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文档简介

第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则

函数的求导法则思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容一、和、差、积、商的求导法则定理证(3)证(1)、(2)略.推论注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.例题分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得已推导的基本公式:说明:

类似可得二、反函数的求导法则

定理2.

y的某邻域内单调、可导,

证:在

x

处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知

因此即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例1.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则2)设则特别当时,小结:思考题:三、复合函数的求导法则

前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，但是像等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数?先看两个引例．这里我们是先展开，再求导，若像求导数，展开就不是办法，再像求导数，根本无法展开，又该怎么办？

仔细分析知:引例1:引例2:?注意到事实上由以上两例可见：由复合而成的函数的导数恰好等于对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积——这就是链式法则在点x

可导,定理3.在点可导复合函数且在点x

可导,证:在点

u可导,故故有（当时)即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)例如,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.关键:1.搞清复合结构,注意中间变量;2.链式法则——“由外向里，逐层求导”.例2解例3解练习1解例4解练习2练习３.设求解:思考:

若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习４:

设例5解例6解:练习5例7:求下列导数:解:

(1)(2)(3)说明:

类似可得例8.

设解:记则(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见

P94例16.的反函数四、初等函数的求导问题

1.常数和基本初等函数的导数(P94)2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数例9.

求解:练习6.设解:求例10.

求解:关键:

搞清复合函数结构由外向内逐层求导例11.

设求解:五、内容小结求导公式及求导法则(见P94)注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.1.思考与练习对吗?2.

设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,3.

求下列函数的导数解:(1)(2)或4.

设求解:

方法1

利用导数定义.方法2

利用求导公式.备用题

1.设解：2.设解:其中可导,求求思考题幂

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