极限定理第三节总体参数估计第四节抽样方案的设计与实施*统计推断的过程样本总体总体均值、比例、方差样本统计量，如样本均值、样本比例、样本标准差等检验一批灯泡的使用寿命节目的收视率水库中的鱼苗数抽样估计包括抽样调查和抽样推断两个部分。抽样调查是一种非全面的调查方法，是从总体中按照随机原则抽取样本单位进行调查抽样推断是利用样本信息推断总体的数量特征。抽样估计不论在统计调查还是在统计分析中都有广泛的应用。

抽样调查的概念广义：凡是抽取一部分单位进行观察，并根据观察结果来推断全体的都是抽样调查，其中又可分为非随机抽样和随机抽样两种。狭义：根据大数定律的要求，在抽取调查单位时应保证总体中的各个单位都有同等的中选可能性。一般所讲的抽样调查，大多数是指这种随机调查，即狭义的抽样调查。指样本单位的抽取不受主观因素及其他系统性因素的影响，每个总体单位都有均等的被抽中机会按照随机抽样原则

抽取总体中的部分单位进行调查，用部分单位的指标数值作为代表，对总体的指标数值作出具有一定可靠程度的估计与推断，从而认识总体的一种统计方法。什么是抽样推断？例1:一汽车轮胎制造商生产一种被认为寿命更长的新型轮胎。120个样本测试平均里程：36,500公里推断新轮胎平均寿命400个样本

支持人数：160推断支持该候选人的选民占全部选民的比例例2：某党派想支持某一候选人参选美国某州议员，为了决定是否支持该候选人，该党派领导需要估计支持该候选人的民众占全部登记投票人总数的比例。由于时间及财力的限制：抽样调查的基本特点：非全面调查目的是推断总体的数量特征，抽样推断结果具有一定的可靠程度抽样调查中的抽样误差是不可避免的，但在事先是可以计算并加以控制的节省调查费

调查速度快

调查结果准确可靠

应用范围广

不可能进行全全面调查时对于具有破坏坏性的产品质质量检测只能能进行抽样调调查对某些现象进进行全面调查查，在经济上上不合算，在在资料上未必必能保证，也也只能采用抽抽样调查。对于时效性要要求较高的某某些调查对全面调查资资料进行补充充修正时抽样调查的作作用，书P112-113设计抽样方案抽取样本单位收集样本数据计算样本统计量推断总体参数抽样估计的一一般步骤第六章抽抽样与参数数估计第一节抽样样调查的含义义第二节抽抽样调查的基基本概念第三节抽抽样调查的数数理基础第四节抽样样推断的方法法第二节抽抽样调查的基基本概念一、全及总体体和样本总体体二、全及指标标和样本指标标三、抽样方法法和样本可能能数目★全及总体研究对象的全全体，即第一一章中学过的的总体。样本总体按随机原则从从全及总体中中抽取一部分分单位组成的的集合体，又又叫样本总体体。样本总体中所所包括的单位位数叫样本容容量，一般用用n表示1、大样本（n≥30）2、小样本(n<30）全及总体中所所包括的单位位数一般用N表示。1、有限总体2、无限总体设总体中个总体单位某项标志的标志值分别为，其中具有某种属性的有个单位，不具有某种属性的有个单位，则指被估计的总体指标，又被称为总体参数。（确定的、未知的）全及指标⒉总体标准差：：⒊总体方差：⒈总体平均数（（又叫总体均均值）：⒋总体比例：⒌是非标志总体体的标准差：：⒍是非标志总体体的方差：设样本中个样本单位某项标志的标志值分别为，其中具有和不具有某种属性的样本单位数目分别为和个，则指根据样本单位的标志值计算的用以估计和推断相应总体指标的综合指标，又被称为估计量或统计量。样本指标⒉样本单位标志志值的标准差差：⒊样本单位标志志值的方差：：⒈样本平均数（（又叫样本均均值）：当样本容量很很大时，1/n,与1/(n-1)相差不大，样样本方差的公公式，可以直直接除以n,此时与总体的的方差计算公公式一致。