考研数学概率论与数理统计学习知识重点情况总结

第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件.事件关系：1.AuB,A发生必导致B发生.2.AYB和事件，A,B至少一个发生，AYB发生.3.AIB记AB积事件，A,B同时发生，AB发生.4.A-B差事件，A发生，B不发生，A-B发生.5.AIB=0,A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容.6.AYB=S且AIB=0,A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=A=S-A.事件运算：交换律、结合律、分配率略.德摩根律：AYB=AIB,AIB=AYB.概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A).概率性质：1.P(0)=0. 2.(有限可加性)P(A,YA2Y…丫An)=P(A,)+P(A2)+…+P(An),A,.互不相容.3.若AuB,则P(B-A)=P(B)-P(A).4.对任意事件A,有P(A)=1-P(A).5.P(AYB)=P(A)+P(B)-P(AB).古典概型：艮J等可能概型，满足：1.S包含有限个兀素.2.每个基本事件发生的可能性相同.等概公式：P(A)_k_八中样本点数()n5中样本点总数.超几何分布：(D丫N-D)〃N) (a)P=/ // ，其中二°.1k人n-k)/In) Ir)a条件概率：P(B|A)=PAB).1 P(A)乘法定理：P(AB)=P(BA)P(A)P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A).全概率公式：P(A)=P(AB1)P(B1)+P(aB2)P(BJ+A+尸(ABn)P(B)，其中B/S的划分.贝叶斯公式：P(B|A)=P网BJP(B,),P(A)=£P(AlJ P(A) 一jT, p(Ab)p(b)3)P(B)或P(BA)=―.一、L；—h.jj 1p(Ab)p(b)+p(Ab)p(b)独立性：满足P(AB)=P(A)P(B),则A,B)相互独立，简称A,B独立.定理一：A,B独立，则.P(BIA)=P(B).定理二：A,B独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立.第二章随机变量及其分布(0—1)分布：P{X=k}=pk(1—p)1-k,k=0,1(0<p<1).伯努利实 一眸 实验只有两个可能的结果：A及A.验：二项式分布：记X-b(n,p),P{X=k}=Ckpk(1-p)n-k.n壬奴到…必独立且每次试验概率保持不变.其n重伯努利实验：心人哈加［出日口一后一八七中A发生k次，即一项式分布.泊松分布：记X-n(X),P{X=k}=^e^,k=0,1,2,A.k!泊松定理：九ke-九hmCkpk(1p)n-k= ，其中np6.当n>20,p<0.05应用泊松定理近似效果颇佳.、n k!n-8 •随机变量分布函数：F(X)=P{X<x},-8<x<+8.P{%<X<x2}=F(x2)-F(xj.连续型随机变量：F(X)=Jxf(t)dt,X为连续型随机变量，f(X)为X的概率密度函数，简称概率密度.-8概率密度性质：1.f(X)>0；2」+8f(X)dx=1；3.P{x<X<x}=F(x)-F(x)=bxf(x)dx；4.F'(x)=f(x),-8 1221 X1f(x)在x点连续；5.P{X=a}=0.

均匀分布：(1、「 ，x ，a<x<b厂/、记X~U(a，b)；f(x)={b—a ；F(x)=<〔0, 其它0, x<axaa 1 ,a<x<b.baa1, x>b性质：对a<c<c+1<b，有P[c<X<c+1}=—l—baa指数分布：)=[1e-x。，x>0 口/、f1—e-x&x>09 ;F(x)=J 甘^.0, 其它 10 其匕无记忆性：P{X>s+1X>s}=P{X>t}.正态分布：1 (x—U)2记X~N(也。2)；fx)二应*exp[—俣1 1 (t—U)2；仆'一mg'—「皿 2G21dt.性质：1.f(x)关于x=〃对称，且P{〃-h<XW〃}=P{〃<X斗+h)；2.有最大值f(p)=(历G)-1.标准正态分布：1 1 .即〃=0，产1时1 .x2__ 1一._12一一 '叭x)={—exp[J；①(x)二寸』exp[]dt.的正态分布6 2 区… 2 *〜n(0，1)性质：①(—x)=1-0(x).正态分布的线性转化：X—U X—Ux—U x—U对X〜N(U,G2)有Z=—匕~N(0,1)；且有F(x)=P{X<x}=P{—匕<—匕}=①(一匕).G G G G正态分布概率转化：P{x<X<x}=O(x2^^)—①(x^^)；P{U—tG<X<U+1G}=O(t)—0(—t)=2①(t)—1.1 2 G G3o法则：P二屯(1)—①(-1)=68.26%；P二屯(2)—①(-2)=95.44%；P二屯(3)—①(-3)=99.74%，P多落在a-3o，〃+3o)内.上a分位点：对X〜N(0，1)，若za满足条件P{X>za}=a，0<a<1，则称点za为标准正态分布的上a分位点.