利用导数研究函数单调性

函数的单调性与导数[学习目标]1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．[预习导引]函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0要点一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)＝eq\f(sinx,x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减．证明f′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则cosx<0，sinx＞0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是减函数．规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪演练1证明：函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在区间(0，e)上是增函数．证明∵f(x)＝eq\f(lnx,x)，∴f′(x)＝eq\f(x·\f(1,x)－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2).又0<x<e，∴lnx<lne＝1.∴f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)>0，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2lnx；(4)f(x)＝x3－3tx.解(1)f′(x)＝6x2＋6x－36，由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－3<x<2.故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2)．(2)f′(x)＝cosx－1.因为0＜x＜π，所以cosx－1＜0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝2·eq\f(3x2－1,x).令f′(x)>0，即2·eq\f(3x2－1,x)＞0，解得－eq\f(\r(3),3)＜x＜0或x＞eq\f(\r(3),3).又∵x＞0，∴x＞eq\f(\r(3),3).令f′(x)＜0，即2·eq\f(3x2－1,x)＜0，解得x＜－eq\f(\r(3),3)或0＜x＜eq\f(\r(3),3).又∵x＞0，∴0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).(4)f′(x)＝3x2－3t，令f′(x)≥0，得3x2－3t≥0，即x2≥t.∴当t≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)．当t>0时，解x2≥t得x≥eq\r(t)或x≤－eq\r(t)；由f′(x)≤0解得－eq\r(t)≤x≤eq\r(t).故函数f(x)的增区间是(－∞，－eq\r(t))和(eq\r(t)，＋∞)，减区间是(－eq\r(t)，eq\r(t))．规律方法求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)定义域内满足f′(x)＞0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)＜0的区间为减区间．跟踪演练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝x3－x2－x.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－eq\f(1,x)，由f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＞0且x＞0，得x＞eq\f(\r(2),2)，所以函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))；由f′(x)＜0得x＜eq\f(\r(2),2)，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).(2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．由f′(x)＞0得x＜－eq\f(1,3)或x＞1；由f′(x)＜0得－eq\f(1,3)＜x＜1，故函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，(1，＋∞)，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).要点三已知函数单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．解f′(x)＝2x－eq\f(a,x2)＝eq\f(2x3－a,x2).要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即eq\f(2x3－a,x2)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝eq\f(2x3－16,x2)≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．规律方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪演练3设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a＞0，∴a＜∴a的取值范围为(－∞，0)．1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是减函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6))上是增函数D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6))上是减函数答案A解析∵x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋eq\f(1,x)＞0，∴函数f(x)在(0,6)上单调递增．2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)答案A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1＜0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．答案(2，＋∞)(－∞，2)解析y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，