⒋样本成数：⒌样本单位是非非标志的标准准差：⒍样本单位是非非标志的方差差：从全部学生中中随机抽取20人组成样本并并计算平均体体重：样本一：52.35样本二：50.26样本三：53.19…真值:51.18抽样方法重复抽样又被称作重置置抽样、有放放回抽样继续抽取抽出个体登记特征放回总体特点同一总体单位位有可能被重重复抽中，而而且每次抽取取都是独立进进行不重复抽样又被称作不重重置抽样、不不放回抽样抽出个体登记特征继续抽取特点同一总体中每每个单位被抽抽中的机会并并不均等，在在连续抽取时时，每次抽取取都不是独立立进行是最为常用用的抽样方方法，用于于无限总体和许多有有限总体样样本单位的的抽样。抽样方法第4章抽抽样估计第一节抽抽样的基本本概念第二节抽抽样分布与与中心极限限定理第三节总总体参数估估计第四节抽抽样方案的的设计与实实施*一、抽样分分布举例：：【例】设一个总体体，含有4个元素（个个体），即即总体单位位数N=4。4个个体分别别为X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。总体的均均值、方差差及分布如如下:总体分布14230.1.2.3现从总体中中抽取n＝2的简单随机机样本，在在重复抽样样条件下，，共有42=16个样本。所所有样本的的结果如下下表：3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）计算出各样样本的均值值，如下表表。并给出出样本均值值的抽样分分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x样本均值的的分布与总总体分布的的比较（图图示）抽样分布总体分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x不重复抽样样分布，自自学二、大数定定律大数定律表表明：如果随机变变量总体存存在着有限限的平均数数和方差，，则对于充充分大的抽抽样单位数数n，可以几乎乎趋近于1的概率，来来期望抽样样平均数与与总体平均均数的绝对对离差为任任意小。大数定律对对于抽样推推断的意义义：从理论上解解释了样本本与总体之之间的内在在联系，即即随着抽样单单位数n的增加，抽抽样平均数数有接近于于总体平均均数的趋势势。三、中心极极限定理及及其重要意意义大数定律论论证了抽样样平均数趋趋近于总体体平均数的的趋势，这这为抽样推推断提供了了重要依据据。但是：：抽样平均数数和总体平平均数的离离差究竟有有多大？离差不超过过一定范围围的概率究究竟有多少少?离差的分布布状况怎样样？大数定律和和正态分布布没有给出出任何这方方面的信息息。中心极限定定理研究的的是变量和和的分布和和变量平均均数的分布布。它论证了以以下几点：：第一，如果总体很很大，而且且服从正态态分布，则则样本平均均数的分布布也服从正正态分布；；第二，如果总体很很大，但不不服从正态态分布，只只要样本足足够大（n≥30），样本平平均数的分分布也趋近近于正态分分布。第三，样本平均数数分布的平平均数，等等于总体的的平均数。。中心极限定定理的重要要意义中心极限定定理的重要要意义第四，样本分布布的标准差差为：这是在有限限总体场合合下使用的的公式，其其中：，称为修正正因子。当N趋向于无穷穷大时，其其值趋近于于1，在允许重重复抽样的的条件下，，总体在任任何时候都都成为无限限总体，这这时：中心心极极限限定定理理（图图示示））中心心极极限限定定理理：：设从从均均值值为为，方方差差为为2的一一个个任意意总体体中中抽抽取取容容量量为为n的样样本本，，当当n充分分大大时时，，样样本本均均值值的的抽抽样样分分布布近近似似服服从从正正态态分分布布。。当样本容量足够大时(n>30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布一个任意分布的总体X1.重复复抽抽样样条条件件下下，，记记算算公公式式为为：：2.不重重复复抽抽样样条条件件下下，，计计算算公公式式为为:3.小于于总总体体标标准准差差抽样样平平均均误误差差4.与样样本本容容量量的的关关系系某个个样样本本容容量量的的抽抽样样分分布布更大大样样本本容容量量的的抽抽样样分分布布抽样样分分布布P119例4-5某班班组组有有5个工工人人，，他他们们的的单单位位工工时时工工资资分分别别是是4、6、8、10、12元，，总总体体服服从从于于正正态态分分布布。。