人教版高中数学正弦函数+余弦函数图像专题复习

正弦函数、余弦函数的图象【要点梳理】要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。2．几何法利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在［0,2兀］内的图象，再通过平移得到y=sinx和y=cosx的图象。3．五点法先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。兀3在确定正弦函数y=sinx在［0,2"］上的图象形状时，起关键作用的五个点是（0,0）,（2，1）,（兀,0）,（2兀,—1）,（2兀,0）要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。（2）若xeR，可先作出正弦函数、余弦函数在［0,2兀］上的图象，然后通过左、右平移可得到y=sinx和y=cosx的图象。（3）由诱导公式y=cosx=sin（x+y），故y二cosx的图象也可以将y=sinx的图象上所有点向左平移夕个单位长度得到。要点二：正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数y=sinx（xeR）和余弦函数y=cosx（xeR）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如xe【0,2"］,方程lgx=sinx根的个数。要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。y=sinxTy=sin（x+申）Ty=Asin（①x+申）【典型例题】类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象例1．用五点法作出下列函数的图象。（1）y=2—sinx，xe［0,2"］；2)（2)（兀）兀11兀cosx+—，xe16JL6'6」"3"【思路点拨】⑴取［0,2"］上五个关键的点（0,2）、（-,1）、（",2）、（可,3）、（2"，2）。（2）取兀11兀11兀五个关键的点。解析】（1）找出五点，列表如下：x0兀兀3兀2兀u=sinx010—10y=2—u21232描点作图(如下图)。2)找出五点，列表如下：兀u=x+—60兀~2兀3兀T2兀兀兀5兀4兀llnx66T6y=cosu10—101描点作图(如下图)。【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。举一反三：【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y=—sinx(0WxW2n)；(2)y=l+cosx(0WxW2n)【解析】(1)列表：x0兀~2兀3兀T2兀sinx010—10—sinx0—1010描点作图，如图(1)：2)列表：x0x0兀cosx101+cosx21兀3兀2兀—101012描点作图，如图(2)。类型二：利用图象变换作出函数的图象例2.(1)作函数y二Jl—C0S2x的图象;(2)作函数y=-sinx的图象。tanx【思路点拨】(1)要善于利用函数y=f(x)的图象来作y=1f(x)l及y=f(IxI)的图象。l(2)函数y=-sinx的定义域为{x|xMkn,kwz},因此作出函数y=cosx的图象后，要把x=kn(k£Z)tanx对应的点去掉。【解析】(1)将y=\；'l—cos2x化为y=IsinxI，其图象如下图。(2)当sinx(2)当sinx丰0，即xMkn(kez)时，有y=—-sinx=cosxtanx即y=cosx(xMkn，kez)。其图象如下图。【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，-f(x)与f(x)的图象关于X轴对称，-f(-x)和图象与f(x)的图象关于原点对称，f(IxI)的图象关于y轴对称。举一反三：【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：y=1—cosxo【解析】先作出y=cosx的图象，然后利用对称作出y=-cosx的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图。类型三：利用函数图象解简单的三角不等式例3.画出正弦函数y=sinx(xwr)的简图，并根据图象写出:y>2时x的集合；1屯-2§y♦二时x的集合。【思路点拨】用“五点法”作出y二sinx的简图。【解析】1)过(0,21点作1)过(0,21点作x轴的平行线，从图象中看出：在［0，2n］区间与正弦曲线交于(T11V2丿V62丿(5兀1、两点，在［0，2n］区间内，兀5兀的集合为｛兀三<x§=>o66当xR时,则x的集合为5T兀5兀、5Tx—+2k兀<x<^+2k兀,keZ>。2)(11过°,-2V2丿两点分别作X轴的平行线，从图象中看出：在［0，2n］区间，它们分别与正弦曲线交于I"6(11兀(2兀书11忑，亍丁丿点，那么当-2<y<T时，X的集合为vx|——+2k兀<x<—+2k兀,keZ>U<63x|还+2kK<x<71+2册,kez［或36'|2兀…7兀…Ff11兀vx——+2k兀<x<——+2k兀,keZ>u<x——+2k兀<x<——+2k兀,keZ\、36I63J【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。举一反三：「兀3］忑【变式1】已知xe-兀，解不等式sinx'—可o

