高中数学高考 2021届高三大题优练5 立体几何（理） 教师版

立体几何立体几何大题优练5优优选例题例1．如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为4，H是线段上（不含端点）的动点，．（1）若H为EF的中点，证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取的中点，连接，，因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四边形，则．因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则，令，得，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．例2．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且，平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，连接交于点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，由，知，又，即，在中，，由余弦定理，得，即，故，则，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知，，，如图建立空间直角坐标系，由题意，有，，，，，∴，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，，则；设平面的法向量为，则，即，令，得，，则，设平面和平面所成二面角的大小为，则，∴由平面和平面所成锐二面角，故其余弦值为．例3．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动．（1）当时，求点的位置；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）为的中点，理由见解析；（2）．【解析】（1），，，由余弦定理可得，所以，，四边形为矩形，，平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设，则，，，，，解得，，当点为的中点时，．（2）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，易知平面的一个法向量为，，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．例4．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）证明：连接，在中，因为，，，所以．因为点是的中点，所以．在中，，，，由余弦定理，有，所以，所以．在中，，，，满足，所以，又，所以平面．（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，设，，在中，，而，得，所以．平面的一个法向量为，直线与平面所成角为，因为，，所以，所以．因为，所以，得，所以或(舍)，所以．

模拟模拟优练1．如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：在菱形中，，为等边三角形．又为的中点，，，，底面，平面，．，平面，平面．是棱上的点，平面，．（2）解：底面，，建立如图所示空间直角坐标系，设，则．，，，，，．由，得．设是平面的法向量，由，得，令，则，，则，又平面的法向量为，．由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．2．点，分别是正方形的边，的中点，点在边上，且，沿图中的虚线、、将、、折起使、、三点重合，重合后的点记为点，如图．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为四边形是正方形，所以折起后有，．又，所以平面，又平面，所以．（2）解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长，则，所以，则有、、，平面的一个法向量是；设平面的法向量是，又有，，且，令，则，，得，则，由图可知该二面角为锐角，故二面角的余弦值为．3．如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为上的动点．（1）探究：当为何值时，平面？（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）当时，平面，理由见解析；（2）．【解析】（1）当时，平面．理由如下：如图，连接，与交于点，连接，因为，所以，，当，即时，有，又平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，因为，，，所以，所以，所以．因为，，所以，，，，所以．又，所以，所以．因为，所以平面．易知，，两两垂直，故可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．由（1）可知，故，所以，易知平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．4．如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．（1）若，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以，，又四边形为正方形，则，所以，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，，所以，即，不妨取，则，所以；又，，，所以，，所以，，又，平面，平面，所以为平面的一个法向量，所以，所以二面角的正弦值为．（2）设，则，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，，所以，即，不妨令，则，所以；设平面的一个法向量为，则由，，得，即，不妨取，则，得，因为平面平面，所以，即，得，即．5．如图所示，已知直棱柱的底面四边形是菱形，点，，，分别在棱，，，上运动，且满足：，．（1）求证：平面；（2）是否存在点使得二面角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）设，则，，故，因为底面四边形是菱形，故，设，则为的中点，设的中点为，连接，则，由直棱柱可得平面，故平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，故为共线向量，不共线，故，而平面，平面，故平面．（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，，，则，取，则，故；又，取，则，，故，二面角的正弦值为，故二面角的余弦值的绝对值为，故，解得或(舍)，故存在使得二面角的正弦值为，且．6．如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取的中点，连接．因为，，所以是等边三角形，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以．因为，，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）取的中点，的中点，连接，．由（1）可知，平面，易知，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，．从而，，．因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，所以．易知，所以．设平面的法向量为，则，即，不妨取，则，，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．7．如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）在平行四边形中，，，，由余弦定理可得，，，，，，因为四边形为矩形，则，，平面，平面，所以．（2）在中，，，，由余弦定理可得，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，则，，，平面，