常用上a分位点：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6451.282Y服从自由度为1的X2分布：设X密度函数fX(x)，—s<x<+s，若Y=X2，贝U、[l[f(\yy)+f(—6)]y>0fY(y『2JyX、 X、[0, y<0若设X〜N(0，1)，则有f(、八，丁y-12e-y2，y>0fY(y)=jJ2冗[0, y<0定理：设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g^(x)>0(或g^(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有ff［h(y)］“(y)1a<y<p h(y)是g(x)的反函数；①右s<x<+s，则a=min{g(一功，fY(y>［0X 其他 g(+功}，B=max{g(f)，g(+«)}；②若fX(x)在［a，b］外等于零，， 、 g(x)在［a，b］上单调，则a=mln{g(a)，g(b)}，B=max{g(a)，g(b)}.应用：Y=aX+b〜N(a〃+b，(1a10)2).第三章多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：F(x,y)=P{(X<x)I(Y<y)}，记作：P{X<x,Y<y}.P{x1<X<x2,y1<Y<y2}=F(x2,y2)—F(x2,yj—F(x/y2)+F(x/yj.F(x，y)性质：1.F(x,y)是x和y的不减函数，即x2>X1时，F(x2，y)>F(x,,y)；y2>y,时，F(x，y2)>F(x，y,).2.0<F(x，y)<1且F(-8，y)=0,F(x，s)=0,F(-8，s)=0,F(+8，+^)=1.3.F(x+0,y)=F(x，y)，F(x，y+0)=F(x，y)，即F(x，y)关于x右连续，关于y也右连续.4.对于任意的(x,,y,),(x2,y2),x2>x,,y2>丁]，有P{x1Vx<x2,y,<Y<y2}>0.离散型(X,Y)：p..>0，XXP=1，F(x,y)=Z2p.连续型 F(x,y)Jyjxf(u,v)dudv.ij ij ij (XY).i=1j=1 x<xy<y 】X，Y：： —8—8fx，y)性质：i i P P1.f(x，y)>0. 2.J8J8f(x,y)dxdy=F(8,8)=1.—8—8

3.P{(X,Y)eG}=0f(羽y)dxdy.GS2F(x,v)一、4.若f(x,y)在点(x,y)连续，则有一^^一=f(x,y).SxSyn维：n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似.边缘分布：Fx(x),Fy(y)依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，FX(x)=F(x,8),FY(y)=FQ,y) y离散型：P和P,分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，记p=Xp=P{X=x},p=Xp=P{Y=y}.i* *J i*「灯 i *j ij j1=1 Ji=1J J连续型：f(x)，f(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数，记f(x)二人f(x,y)dy,f(y)」f(x,y)dx.X Y X -s Y -s二维正态分布：r.1 1 —1 「(x—N)2 (x-^)(y-^)(y-^)2f(x,y)= ； exP{c「 、[ 2p 1 计+ ^-\}.2goJ1-p2 2(1-p2)o2 oo o212、 1 12 2记(X,Y)~na1,〃2,012,O22,p)八 1 (x-N)2 八 1 (y-N)2 , ,f(x)= —exp[- ^―],-s<x<s.f(y)=-；=-exp[—-―],-s<y<s.X 42兀o 2o2 Y J2兀o 2o21 1 2 2离散型条件分布律：P{X=xYP{X=x,Y=y}p=y}= i J=-j.j P{Y=yj p*jP{Y=yX=x}=P*=号Y=yj}='.j i P{X=x.} p连续型条件分布：条件概率密度：fJx1y)=筌XIY fY(y)条件分布函数：F (xIy)=P{X<xIY=y}=Jxf(x'V)dxxY ' -sfY(y)乙(y।x)=4(x4Y1X fX(x)F(yIx)=P{Y<yIX=x}二卜4^^dyYIX -sf(x)X含义：当…0时，P{x<x1y<Y<y+e}tfXY，(x|y)dx=FX”(x|y).均匀分布：一、11 (xV)eG若f(x,y)=(A'( ，则称(X,Y)在G上服从均匀分布.〔0,其他独立定义：若P{X<x,Y<y}=P{X<x}P{Y<y}，即F(x,y)=F(x)F(y)，则称随机变量X和丫是相互独立的. . —— « ―y^ 独立条件或可等价为：连续型：f(x,y)=f(xf,(y)；离散型：P{X=xi,Y=y；}=P{X=xi}P{Y=y}正态独立：对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互对立的充要条件是：参数p=0.n维延伸：上述概念可推广至n维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多兀(1〜n-1兀)的.