函数解析式与函数图象的对称 - 顺义教育信息网

函数解析式与函数图象的对称北京市顺义牛栏山第一中学张传海胡亚萍函数图像是函数结构的形象直观的表达方式，函数自身图像的对称关系与其解析式有必然的联系；不同的函数如果图像存在着对应关系，他们的解析式之间也一定有着必然的联系。掌握好函数的图像及其相互之间的关系对于学生掌握函数知识意义重大，这也是学好函数的一条捷径。一．关于一个函数本身（一）常见的同一个函数图像自身的对称关系：（1）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于原点中心对称（奇函数）；（2）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于y轴对称（偶函数）；以上是两个比较基本的情况，即奇偶性。图像发生变化——平移之后，又有：（3）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于点中心对称；分析：点在函数的图像上，即，而点关于点的对称点为，并且。所以点也在函数的图像上，故函数的图像关于点中心对称。（4）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于直线对称；分析：（略，同(3)）（5）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于直线对称；分析：点在函数的图像上，即，而点关于点的对称点为，并且。所以点也在函数的图像上，故函数的图像关于点中心对称。再做一些数据上的变化，还有：（6）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于直线对称；分析：点在函数的图像上，即，而点关于点的对称点为，并且。所以点也在函数的图像上，故函数的图像关于点中心对称。（7）对于函数，如果恒成立，那么函数的图像关于点中心对称；分析：类比（6）的证明可得结论。11.（07宁夏）设函数为奇函数，则实数。例1．(07重庆)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（）A.B.C.D.解：令，为偶函数，所以，即，直线式对称轴。下略，选D。例2．设函数y=f(x)定义在实数集R上，且满足f(x－1)=f(1－x)，则函数y=f(x)的图象关于（）对称。（A）直线y=0(B)直线x=0(C)直线y=1(D)直线x=1解：对称轴为，选B。（二）如果一个函数有两个或两个以上的对称关系对于下述四个条件：（1）是对称轴；（2）是对称轴；（3）是对称中心；（4）是对称中心。其中是互不相等的常数。如果函数满足上述条件中的任意两条，则此函数为周期函数。例如：如果函数满足（1）是对称轴；（2）是对称轴。证明：函数是周期函数。证明：因为是对称轴，所以，令，则，代入上式可得：，因此对任意实数有；又因为是对称轴，所以，故又有再令，则，代入上式，有即恒成立，命题得证。进一步还可以进行探究，可得出：①若满足（1）（2），则函数的一个周期是；②若满足（1）（2），则函数的一个周期是；③若满足（1）（3），则函数的一个周期是。例3．（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数分析：函数有两条对称轴与，所以是周期函数，再根据条件，画图观察即可。选B.例4.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数解:与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D。例5.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以-8-6-4-202468y-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.1、（05广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.二．不同的函数的对称关系：（1）如果函数存在反函数，那么函数与函数的图像关于直线y=x对称；（2）函数与函数的图像关于y轴对称；分析：点在函数的图像上，即，而，即关于y轴的对称点在函数的图像上。（3）函数与函数的图像关于x轴对称；分析：点在函数的图像上，即，所以，即关于x轴的对称点在函数的图像上。（4）函数与函数的图像关于原点对称；分析：点在函数的图像上，即，而，即关于原点的对称点在函数的图像上。（5）函数与函数的图像关于y轴对称；分析：令，则，再由（2）的分析可知结论成立。（6）函数与函数的图像关于原点对称；分析：令，则，由（4）的分析可知结论成立。（7）函数与函数的图像关于直线对称；分析：在函数的图像上任取一点，有，点关于直线对称的点为，而，命题得证。（8）函数与函数的图像关于对称；分析：在函数的图像上任取一点，有，点关