高中数学高考 2021届高三大题优练11 坐标系与参数方程（文） 学生版

坐标系与参数方程坐标系与参数方程大题优练11优优选例题例1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．【答案】（1），是以，为端点的线段；（2）．【解析】（1）当时，消t得，是以，为端点的线段．（2）当时，曲线的普通方程为椭圆，由，得曲线的普通方程为直线，由，得，，可知直线与椭圆相离，则的最小值为P到直线的距离最小值，则，当时，有最小值．例2．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为，则有，则，即曲线的普通方程为．直线的极坐标方程，展开可得，将代入，可得，即，即，所以斜率，则，由，可得，所以直线的倾斜角为．（2）由（1）知，点在直线上，则直线的参数方程为(为参数)．将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，整理得，设点对应的参数分别为，则，，所以．例3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若极坐标方程为的直线与曲线交于异于原点的点，与直线交于点，且直线交轴于点，求的面积．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数，且），由，可得，，，故曲线直角坐标方程为．直线的极坐标方程为，即，即，故直线的直角坐标方程为．（2）曲线的极坐标方程为，即，所以，，即，解得，即．将点的极坐标代入直线的极坐标方程得，可得，即，直线与轴的交点为，，，故．

模拟模拟优练1．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于两点，求．2．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(t为参数)．在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于点，，，求的值．3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线(为参数)与曲线，的交点从上到下依次为，，，，求的值．4．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点，直线l与曲线C相交于两点，且，求直线l的方程．5．在平面直角坐标系中，曲线，曲线(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线分别交曲线于两点，求的最大值．6．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）直线与曲线交于点，，求线段的长．7．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点(异于极点)，当时，求．8．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与曲线交于，两点，若，求的取值范围．9．在平面直角坐标系中，双曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）若，设双曲线的一条渐近线与相交于两点，求；（2）若，分别在与上任取点和，求的最小值．10．在极坐标系中，直线，圆．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；（2）已知点在圆上，点到直线和x轴的距离分别为，求的最大值．11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，是曲线上任意一点，求点到曲线的距离的最大值．

参考参考答案1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，又，所以，即．（2）把直线参数方程，得，，，由于，所以异号，．2．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由(t为参数)，则(t为参数)，所以，由（当且仅当时取等号），所以曲线的直角坐标方程为，由，则，即，又，，所以，即，所以曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，由（1）可知：曲线的直角坐标方程为，且在曲线上，则曲线的参数方程为（为参数）①将①代入曲线的直角坐标方程化简为，设所对应的参数分别为，所以，，所以，，所以，又，所以．3．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，得．曲线的极坐标方程为，有，由得曲线的直角坐标方程为．（2）法一：将(为参数)代入曲线的方程得，即．由于，故可设，是方程的两个不同的实根，所以，，由的几何意义得．同理将(为参数)代入曲线的方程得，解得两根为，，所以，故．法二：直线的普通方程为，将直线与曲线的方程联立，得，消去，整理得．设，，则，，所以．而曲线是以为圆心，为半径的圆，显然点在直线上，所以，故．4．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由，，又，即，得，即C的直角坐标方程为．（2）将代入有，化简得①，设两点对应的参数分别为，则，，由，得，，因此，即，解得或1，经检验此时①对应的，直线的方程为或．5．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）因为，，，所以的极坐标方程为，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为．（2）因为射线，则，，则，，所以，又，，所以当，即时，取得最大值．6．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由曲线的参数方程为(为参数)得曲线C的普通方程，可化为，故其极坐标方程为．（2）将代入，得，∴，，∴．7．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵(为参数)，∴曲线的普通方程为，即，∵，，∴，∴曲线的极坐标方程为．（2）依题意设，，∴由，得；由，得，∵，∴，∴，∵是圆的直径，∴，∴在直角中，，∴在直角中，，∴，即，∴．8．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为的参数方程为（为参数），所以的直角坐标方程为，即，故的极坐标方程为．（2）将直线（为参数）代入，可得，则，即，因为，所以或，故的取值范围为．9．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）若，曲线的直角坐标方程为，双曲线，一条渐近线方程为，圆心到直线的距离，，则．另解：可知双曲线，一条渐近线方程为，其极坐标方程为，由，得，故，，．（2）若，曲线的直角坐标方程为，圆心，半径．设双曲线上任取点，则，当时，，．10．【答案】（1）直线的直角坐标方程为，圆的参数方程为（为参数）；（2）．【解析】（1）由，得，因为，代入有直线的直角坐标方程为，即为，由圆，得，因为，，，所以圆直角坐标方程为，由，得圆的参数方程为（为参数）．（2）