定理：设(X1,X2,…，Xm)和(Y1,Y2,…，Yn)相互独立，则为和4.相互独立.又若h,g是连续函数，则h(XJX2,…，X)和g(匕，Y2,…，Y)相互独立.Z=X+Y分布：若连续型^?概率密Kf(累；f(z)」f(z-y,y)dy或f(z)」f(x,z-x)dx.则Z=X+Y为连续型且其概率密度为 X+Y -s X+Y -sfx和f的卷积公式：记f*f=f (z)=卜f(z-y)f(y)dy=』sf(x)f(z-x)dx，其中除继上述条件，且X和YX Y X+Y -sX Y -sX Y相互独立，边缘密度分别为fX(x)和必).正态卷积：若X和Y相互独立且X〜Na尸O⑵，记Y-Na2,o22),则对Z=X+Y有Z-N51+以2,o12+o22).1.上述结论可推广至n个独立正态随机变量.2.有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布.伽马分布：记X~「(a，。), f(x4a>0,0>0.1 1 ，，八xa-1e-x0,x>00a「(a) ，其中r(a )=』ta-1e-1dt.0, 其他 0

若x和y独立且x〜r(a,e)，记y-r也,e)，则有x+y〜r(a+p,e).可推广到n个独立r分布变量之和.z=-：Xf/(z)=J[x]f(x,xz)dx，若X和Y相互独立，则有f：(z)=fxf(x)f(xz)dx.YX 一/। YX 一31X Yz=XY分布：.1 7 . 1 7f(z)二尸一f(x,-)dx婪Y和y珀万汕一皿出f(z)二尸一f(x)f(-)dxXY _gx x ，若X和Y相互独立，则有XY _gxX Yx ^大小分布：若X和Y相互独立，且有M=max{X,Y}及N=min{X,Y}，则M的分布函数：Fmax(z)=FX(z)F,Y(z),N的分布函数：Fmin(z)=1—[1—FX(z)][1-FY(z)]，以上结果可推广到n个独立随机变量1的情况.第四章随机变量的数字特征数学期望:简称期望或均值，记为E(X)；离散型：E(X)=X74.连续型：E(X)=卜xf(x)dx.数学期望:定理：1•若X是离散型，且分E(Y)=Xg(x)p布律为p{X=xk}=pk，则： k=「11：5X是连续型概E(Y)-J"g(x)f(x)dx.率密度为f(x)，则： -7定理推广：设Z是随机变量X,Y的函数：Z=g(X,Y)(g是连续函数).P{X墨露分布律为E(zjg(x.,y,)p「2.连续型：E(Z)-卜卜g(x,y)f(x,y)dxdy-8-8期望性质：设C是常数，X和Y是随机变量，则：1.E(C)=C.2.E(CX)=CE(X).3.E(X+Y)=E(X)+E(Y).4.又若X和Y相互独立的，则E(XY)=E(X)E(Y).方差：记D(X)或Var(X),D(X)=Var(X)=E{[X—E(X)]2}.标准差(均方差)：记为a(X),a(X)=/D(x).通式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.D(X)-X[x-E(X)]2p,D(X)—尸[x-E(x)]2f(x)dx.k kk-1 7标准化变量：_x一U __记X*=一匕，其中E(X)=U,D(X)=。2,X*称为X的标准化变量.OE(X*)-0,D(X*)-1.方差性质：设C是常数，X和Y是随机变量，则：1.D(C)=0. 2.D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X).3.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X—E(X))(Y—E(-))},若X,Y相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0的充要条件是P{X=E(X)}=1.正态线性变换：若X〜N(U22),C.是不全为0的常数，则CX+CX+A+CX〜N(£CU,£。202).i ii 1 11 2 2 nn ii iii-1 i=1切比雪夫不等式：O2 O2P{XU»£}V 或p{X川<£}>1 ，其中U—E(X),02—D(X),£为任意正数.' ' £2 ' ' £2协方差：记Cov(X,Y)—E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.X与Y的相关系数：Cov(X,Y)p—। ,XYJD(X)JD(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y).性质：1.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.2.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2,Y).