现现用用重重复复抽抽样样方方式式从从5个工人人中抽抽出2人，计计算样样本的的平均均工时时工资资的抽抽样平平均误误差。。样本成成数分分布P120例4-6已知一一批产产品的的合格格率为为90%，现采采用重重复抽抽样方方式从从中取取出400件，求求样本本合格格率的的抽样样平均均误差差。练习1、对某某乡进进行简简单重重复抽抽样调调查，，抽出出100个农户户，户户均年年收入入2000元，年年收入入标准准差100元。（1）求抽抽样平平均误误差。。（2）若抽抽取的的是200户，则则抽样样平均均误差差是多多少?（3）若要要使抽抽样平平均误误差降降低为为原来来（1）的一一半，，则应应抽多多少户户。2、对某某县人人口用用不重重复抽抽样方方法按按1/10比例抽抽出1万人进进行调调查，，得知知样本本平均均年龄龄40岁，年年龄标标准差差20岁，求求抽样样平均均误差差。练习：：计算算样本本比例例的抽抽样平平均误误差1、某县县人口口10万人，，用简简单随随机不不重复复抽样样方法法抽取取1/10的人口口进行行调查查，得得知男男性人人口比比重为为51%，求男男性人人口比比重的的抽样样平均均误差差。2、对某某乡进进行简简单随随机重重复抽抽样调调查，，抽出出100个农户户进行行调查查，得得知年年收入入在1800元以上上的占占95%，求农农户年年收入入在1800元以上上比重重的抽抽样平平均误误差。。简单回回顾：：抽样样平均均误差差抽样平平均误误差的的计算算公式式:第4章抽抽样估估计第一节节抽抽样的的基本本概念念第二节节抽抽样分分布与与中心心极限限定理理第三节节总总体参参数估估计第四节节抽抽样方方案的的设计计与实实施*一、总总体参参数估估计概概述点估计就是是根据样本本资料得出出的样本指指标数值，，直接用以代代表相应的的总体指标标，即:。根据给定的的估计可靠程度的要求，利利用实际样样本资料，，指出包含含总体被估估计值的区间范围。点估计计区间估计二、参数估估计的基本本方法点估计指直接以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计估计量的优优良性准则则：无偏性有效性一致性简单，具体明确优点缺点无法控制误差仅适用于对推断的准确程度与可靠程度要求不高的情况点估计的特特点：估计量的优优良性准则则（无偏性））无偏性：估估计量的数数学期望等等于被估计计的总体参数估计量的优优良性准则则（有效性））有效性：一一个方差较较小的无偏偏估计量称称为一个更更有效的估计计量。估计量的优优良性准则则（一致性））一致性：随随着样本容容量的增大大，估计量量越来越接接近被估计计的总体参参数为的无偏偏、有效、、一致估计计量；为的无偏偏、有效、、一致估计计量；为的无偏偏、有效、、一致估计计量。数理统计证证明：案例3：A市农村自来来水居民用用户共有70万户，采用用不重复抽抽样的方式式，随机抽抽取了200户进行满意意度的调查查，获得的的相关资料料如下：样本农村居居民用户对对产品的平平均满意度度为3.52，标准差为为0.74。现在要求以以95%的概率保证证程度来估计全部部农村居民民用户对产品的满满意度所在在的区间。区间估计注意：区间间估计必须同同时考察所所得结果的的“可能范围”与“可靠程度”。68.27%95.45%99.73%回顾正态分分布回顾正态分分布Z与相应的概概率保证程程度存在一一一对应关关系，常用z值及相应的的概率保证证程度为：：Z值概概率保保证程度1.000.68271.650.90001.960.95002.000.95452.580.99003.000.9973在实际中，，一般将这这种对应函函数关系编编成《正态概率表表》供直接查用用（大样本条条件下）回顾中心极极限定理（图示）中心极限定定理：设从均值为为，方差为2的一个任意总体中抽取取容量为n的样本，当当n充分大时，，样本均值值的抽样分分布近似服服从正态分分布。