正弦定理余弦定理老师版

授课日期及时段教学目标1、解三角形是历年来高考重点内容之一,正余弦定理的考查，选择题、填空题与解答题都有可能出现,在考查正余弦定理知识的同时，又考查函数思想、转化思想等解决问题的能力.2、2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查正余弦定理及变形公式,命题形式会更加灵活.教学内容一、错题讲解二，知识点梳理〖知识梳理〗1、△ABC中：a＋b＞c；a＋c＞b；b＋c＞a；a－b＜c；。（三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边）2、△ABC中：（三角形的大角对大边，大边对大角）4、正弦定理：△ABC中：(为△ABC的外接圆的半径)【注】已知边边角或角角边，一般用正弦定理。5、余弦定理：△ABC中：；【注1】已知边边边或边角边，一般用余弦定理。【注2】如果的对边是，则有：；；。6、S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.7、判断三角形的形状，一般是利用正余弦定理化角或角化边。8、解三角形的一般规律：(1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解；(2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。〖分析考向〗考向一：利用正弦定理解三角形(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【典型例题】(1)在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解三角形；(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c。【迁移训练1】在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.【迁移训练2（1）】已知△ABC中，a＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，则角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°考向二：利用余弦定理解三角形(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【典型例题】在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长．已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，eq\f(bsinB,c)＝________.【迁移训练1】已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tanA的值．【迁移训练2】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值。考向三：三角形面积的相关问题1．利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化；2．除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有①S＝eq\r(pp－ap－bp－c)＝p·r(p是周长的一半，即p＝eq\f(a＋b＋c,2)，r为内切圆半径)；②S＝eq\f(abc,4R)(R为外接圆半径)．【典型例题】在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.(Ⅰ)求tanC的值;(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.【迁移训练1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．【迁移训练2】△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．考向四：判断三角形形状依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．【典型例题】根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．(2)若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC形状为________．【迁移训练1】若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【迁移训练2】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．考向五：解三角形的综合性问题(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【典型例题】的内角、、的对边分别为、、,已知,求.【迁移训练1】在中,已知.(1)求证:;(2)若求A的值.【迁移训练2】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a.(1)求eq\f(b,a)；(2)若c2＝b2＋eq\r(3)a2，求B.〖考题回放〗2014年高考题组1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷））如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A．B．C．D．2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（）A.B.C.1D.3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷））在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A.3B.C.D.4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））在中，,则等于__________.6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））若的内角满足，则的最小值是.7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）9．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷））在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则.10．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））在中，,则的面积等于_________14．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则________.11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））在中，，，，则；.12．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．13．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷带解析））△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,（1）求的值；（2）求△的面积.14．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷带解析））△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.15．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析））（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？16．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷带解析））在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且的面积，求和的值.2013年高考题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．【考点定位】本题考查正弦定理的运用，考查学生的化归与转化能力.2.【2013年普通高等学校统一考试天津卷】在△ABC中,则=(A) (B) (C) (D)3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为（） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】在，内角所对的边长分别为A．B．C．D．5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）】已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】中，,是的中点，若，则________.7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】如图，在中，已知点在边上，,,,则的长为_____.【考点定位】余弦定理及诱导公式的应用，属于解斜三角形中容易题.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】设的内角A、B、C的对边分别为.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C.9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为m/min，在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长1260m，经测量，，.（1）求索道的长；处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？10.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学卷】△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】设的内角所对的边分别为，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.12.