系数性质：令e=E[(Y—(a+bX))2],则e取最小值时有 Cov(XY)e —E[(Y-(a+bX))2] —(1-p2)D(Y), 其中°o- E(Y) b0E(X)' b0 - D(X).min 0 0 XY1.IpXYl<1.2.IpXY1=1的充要条件是：存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1.IpXJ越大e越小X和Y线性关系越明显，当IpXY1=1时，Y=a+bX；反之亦然，当pxY=0时，X和Y不相关.一81=1设丫是随机变量x的函数：y=g(x)(g是连续函数).X和Y相互对立，则X和Y不相关；但X和Y不相关，X和Y不一定相互独立.定义：k阶矩(k阶原点矩)：E(Xk).k+1阶混合矩：E(XkYi).k阶中心矩：E{[X—E(X)]k}.n维随机变量X.的协方差C-卜1112A ,n：ccAc21 22 2nM M Mc广Cov(X1,X)，=E{[X]E(X,)][X,—E(X,)]}.J J1VX 1VX 1VX、ccAc,n1 n2 nn/

k+1阶混合中心矩：E{[X—E(X)]k[Y—E(Y)]i].矩阵：n维正态分布：1 1 X=(X,x ,A ,x)tf(X,X,A,x)= :,__-exp{ (X4)tC-1(X")}, 12 n.12 n(2冗)n2VdetC 2 4=(日,日,A ,日)t1 2 n性质：1.n维正态随机变量(X15X2,…，Xn)的每一个分量X;(i=1,2,…，n)都是正态随机变量，反之，亦成立.2.n维随机变量(X1,X2,…，Xn)服从n维正态分布的充要条件是X〃X2,…，Xn的任意线性组合11X1+12X/…+1nxn服从一维正态分布(其中l产12,…，ln不全为零).3.若(X1,X2,…，Xn)服从n维正态分布，且Y1,Y2,…，Yk是Xj(j1=1,2,…，n)的线性函数，则(YyY2,…，Yk)也服从多维正态分布. 」4.若(X〃X2,…，Xn)服从n维正态分布，则“Xi相互独立”与“Xi两两不相关”等价.第五章大数定律及中心极限定理弱大数定理：若X1,X2,…是相互独立并服从同一分布的limP11£x_日随机变量序列，且E(Xk)=〃，则对任意£>0有n.61nk=1k<£[=1或X.R,X=—£X.J nk=1k定义：Y1,Y2，…，Yn，…是一个随机变量序歹U,a是一个常数.若对任意£>0,有limP{|Y-a|<s}=1n.6 n则称序列Y1,Y2,…，Yn，…依概率收敛于。.记Y—^.a伯努利大数定理：对任意£>0有limp{L-pn.6 1In<s>=1或limP\fpp>s>=0.J n.61n J其中fA是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率.中心'极限定理定理一：设X]X2,Tn，…相互独立并服从同一分布，且E(Xk)=〃，D(X)=o2>0,则ni时有~ 一♦nV ..近似的 TXX-R „— ct(£X -nR) <no N(0, 1)或 :「~N(0, 1)或X ~N(n,。2'n ).k=1k / On'n定理 •：设X1X2,…Xn，…相互独立且E(Xk)=Nk,D(Xk)=o,2>0,若存在d>0使nT0k时，1 (£x-£r) £E{|X-r|2+s}.0，则-nk=1-k-k=1k~N(0,1),记B2=£o2.B2+8 kk B n&[kk=1 k=1n n定理二：设“〃~b(n,p)，则nis时，(n-np)/q'np(1-p)-N(0,1),“=£X.n n nk=1k第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限.定义：样本：X1,X2,一X」相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本.频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形.横坐标：数据区间(大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距△二大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位).图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线.纵坐标：频率/组距(总长度：<1/A；小区间长度：频率/组距).定义：样本p分位数：记xp，有1.样本xi中有np个值Wxp.2.样本中有n(1—p)个值Nxp.箱线图：xp选择：记,x, 当npeNJnp]+1)—[x+x ],当npgN.2 (np) (np)+1分位数x05,记为Q2或M，称为样本中位数.分位数x0k记为Q1，称为第一四分位数.分位数x075,记为Q3,称为第三四分位数.图形：图形特点,[Q1,M],[M,- -：M为数据中心，区间[min,Q1] * Ml M： Q3],[Q3,max]数据个数各占1/4,区间越短数据密集.minQ, MQomax四分位数间距：记IQR=Q3—Q/若数据X<Q1—1.5IQR或X>Q3+1.5IQR,就认为X是疑似异常值.