当样本容量足够大时(n>30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布一个任意分布的总体X所有可能的的样本平均均数的分布布68.27%95.45%99.73%区间估计（以总体均均值的区间间估计为例例）区间估计的的相关概念念（一）置信水平与概率度查表得到置信水水平和概率率度的关系系Z值置置信水水平1.000.68271.650.90001.960.95002.000.95452.580.99003.000.9973区间估计的的相关概念念（二）P126：置信区间：置信下限、置信上限所谓区间估估计，就是是估计总体体参数的区区间范围，，并要求给给出区间估估计的置信信水平抽样极限误误差抽样平均误误差是说明明抽样方案案总的误差差情况但在实际抽抽样推断时时，往往只只抽取一个个样本，因因此实际的的抽样误差差可能大于于或者小于于抽样的平平均误差。。在现实中，置信区间可可以通过统统计量的值值加减一个个允许的误误差项来计算，，这个可可以接受受的误差差项也叫叫作极限限误差，也称为允许误差差或容许误差差。区间估计计的相关关概念（（三）抽样极限限误差在一定的的全及总总体中，，当抽样样方式和和样本容容量确定定以后，，抽样的的平均误误差就是是一个定值。而抽样的的极限误误差则可可以根据据研究目目的的不不同,由人们加加以规定定。抽样极限限误差和和抽样平平均误差差的关系系：这里的““z”称为““概率度”概率度““z”和置信水平平的关系（查表）抽样极限限误差的的估计总总是和一一定的概率保证证程度联系在一一起关于概率率度的进进一步解解释区间估计的相相关概念（四四）区间估计最关关心的两个问题：抽样误差的可可能范围有多多大？——置信区间——估计的精度落在这个范围围内的概率有有多大？——置信水平——估计的可靠性性回到关键问题题案例7：A市农村自来水水居民用户共共有70万户，采用不不重复抽样的的方式，随机机抽取了200户进行满意度度的调查，获获得的相关资资料如下：样本农村居民民用户对产品品的平均满意意度为3.52，标准差为0.74。现在要求以95%的概率保证程程度来估计全全部农村居民民用户对产品品的满意度所所在的区间。。本章中最重要要的问题之一一：区间估计的三三类主要问题题一.总体平均数的的区间估计二.总体成数的区区间估计三．样本容量量的确定步骤⒈计算样本平均数；⒉搜集总体方差的经验数据；或计算样本方差；总体平均数的的区间估计⒊计算抽样平均均误差：⒋计算抽样极限限误差：⒌确定总体平均均数的置信区区间：案例7：A市农村自来水水居民用户共共有70万户，采用不不重复抽样的的方式，随机机抽取了200户进行满意度度的调查，获获得的相关资资料如下：样样本农村居民民用户对产品品的平均满意意度为3.52，标准差为0.74。现在要求以以95%的概率保证程程度来估计全全部农村居民民用户对产品品的满意度所所在的区间。。（1）计算样本平均数的平均误差，因为n/N比值很小，所以，应用重复抽样的公式进行计算：（2）根据概率保证程度：，，查表得概率度：（3）计算抽样极限误差（4）计算A市所有农村自来水用户满意度的区间：下限上限计算结果表明，A市农村自来水用户的平均满意度为3.42～3.62，其置信水平为95%。练习解：已知x＝26,=6，n=100,F(z)=0.95，z=1.96结论：平均每每天参加锻炼炼的时间在24.824～27.176分钟之间,置信水平为95%。【例】某大学从该校校学生中随机机抽取100人，调查到他他们平均每天天参加体育锻锻炼的时间为为26分钟。试以95％的置信水平平估计该大学学全体学生平平均每天参加加体育锻炼的的时间（已知知总体标准差差为6分钟）。区间估计的原原理1.样本中平均参参加体育锻炼炼的时间为26分钟，即用样样本平均数作作为对总体平平均数的点估计2.估计范范围为为26±±1.176(±1.176的误差差)，即区间(24.824，27.176）。3.