三次样条插值课件

4.4三次样条插值前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。4.4三次样条插值前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做14.4.1分段插值4.4.1分段插值2分段线性插值分段线性插值3分段线性插值分段线性插值4分段线性插值分段线性插值5缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在6分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性7分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值8分段三次Hermite插值算法分段三次Hermite插值算法9例题例题10例题例题114.4.2三次样条插值4.4.2三次样条插值12三次样条插值三次样条插值13三次样条插值三次样条插值14三次样条插值三次样条插值15三次样条插值三次样条插值16三次样条插值三次样条插值17三次样条插值三次样条插值18三次样条插值三次样条插值19三次样条插值课件20三次样条插值三次样条插值21三次样条插值三次样条插值22三次样条插值三次样条插值23三次样条插值三次样条插值24例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。

求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。x025解做差商表(P111),由于是等距离节点,解做差商表(P111),由于是等距离节点,26由第二类边界条件得由第二类边界条件得27解方程得将Mi代入式4.4.14)得解方程得28由于故

由于故294．5曲线拟和的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.4．5曲线拟和的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,304.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上的内积.其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:4.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设31容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.32内积的性质内积的性质33函数的欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.函数的欧几里得范数定义4.5.2设34函数的欧几里得范数性质函数的欧几里得范数性质35线性相关的函数系定义4.5.3设函数,如果存在一组不全为零的数使成立,则称函数系是线性相关的,否则称是线性无关的.线性相关的函数系定义4.5.3设函数36线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在37不难证明在R上线性无关.定理4.5.1的等价说法是:函数系线性无关的充分必要条件是Gramer行列式.不难证明38最佳平方逼近定义4.5.4设函数及函数系且线性无关.记为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素满足最佳平方逼近定义4.5.4设函数39则称为f(x)在上的最佳平方逼近函数.且其中是法方程唯一的一组解.则称为f(x)在上的最佳平方逼近40令则误差为令则误差为41特例取则法方程为其中特例取42例题例4.5.1设求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.解设由于例题例4.5.1设43故法方程为解得故法方程为44平方误差为平方误差为454.5.2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.4.5.2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题46在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线与实验数据误差在某种度量意义下最小.在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:47设是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令记误差.为寻求我们常以误差加权平方和最小为度量标准,即设是[a,b]上一组线性无关的连续函数48达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.49用向量内积形式表示,上式可记上式为求的法方程组,其矩阵的形式为用向量内积形式表示,上式可记50其中由于向量组是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式其中由于向量组是线性无关51故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为故式(4.5.14)存在唯一解52特例特例53例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示0154解由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为解由式(4.5.16)可得55平方误差为平方误差为56例4.5.3地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高例4.5.3地球温室效应问题57年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增58解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1859从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数α,β将上式改写成从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过60记则有这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32记61由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带62相应的t与n的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求相应的t与n的指数型拟合曲线关系为63以地球气温比1860年上升为例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)以地球气温比1860年上升为例,即以t=700代入上644.5.3矛盾方程组的最小二乘解设矛盾方程组这里m>n,记4.5.3矛盾方程组的最小二乘解设矛盾方程组65则上式可简记为Ax=b.矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足则上式可简记为Ax=b.66引理设则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则是非奇异方阵.引理设则B为半正67定理4.5.2设且各列向量线性无关,则(1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组恒有解;(2)设x*是法方程组的解,则x*是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.定理4.5.2设且各列向量线性无68定理4.5.2指出:实验数据的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组的最小二乘解.定理4.5.2指出:实验数据694.4三次样条插值前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。4.4三次样条插值前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做704.4.1分段插值4.4.1分段插值71分段线性插值分段线性插值72分段线性插值分段线性插值73分段线性插值分段线性插值74缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在75分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性76分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值77分段三次Hermite插值算法分段三次Hermite插值算法78例题例题79例题例题804.4.2三次样条插值4.4.2三次样条插值81三次样条插值三次样条插值82三次样条插值三次样条插值83三次样条插值三次样条插值84三次样条插值三次样条插值85三次样条插值三次样条插值86三次样条插值三次样条插值87三次样条插值三次样条插值88三次样条插值课件89三次样条插值三次样条插值90三次样条插值三次样条插值91三次样条插值三次样条插值92三次样条插值三次样条插值93例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。

求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。x094解做差商表(P111),由于是等距离节点,解做差商表(P111),由于是等距离节点,95由第二类边界条件得由第二类边界条件得96解方程得将Mi代入式4.4.14)得解方程得97由于故

由于故984．5曲线拟和的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.4．5曲线拟和的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,994.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上的内积.其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:4.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设100容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.101内积的性质内积的性质102函数的欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.函数的欧几里得范数定义4.5.2设103函数的欧几里得范数性质函数的欧几里得范数性质104线性相关的函数系定义4.5.3设函数,如果存在一组不全为零的数使成立,则称函数系是线性相关的,否则称是线性无关的.线性相关的函数系定义4.5.3设函数105线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在106不难证明在R上线性无关.定理4.5.1的等价说法是:函数系线性无关的充分必要条件是Gramer行列式.不难证明107最佳平方逼近定义4.5.4设函数及函数系且线性无关.记为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素满足最佳平方逼近定义4.5.4设函数108则称为f(x)在上的最佳平方逼近函数.且其中是法方程唯一的一组解.则称为f(x)在上的最佳平方逼近109令则误差为令则误差为110特例取则法方程为其中特例取111例题例4.5.1设求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.解设由于例题例4.5.1设112故法方程为解得故法方程为113平方误差为平方误差为1144.5.2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.4.5.2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题115在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线与实验数据误差在某种度量意义下最小.在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:116设是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令记误差.为寻求我们常以误差加权平方和最小为度量标准,即设是[a,b]上一组线性无关的连续函数117达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.118用向量内积形式表示,上式可记上式为求的法方程组,其矩阵的形式为用向量内积形式表示,上式可记119其中由于向量组是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式其中由于向量组是线性无关120故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为故式(4.5.14)存在唯一解121特例特例122例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示01123解由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为解由式(4.5.16)可得124平方误差为平方误差为125例4.5.3地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高例4.5.3地球温室效应问题126年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增127解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-18128从图4.