抽样分布：样本平均值：—15X=±£xni=1 iL、/i. ..、j.样本力差：S2=—£(X—X)2=—(£X2—nX2)n—1i=1i n—1i=1i样本标准差：S=Ss2样本k阶(原点)矩:1nA=—£Xk,k>1k ni=1i样本k阶中心矩：B=1£(X—X)k,k>2k ni=1 i经验分布函数：F(x)=—S(X)，—8<x<g.n nS(X)表示F的一个样本X1X2,…Xn中不大于X的随机变量的个数.自由度为n的x分布：记x2~X2(n),X2=X2+X2+A+X2，其中XX，…X1 2 n 12 n是来自总体N(0,1)的样本.E(x2)-n,D(x2)-2n.兀2+X22〜％2(n1+n2).f(J)=,11 .■/ 、八 Xn2—1e—J2, J>02,2r(n2) .、 0, 其他*分布的分位点：对于0<a<1,满足P[X2>/2(n)}=J8f(j)dj=a，则称x2(n)为x2(n)的上a分位点.a XA(n) 0、,, ,、1, -7 ,.当n充分大时(n>40),Z2(n)氏—(z+2nn—1)2，其中z是标准正态分布的上a分位点.a 2a a自由度为n的t分布：X 其中X-N(0,1),记t-t(n),t= ,Y〜%2(n),X,Y/n相互独立.7/、r[(n+1)2] 12、h(t)=-4=■—―(1+—)-(n+1)'27冗nr[n；2] nh(t)图形关于t-0对称；当n充分大时，t分布近似于N(0,1)分布.t分布的分位点：对于0<a<1,满足P{t>t(n)}='h(t)dt=a，则称t(n)为t(n)的上a分位点.0 ta(n) 0由h(t)对称性可知11“(n)--t“(n).当n>45时，t<n)~za,za是标准正态分布的上a分位点.自由度为(n1,n2)的F分布：、 uU：n记F~F(n1,n2),F=-7—1，其中U〜%2(n1),1 V：n2V〜X2(n2),X,Y相互独立.1/F~F(n2,n1)v(J)=''r[(n1+n2)；2](n1：n2)n「2J(n/2)-1,,x>0r(nj2)r(n2,2)[1+n1j/n2](-i+n2)；2 他F分布的分位点：对于0<a<1,满足P{F>F%4)}=J8 v(J)dj=a,则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上a分位点.Fa(n1,n2)重要性质：F1Kn1,n2)-1/Fa(n1,n2).定理一：设X15X2,…Xn是来自N〃，。)的样本，则有X~N⑴,O2/n)，其中X是样本均值.定理二：设X1X2,…Xn是来自N〃㈤)的样本，样本均值和样本方差分别记为— 「 (n—1)S2 ,八 77cX,S2，则有1. 〜X2(n1)；2.X与S2相互独立.O2定理三：设X1X2,…Xn是来自N〃,。2)的样本，样本均值和样本方差分别记为- 八 X—U/ “、X,s2，则有—；~t(n—D.S,7n定理四：设X1X2,…Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自Na],。/)和N%。22)的样本，且相互独立.设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为X,Y,S12,S2,则有1.若〜F(n1Tn2-1).(X—Y)—⑴一旦), 4 0 (n—1)S2+(n—1)S20丁2.当22-a2-02时， 1 1 2-〜t(n+n2),其中S2= 1 2 廿,S八'S2.2 SJ—1-1+n-1 1 2 叩 n+n—2 w w八1 2 1 2第七章参数估计定义：人 人估计量：9(X,X,A,X),估计值：9(x,x,A,x)，统称为估计.1 2 n 1 2 n矩估计法：令R=E(XI)-A=—£X1(l=12A,k)(k为未知数个数)联立方程组，求出估计9.l lni=1 '设总体X均值〃及方差a2都存在，则有d=A=X,a2=A—A2=1£X2—X2=1£(X—X)2.1 2 1 ni=1i ni=1 i