TOC\o"1-5"\h\z一兀3一V3【解析】画出函数y=sinx,xG-飞込兀的图象，画出函数y二--—的图象，如下图，两函数的图象交于A、\o"CurrentDocument"（兀运）』473）十.73「兀4_B两点，其中A—2，B3兀，2，故满足sinx—-~2T的x的取值范围是——,3兀。V7V7类型四：三角函数图象的应用例4.（1）方程lgx=sinx的解的个数为（）A.OB.1C.2D.3兀（2）若0<x<，则2x与3sinx的大小关系为（）2A.2x>3sinxB.2x<3sinxC.2x二3sinxD.与x的取值有关【思路点拨】（1）作出y=lgx,y=sinx的函数图象，观察图象交点个数。（2）作出y=2x与y=3sinx的函数图象，利用数形结合可得。【答案】⑴D（2）D5559【解析】（1）作出y=lgx与y=sinx的图象，当x=—兀时，y=lg—兀<1，y=sin—兀=1，当x=—兀厶厶厶厶9时，y=晅2兀〉1，y=lgx与y=sinx再无交点。如下图所示，由图知有三个交点，.•.方程有三个解。⑵作图（如下图），观察函数丁2x'丁3sinx在［0迈J内的图象可知2x与3sinx的大小关系与x的取⑵作图（如下图），观察函数丁2x'值有关。举一反三：【变式1】下列各式中正确的为（）54B.sin(—)>sm(—)5639D.cos(—B.sin(—)>sm(—)5639D.cos(—兀)>cos(—兀)547C.cos^兀>cos（上）7【答案】D正弦函数、余弦函数的性质【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数y=f(x)，定义域为I,当xeI时，都有f(x+T)=f(x)，其中T是一个非零的常数，则y=f(x)是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1•定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说T是y=f(x)的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期2兀最小正周期2兀单调区间k£Z增区间兀兀[2k兀一一,k兀+—]22减区间兀3兀[2k兀+—,k兀+——]22增区间bkK—兀,2£兀]减区间最值点k£Z兀最大值点(2k兀+q,l)兀最小值点(2k兀--,-1)最大值点最小值点对称中心k£Z（加,）对称轴k£Zx=kK+—2x=kK要点诠释：正弦函数、余弦函数的值域为[-1』，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线,如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[-1,11因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求y=Sin(-x)的单调递增区间时，应先将y=sin(-x)变换为y=-sinx再求解，相当于求y=sinx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：正弦型函数y=Asin(①x+申)和余弦型函数y=Acos®x+申)(A,①＞0)的性质.函数y=Asin®x+申)与函数y=Acos®x+申)可看作是由正弦函数y=sinx，余弦函数y二cosx复合而

成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[-A,A]（3）单调区间：求形如y=Asin（①x+申）与函数y=Acos（①x+申）（A,①>0）的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把®x+p视为一个“整体”，分别与正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的单调递增（减）兀兀区间对应解出x,即为所求的单调递增（减）区间.比如：由2k兀-<^x+^<2k兀+=（keZ）解出x的范围所22兀3兀得区间即为增区间，由2k兀+-<®x+申<2k兀+可（keZ）解出x的范围，所得区间即为减区间.（4）奇偶性：正弦型函数y=Asin（①x+申）和余弦型函数y=Acos（®x+申）（A,e>0）不一定具备奇偶性•对于函数y=A于函数y=Asin（①x+申）当申=k兀（kez）时为奇函数,兀当申=k兀土y（kez）时为偶函数;对于函数兀当申=k兀（kez）时为偶函数，当申=k兀土—（kez）时为奇函数.