如用类类似的的方式式，重重复抽抽取大大量（（样本本容量量相同同的））样本本时，，产生生的大大量类类似区区间中中有些些会覆覆盖真真正的的总体体平均均数，，而有有些不不会；；但其其中大大约有有95%会覆盖盖真正正的总总体比比例。。区间估估计原原理0.6827落在范围内的概率为68.27%样本抽样分布曲线原总体分布曲线区间估估计原原理0.9545落在范围内的概率为95.45%样本抽抽样分分布曲曲线原总体体分布布曲线线区间估估计原原理0.9973落在范围内的概率为99.73%样本抽抽样分分布曲曲线总体分分布曲曲线区间估估计的的三类类主要要问题题一.总体平平均数数的区区间估估计二.总体成成数的的区间间估计计三．样样本容容量的的确定定产品的的合格格率民众对对某项项政策策的支支持率率某企业业产品品的市市场占占有率率某电视视节目目的收收视率率一、应应用环环境步骤⒈计算样本成数；⒉搜集总体方差的经验数据；⒊计算抽抽样平平均误误差：：总体成成数的的区间间估计计⒋计算抽抽样极极限误误差：：⒌确定定总总体体成成数数的的置置信信区区间间：：总体体比比例例的的置置信信区区间间（实实例例））【例】某企企业业在在一一项项关关于于职职工工流流动动原原因因的的研研究究中中，，从从该该企企业业前前职职工工的的总总体体中中随随机机选选取取了了200人组组成成一一个个样样本本。。在在对对其其进进行行访访问问时时，，有有140人说说他他们们离离开开该该企企业业是是由由于于同同管管理理人人员员不不能能融融洽洽相相处处。。试试对对由由于于这这种种原原因因而而离离开开该该企企业业的的人人员员的的真真正正比比例例构构造造95%的置置信信区区间间。。影响响抽抽样样误误差差（（区区间间宽宽度度））的的因因素素总体体数数据据的的离离散散程程度度样本本容容量量n大小小的的影影响响置信信水水平平的的大大小小4.抽样样方方法法的的影影响响区间间估估计计的的三三类类主主要要问问题题一.总体体均均值值的的区区间间估估计计二.总体体比比例例的的区区间间估估计计样本容量量的确定定样本容量量调查误差差调查费用用小样本容容量节省省费用但但调查误误差大大样本容容量调查查精度高高但费用用较大找出在规规定误差差范围内内的最小小样本容容量确定样本本容量的的意义找出在限限定费用用范围内内的最大大样本容容量必要样本本单位数数案例8：A市自来水水城镇居居民用户户共有114万户，2009年其满意意度的标标准差为为1。现对A市城镇自自来水居居民用户户2010年的满意意度进行行抽样估估计，要要求平均均满意度度的允许许误差最最大不超超过0.1，概率保保证程度度为95%。那么我们们用重复复抽样方方法需要要抽查多多少城镇镇自来水水居民用用户？允许的极限误差的大小抽样推断的可靠程度抽样方法与抽样的组织形式总体各单位标志值变异程度的大小（1）在重复复抽样条条件下：：（2）在不重重复抽样样条件下下：1．推断总总体平均均数所需需的样本本单位数数2．推断总总体成数数所需的的样本单单位数（1）在重复复抽样条条件下：：（2）在不重重复抽样样条件下下：案例：A市自来水水城镇居居民用户户共有114万户，2009年其满意意度的标标准差为为1。现对A市城镇自自来水居居民用户户2010年的满意意度进行行抽样估估计，要要求平均均满意度度的允许许误差最最大不超超过0.1，概率保保证程度度为95%，那么我我们用重重复抽样样方法需需要抽查查多少城城镇自来来水居民民用户？？查正态态分布布概率率表当当概率率保证证程度度为95%时，z=1.96，允许许误差差=0.1，根据据平均满满意度度推算算样本本容量量时，，采用用重复复抽样样公式式：也就是是为了了满足足A市城镇镇自来来水用用户对对产品品的平平均满满意度度的推推断，，我们们至少少应抽抽取384户A市城镇镇自来来水用用户来来进行行调查查。样本容容量的的确定定（实例例）解:已知=1341.641，F(z)=0.95，z=1.96，=500应抽取取的样样本容容量为【例】一家广广告公公想估估计某某类商商店去去年所所花的的平均均广告告费用用有多多少。。