似然函数：离散：L(9)=np(X;9)或连续：L(9)=n/(X;9)似然函数：离散：L(9)=np(X;9)或连续：L(9)=n/(X;9),L(9)化简可去掉与e无关的因式项.最大似然估计法：人9即为L(9)最大值，可由方程-d-L(9)=0或-d-lnL(9)=0求得.d9 d9当多个未知参数e1,e『…，ek时：可近程组d9L=0或d91nL=0(i=1,2,A,k)求得.i i ・人 ，人、 R 最大似然估计的不变性：若u=u(e)有单值反函数e=e(u)，则有u=u(9)，其中9为最大似然估计.截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段10内记录产品个体失效时间(0勺1M:…wtm<10)和失效产品数量.定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0<t1<12<-<tm).结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X〜e(e),0即产品平均寿命.产品ti时失效概率P{t=ti}xf(ti)dt,寿命超过t的概率F{t>t}=e-tm9，则L(9)=Cm(F{t>t})n-m门尸(t)，化简得L(9)=9-me-9-1s(tm),m m n m ii=1d，，,八、八 八S(t) 、由』a1nL(9)=0得：9=——，其中s(J)=[+y…+L+(nm)幻，称为实验总时间.d9 m m12m ，m，・ii=1 ii=1 s(t)定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s(10)=t1+1/…+1+(n—m)10，L(9)=9-me-9-1s(t0),9=—0m无偏性:估计量9(X1，x2,A,X)的矶9)存在且E(9)=9，则称9是9的无偏估计量.有效性:八，一一， 一、 八，一一， 一、 人.人.一9(X,X,A,X)与9(X,X,A,X)都是9的无偏估计量，若D(9)<D(9)，则9较9有效.1 1 2 n2 1 2 n相合性:八 八 八设9(X,X,A,X)9的估计量，若对于任意£>0有limP{l9—9|<8}=1,则称9是9的相合估计量.1 2 nn-8置信区间:P但(XJX2，A,Xn)<9<9(X/X2，A,Xn)}>1—a,9和9分别为置信下限和置信上限，则(0,9)是9的一个置信水平为1-a置信区间，1-a称为置信水平，0<a<1.正态样本

置信区间：e置信区

间的求解:设X1，X2，…，Xn是来自总体X〜Na,e)的样本，则有〃的置信区间：枢轴量WW分布X-a D*〜WnP1a,b不等式置信水平置信区间其中52为上a分位占八、、1.先求枢轴量：即函数w=w(XjX2,…，Xn；e)，且函数w的分布不依赖未知参数.2.对于给定置信水平1-a，定出两常数a,b使P{a<W<b}=1a，从而得到置信区间.如上讨论标注样本容量n>50时，lim(nX-nP丫工n(1―p)〜N(0,1)nP卜nX-np).：<np(1-p)(0—1)(0—1)分布p的区间估计：(n+z2)p2—(2nX+z2)p+nX2<0n若令a=n+z2,b=—(2nX+z2),c=nX2，则有置信a2 a2 a2 a2区间((一b—\b2—4ac)/2a,(—b+bb2—4ac).；2a).单侧置信区间：若P{9>9}>1—a或P{9<9}>1—a，称(9,8)或(—8,9')是o的置信水平为1—a的单侧置信区单侧置信区间：待估其他枢轴量W的分布置信区间单侧置信限.——个正〃O2已知z=X^#〜N(0,1)o/7n(X±二z,.)Jna,2a=X+—；=z,M-=X——；=z7na— Jna间.正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为1-a)

态总体O2未知X—^二转~1)x±Xt.1 dn"2J—彳S -SH―X+-t,h―X―-t〃02〃未知X2=(n—1"2〜x2(n—1)O2,、(n—1)S2(n—1)S2—_(n-1)S2 K._(n—1)S2,v咕2 七2，UJ ,UJX2 —X21—a a两个正态总体〃1一〃2O12,O22已知Z_X-Y-()-火)(J _ _ |O2O2H—HX—Y+z i-1-+-2-1 2 a\nn1 1 21——、)|o2 O2— — IO2 o2XY±z.：1IT+Ta2\nnV 1 1 2J। 1 1 2nnn1 1 2〜N(0,1)j—— Io2o2H—H_X—Y—z +t 2 a\nn〃1一〃2O12=O22=02未知(X—Y)—(日—日)t_ . 1S个n—1+n—1〜t(n+n—2)0 (n—1)S2+(n—1)S2S2__1 1 2 2-w n+n—2\ ——Y±t.S\i'n-1+n-1,S_正H—H_X—Y+1Snn-1+n-1H—H_X—Y—tSnn-1+n-1O12/O22〃1，〃2未知口S2：S2F_1.2O2.o21 2〜F(n1—1,n2—1)'S21S2 1'O2S21O2S2