要点诠释：判断函数y=Asin（①x+申），y=Acos®x+申）的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断,但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件.（5）周期：函数y=Asin（wx+申）及函数y=Acos（wx+申）的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为2兀肓-（6）对称轴和对称中心兀与正弦函数y=sinx比较可知，当①x+申=k兀土—（kez）时，函数y=Asm（①x+申）取得最大值（或最小值）,兀（k兀-ffi、即对称中心为——-,0（kez）.同理,I①丿因此函数y=Asin（wx+申）的对称轴由①x+申=k兀土—（kez）解出，其对称中心的横坐标（k兀-ffi、即对称中心为——-,0（kez）.同理,I①丿y=Acos（①x+申）的对称轴由①x+申=k兀（kez）解出，对称中心的横兀坐标由①x+申=k兀土—（kez）解出.要点诠释：若x笑R，则函数y=Asin（①x+申）和函数y=Acos®x+申）不一定有对称轴和对称中心.【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1.求函数y=\；'2sin2x+cosx—1的定义域;<cosx<1【答案】jx|2k兀一x<2k兀+辛,keZ<cosx<1【解析】为使函数有意义，需满足2simx+cosx—120,即2cos2x—cosx—1W0画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．定义域为＜定义域为＜x|25-2^<x<25+还,keZ33【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．举一反三：【变式1】求函数y=lg(2sinx—1)的定义域兀5【解析】依题意得2sinx—1>0,即sinx>—,・：2kn+<x<2k兀+—兀(k^Z),66•:函数的定义域为＜x|25+兀5<x<2k兀+—兀,keZ66例2．求下列函数的值域(1)y=3—2sinx2)y=2)y=2sin兀兀2x+—,xe,,,,I3丿L66」cosx—2⑶y=^O^T【答案】⑴[1,5](2)[0,2](3)2,+8_2丿【解析】(1)T—1WsinxW1,・・・一【解析】(1)T—1WsinxW1,・・・一2W2sinxW2,•:—2W—2sinxW2,•・1W3—2sinxW5・函数的值域为[1,5]．TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀兀(2)7x<,66(兀0<2sin2x+——<2,I3丿.•・0WyW2.・函数的值域为[0,2].\o"CurrentDocument"cosx—2cosx—1—113)7y===1+3)7cosx—1cosx—11—cosx当cosx=—当cosx=—1时,y.=1+2=min2・函数的值域为【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质.举一反三：【变式1】求y=cos2x+4sinx—2的值域.【解析】y=cos2x+4sinx—2=—sin2x+4sinx—1=—(sinx—2)2+3.°.°—1WsinxW1,当sinx=—1时，y=—6；当sinx=1时，y=2.minmax・函数的值域为[—6,2].

类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3.求y二2sm—-x的单调区间.14丿【思路点拨】要将原函数化题一2sin卜-才丿再求之y=y=2sin=—2sin2k兀+37得2k2k兀+37得2k兀+—兀<x<2k兀+—兀44【解析】已知函数y二sin化-2x2x——・欲求该函数的单调递减区间，只需求y二sin2x——13丿13丿—sin的——x的递增区间就是函数y二2sinx——14丿I4丿・•・函数y二2sin的递减区间.(kWZ),7——x的递增区间为2k兀+—兀，2k兀+—兀14丿_44_(k^Z).・•・函数y二2sin(k^Z)・【总结升华】函数y=Asingx+申）（A>0,e>0）的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体.举一反三：.（兀【变式1】求函数y二sin——2x的递减区间.13丿单调递增区间.由2k兀兀兀兀k5兀由2k兀2<2x—3<2kK+2(kGZ)，解得kK—12<x<kK+12(kGZ)-所以原函数的单调递减区间为k兀一所以原函数的单调递减区间为k兀一,kK125k+-12(k^Z).类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=、：'2sin(2x+—兀)；(2)f(x)=\：2sinx一1；【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为f（x）二J2cosx,再按步骤去判断・（2）先求函数的定义域，然后判断.