诱导公式教学设计

课程基本信息课题诱导公式教科书书名：普通高中教科书数学人教必修第一册A版教学目标教学目标：1.能够利用三角函数的定义及单位圆推导三角函数的诱导公式，并运用诱导公式，完成对任意角的化简求值；2.通过对诱导公式的探求，体会转化与化归的思想，提升对知识间内在联系的把握；3.在诱导公式的推导应用过程中发展数学运算和数学推理的素养.教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式二、三、四；运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.教学难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟13分钟5分钟2分钟（一）情景导入（二）新知探究（三）典例分析、举一反三（四）课堂小结、布置作业各位同学，大家好，很高兴今天与大家一起研究、学习“诱导公式（1）”.前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求间的角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．我们先来回顾前面学习的公式一：公式一：，，，其中.探究1：公式一研究的是终边相同的角的同一三角函数的值相等，我们利用公式一，可以将任意范围内的角的三角函数值转化到内的角的三角函数值，那么如何继续将间的角的三角函数值转化到我们熟悉的间的角的三角函数值呢？我们发现，有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等.那么它们的三角函数值有何关系呢？请同学们探究完成：终边关于原点中心对称的角的三角函数值之间有什么关系？师生活动：学生自由发言，教师引导学生进一步观察、研探.设计意图：师生共同回顾，为新课做准备．学生分组讨论，教师引导学生发现规律：利用函数的重要性质——对称性，并借助单位圆及三角函数的定义来进行推导.如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点P1，设P1(x,y).将角的终边按逆时针方向旋转角，终边与单位圆交于点P2，则P2是点P1关于原点的对称点，所以P2(-x,-y).根据三角函数的定义，得，，.，，.从而得公式二：终边关于原点中心对称的角.，，.提问：你能用文字语言表述公式二吗？回答：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.提问：公式二解决了什么样角的求值化简问题？回答：公式二解决了形如的三角函数值求值化简问题.探究2：你能类比公式二，证明下面的公式吗？公式三：终边关于x轴对称的角.，，.公式四：终边关于y轴对称的角.，，.学生分两组讨论后，选派一名代表进行证明.教师指出：①公式中的α指任意角.例如化简，这样的式子时，角1，都是任意角；②诱导公式二、三、四的结构特征：左右两端三角函数名称不变，角不变，只是前面放一个符号；符号的判断方法：把看成锐角时原函数值的符号.设计意图：由两个角的终边相同到终边关于原点中心对称、关于x轴对称以及关于y轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式二、公式三和公式四，并将问题2研究方法一般化.例1利用公式求下列三角函数值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.思考：由例1，你对公式一至公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？师生共同小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数.可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）设计意图：阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角的数量关系→终边及圆的对称关系→交点的坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.例2化简（为第三象限角）.提问：是否可以用公式二、三、四进行化简？事实上，公式中的角指的是任意角，由一般到特殊，即便没有“为第三象限角”这个条件，我们也可以用公式进行化简.解：，，，，所以原式.师生共同小结：用诱导公式化简求值的方法：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.教师活动：请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦……学生活动：知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思想.设计意图：开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆.布置作业：课本P191练习1,2,3,4.

课程基本信息课题诱导公式（2）教科书书名：普通高中教科书数学人教必修第一册A版教学目标教学目标：1.能够类比诱导公式二、三、四的研究方法，推导其它诱导公式；并能够运用诱导公式解决三角函数的求值问题；2.在诱导公式的推导过程中，感受数形结合，转化与化归思想的应用；3.通过对诱导公式的推导与应用，发展数学运算和数学推理的素养.教学重点：诱导公式的探究与应用.教学难点：各组诱导公式间的整合与应用.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟2分钟10分钟5分钟5分钟2分钟（一）情景导入（二）预习课本，引入新课（三）新知探究（四）典例分析、举一反三（五）例题（五）课堂小结、布置作业各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师许雯，今天我们学习的内容是“诱导公式二”.通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函数的定义，推导出诱导公式二、三、四，并且利用这些诱导公式将任意范围内的角的三角函数值转化到间的角的三角函数值求解，而这三个诱导公式也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.回顾这三个诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角的终边关于坐标轴，原点的特殊对称而得到的.那么在单位圆中是否还有其他特殊的对称关系呢？它们所对应的角的三角函数是否也存在某些特殊的关系？今天我们来继续对诱导公式进行探究.回顾：上节课，我们是通过什么方法推导出诱导公式二、三、四的？生：从单位圆上的点关于原点、坐标轴的对称性出发探究得到的.师：我们对对称前后的角都建立了那些联系？生：对称前后角的关系，它们的终边与单位圆交点的坐标关系，以及三角函数的关系.师：今天我们将对称轴变为直线y=x看看能否得到新的诱导公式.设计意图：师生共同回顾，为新课做准备．问题1：作P1关于直线y=x的对称点P5，以OP5为终边的角与角有什么关系？师生活动：学生画图独立思考尝试说出角的关系，学生可能只画一种情况（如图一），提醒学生可以画终边不同象限（或坐标轴上）的角，确定终边关于直线y=x对称的角始终有的关系（图一）（图二）（图三）（图四）事实上，不管角的终边OP1在什么位置，化成一圈内终边在OP1与OP5的角都可以表示为与（见图二）.另，则.问题2：角的关系已经有了，那直角坐标系中关于直线y=x对称的两个点的坐标之间有什么关系吗？学生活动：学生分小组讨论，由图一可以猜想点P1（x1，y1）与点P5（x5，y5）关于y=x对称，那么有x5=y1，y5=x1.引导学生利用全等知识对图一进行证明.作P1关于y轴的垂线，P5关于x轴的垂线，由于P1与P5关于y=x对称，我们可以证明图中的两个三角形全等，因此对应边相等，将长度转化为坐标关系，就有x5=y1，y5=x1.对于终边的其他的不同位置，你们课后可以去证明它们的坐标依然有这种等量关系.问题3：最后我们要探究角与角的三角函数值有什么关系？学生活动：学生独立思考写出诱导公式五的关系.师：根据三角函数的定义，得.从而得公式五：终边关于y=x对称的角.，.探究：你能合理利用对称关系推导出下面的公式吗？公式六：，.画图并思考角的终边与角的终边具有怎样的对称性？我们怎么利用你发现的对称关系证明公式六.学生活动：学生思考，老师引导学生可以利用二次对称得到终边关系.我们可以角的终边OP1首先关于直线y=x对称得到OP5，再关于y轴对称得到的OP6就是角的终边.因此得到P1（x1，y1）与P6（x6，y6）的横纵坐标具有x6=﹣y1，y6=x1的数量关系，从而利用三角函数的定义就可以得到诱导公式六.当然你还可以利用别的方法推导这个公式，这个留给你们下课去探索.问题4：（教师总结性提问）这两组公式的与众不同之处是什么？学生：公式左右的函数名称改变.教师：因此这组公式的特点是：等号左右的函数名发生改变，即等号右侧变为角的余名三角函数值；公式右侧的符号是把当成锐角时，所求三角函数值的符号.设计意图：由两个角的终边关于y=x对称、到需要二次对称或者旋转变化的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式五和公式六，培养学生的化归思想.例1证明：（1）；（2）.证明：（1）（2）设计意图：通过证明题巩固诱导公式的应用，同时体现了转化的数学思想方法.初步熟悉诱导公式的使用，补充了六组诱导公式.例2.化简求值，其中化简过程略.思想：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数.可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值），