重复抽抽样的的经验验表明明，总总体标标准差差约为为1341.641元。如如置信信度取取95%，并要要使估估计处处在总总体平平均值值附近近500元的范范围内内，这这家广广告公公司应应抽多多大的的样本本？估计总总体比比例时时样本本容量量的确确定在简单单随机机重复复抽样样条件件下：：样本均均值的的抽样样平均均误差差：样本比比例的的抽样样平均均误差差：？？？总体标准差差总体比例1.用过去全面面调查或抽抽样调查的的资料，若若同时有几几个σ的资料，应应选用数值值较大的那那个。2.用样本标准准差Sn-1代替全及标标准差σ3.在大规模调调查前，先先做个小规规模的试验验性的调查查来确定S，代替σ如何确定σ？1.可以取经验验数据2.如果可以有有几个经验验数据,取使得P(1-P)最大的那一一个.3.可以用样本本比例代替替4.使用P=0.5,此时P(1-P)最大.如何确定P？样本容量的的确定（实例）【例】一家市场调调研公司想想估计某地地区有彩色色电视机的的家庭所占占的比例。。该公司希希望对比例例P的估计误差差不超过0.05，要求的可可靠程度为为95%，应抽多大大容量的样样本（没有有可利用的的P估计值，抽抽样方法为为重复抽样样）。Themarginoferrorforestimatingapopulationproportionisalmost0.10orless.Innationalpublicopinionpollsconductedbyorganizations,a0.03or0.04marginoferrorisgenerallyreported.Theuseofthesemarginsoferrorwillgenerallyprovidedasamplesizethatislargeenoughtosatisfythecentrallimittheoremrequirementsofnp≥5andn(1-p)≥5.练习1：某大学随机机抽取了50名男生，测测得他们的的平均身高高为174.5厘米，标准准差为6.9厘米。试求求置信度为为95%的置信区间间。结论：可以以95%的置信度推断该学校全部男生的平均身高在172.59厘米～176.41厘米之间。练习2：某企业生生产彩色电电视机，按按不重复抽抽样的方法法，从一批批出厂产品品中抽取1%的产品（共共144台）进行质质量检验，，经测试得得知：样本本彩色电视视机正常工工作的平均均时间为10.97千小时，标标准差为2.15千小时，试试计算：（1）以95%的概率保证证程度对该该厂生产的的这批彩色色电视机的的正常工作作时间做出出区间估计计。（2）若样本中中彩色电视视机的一级级品率为34%，试以95%的概率保证证程度对该该厂这批出出厂产品的的一级品率率做出区间间估计。已知：，，，则抽样平均均数的平均均误差的计计算如下：：0.178（千小时））千小时S=2.15千小时（1）根据95%的概率保证证程度查表表得t=1.96不重复抽样样允许误差差不重复抽样样下限（千小时））不重复抽样样上限（千小时））计算结果表表明，该企企业彩色电电视机平均均正常工作作时间在10.621～11.319千小时之间间，其概率率保证程度度为95%。（2）计算样本本一级品率和平均误误差，p=34%根据概率保保证度95%查表，得概率度z=1.96计算抽样极极限误差计算总体指指标的区间间：不重复抽样样下限不重复抽样样上限计算结果表表明，该批批彩色电视视机一级品品率在26.356%～41.644%之间间，，其其置信信水水平平为95%。练习习3：某某企企业业生生产产彩彩色色电电视视机机，，按按不不重重复复抽抽样样的的方方法法，，从从一一批批出出厂厂产产品品中中抽抽取取1%的产产品品进进行行质质量量检检验验，，取取得得如如下下表表所所示示的的抽抽样样检检验验资资料料，，试试计计算算：：（1）以以95%的概概率率保保证证程程度度对对该该厂厂生生产产的的这这批批彩彩色色电电视视机机的的正正常常工工作作时时