【解析】（1）函数定义域为【解析】（1）函数定义域为R,且f（x）=P2sif5)sin2x+—兀I2丿=悩'2si=、acos2x,显然有f(—x)=f(x)恒成立.TOC\o"1-5"\h\zL(5)・•・函数f(x)=\l2sm2x+恳兀为偶函数.k2丿\o"CurrentDocument"(兀5、由2sinx—l>0,即sinx>二，得函数定义域为2k兀+：,2k兀+：兀(k£Z)，此定义域在x轴上表示的\o"CurrentDocument"k66丿区间不关于原点对称.・该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间.如果是，再验证/(-x)是否等于-f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.举一反三：【变式】关于x的函数f(x)=sin(x+9)有以下命题：对任意的9，f(x)都是非奇非偶函数；不存在9，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；存在9，使f(x)是奇函数；对任意的9，f(x)都不是偶函数.其中一个假命题的序号是.因为当9=时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当9=2kn，kWZ时，f(x)=sinx是奇函数.当9=2(k+1)n，k£Z时f(x)=-sinx仍是奇函数.当9=2kn+—，k^Z时，f(x)二cosx.当9=2kn-2，kGZ时，f(x)=-cosx，f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论9为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.—+kn(k^Z)【解析】①，kn(kWZ)；或者①，—+kn(kG—+kn(k^Z)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5•求函数y=sink2x+土］的对称轴方程.k6丿解析】[兀贝y解析】[兀贝yy=3sin2x+—k6丿=3sint的对称轴方程是t=kK+—(kGZ)，即2x+—=kK+—262k——(kWZ)，解得x=+(kWZ).262222k兀兀的对称轴方程是x=+(kwZ).26【总结升华】(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值・(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0・举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836例1】【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心兀y兀y=cos(2x-—).(1)y—sin(x+—)；(2)兀【解析】⑴令令=x+才,则y兀【解析】⑴令令=x+才,则y二3sinx+——3smt的对称轴方程是t—k兀+—(k£Z)，即x+—=k兀+—4丿242,兀(心)，解得x="+-(k^Z)・.(兀、・・函数y—sinx+—I4丿,兀,兀(心)，解得x="+-(k^Z)・.(兀、・・函数y—sinx+—I4丿,兀的对称轴方程是x-"+4(kGZ)-一兀］［兀同理，对称中心的横坐标为x+4-加，二x-kK--44，即对称中心为(k兀—占,0.4I4丿(2)令t=2x-—，贝yy=3sin3I兀、兀2x———3sint的对称轴方程是t—加(k£Z)，即2x一厅=k兀(k£Z)，解3丿3k兀兀得x=+(k^Z).26.(兀)・•・函数y—sin2x一一I3丿k兀兀的对称轴方程是x=+(kWZ).26e兀，兀k兀5兀同理，对称中心的横坐标为2x——=公兀+—,「•x———+，即对称中心为J厶厶JL厶(k^Z)・类型五：正弦函数、余弦函数的周期例6求下列函数的周期：1).(兀)=sinx+—I3丿；(2)y=cos2x；(3)y=3sin4)(-(-—x+一-cos—x--一f23丿f26丿y=2sin兀【解析】(1)①令z=x+3，而sin(2兀+z)=sinz，即f(2兀+z)=f(z).z、兀(x+2兀)+——fx+—313丿••・T=2n.②令z=2x，则f(x)—cos2x—cosz—cos(z+2兀)—cos(2x+2兀)—cos[2(x+兀)]，即f(X+兀)=f(x),.・.T=n.xn③令xn③令z=+，贝0f(x)=3sinz=3sin(z+2兀)=3sin23(x兀c、一一(x+4兀兀、一+—+2兀=3sin+—123丿123丿二f(x+4兀),.•・T=4n冗(1冗、(1冗、=2cos(1冗、(1冗、(1冗、—+—x——一cos—x———x———cos—x——=cos—x——_2126J126J126J126J126丿④•・•原式=2sin2n・•・T=—=4n.2