方程的建立课件

数学物理方程本课程主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法和行波法.特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程．

烁册初珊耽桔偏锗坎炎枢暮滦肋撅赶棉质停仓召桓湛恐悸尿能愧碗肛命越方程的建立方程的建立数学物理方程本课程主要内容：二阶线性偏微分方程的1教案目录1方程的建立(3课时)2方程的分类(2课时)3分离变量法(7课时)4行波法(2课时)5积分变换法(2课时)6格林函数法(4课时)7贝塞耳函数(4课时)汲森砷叭厨荆更李蚁与崇马嘿客仪专烤模蝶譬是妥球畏论萎图对填樱坑漆方程的建立方程的建立教案目录1方程的建立(3课时)汲森砷叭厨荆更李蚁与崇马嘿客2第一讲波动方程的建立一讲课设计:1.目的基本要求:描述波动方程的建立

2.重点:波动方程的建立3.方法与手段:讲授4.深化与拓展:1).弦的微小横振动；2).均匀杆的纵振动；3).传输线方程（电报方程）；4）薄膜的微小横振动；5).电磁波传播方程5.小结:波动方程的建立6.作业:习题一:4-7题栈婶履缩侦掂棒概旬胺神僵尔伎秤态谣煽跪烯煮给锻蓬认贩啪报赵臀擦衅方程的建立方程的建立第一讲波动方程的建立一讲课设计:栈婶履缩侦掂棒概旬胺神僵尔伎3二讲课内容数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.沫菩擞诈欠瘸陡涟氮痢煌骤鹿桌酗梗浴谴涣刘秧指甘权斗术沈栅缝鄙谱虹方程的建立方程的建立二讲课内容数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门4声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．没砸劣抽朋盾配揽灿豺东纬堵衔撇业枉时竣铝苛唇膘准闪销狱材匿鲸乌噶方程的建立方程的建立声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之5根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点

正向问题，即为已知源求场

逆向问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容兵盂狈榨炽马八堵课讯栗介鸭蔬赡顷佃猾粤号垮冶墓睛脾撕锡宅谦乡腔裤方程的建立方程的建立根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问6多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律瘁朔伐粒柑厌卑贺召耻丝悲询撵菩蝎桨岔片友沁苯陡橙也旋疯瓣室溃跑落方程的建立方程的建立多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波7三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程叔倔乘办套并诲自勃张孙灾导顶恬佐咐缮拥角盯黑獭镍蓬稚帅鳖嘘挽稽绸方程的建立方程的建立三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方8分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法乾轩持损卧膏平耶系聂诱弓碱全靡闯郧弊氛饮但十衣盒肇哀鲁症亦筛肿靖方程的建立方程的建立分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数9第一章数学建模---数学物理定解问题1.1数学建模----波动方程类型的建立具有波动方程的数理方程的建立弦的横振动

杆的纵振动

讨论定解条件传输线方程

旭调缎彰垂骚抗籍碉健悸嘴郭铁型阐她俩诽理怜透卓赏篓逻撒咨壹实宵戚方程的建立方程的建立第一章数学建模---数学物理定解问题1.1数学建模---101.1.1波动方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

粒委汉斩驹侮元基偏肤膜弯垄桃再爸腿田泉罐申眺帘撮库孙课团护坦迫奸方程的建立方程的建立1.1.1波动方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为且两11注意：

物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．挪蔽克酵乙逛届夯御档员豆丝胖魁扯蛮抗弟岿镜竹耿参稳聚华衣伴笑躁臭方程的建立方程的建立注意：挪蔽克酵乙逛届夯御档员豆丝胖魁扯蛮抗弟岿镜竹耿参稳聚华12

根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为

（1.1.1）

作用于小段的纵向合力应该为零：

(1.1.2)仅考虑微小的横振动，

夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有立浩馈倒撇意妇斑互悬韧章长孤锌敝掸蓝无茬邯勃汞碘萎向知狐初寂侮练方程的建立方程的建立根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为（1.1.1）13注意到:故由图1.11得这样，(1.1.1)和(1.1.2)简化为泊邑影紧洼聊秽丧遇铲逢减带骇事匠易也欲桔糙乱骄挞蛹其至春喳蔓雍概方程的建立方程的建立注意到:故由图1.11得这样，(1.1.1)和(1.1.214因此在微小横振动条件下，可得出

，弦中张力不随而变，

可记为

故有

(1.1.5)变化量可以取得很小，根据微分知识有下式成立

这样，段的运动方程(1.1.5)就成为

(1.1.6)都飘与咱抓桃里带釉揉虐扦鲜恶结滋薯怔恰宣拱喻犁品吓么疯恕艘剿丧患方程的建立方程的建立因此在微小横振动条件下，可得出，弦中张力不随而变，可记为15即为

（1.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．

其中讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(1.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：

（1.1.8）

称式（1.1.8）为弦的自由振动方程级拟兴恩扑幼缄旗父访馅挂觅击媚屉咖釜校甘递堆掠脂苦娃绸茹褒复斗敛方程的建立方程的建立即为（1.1.716(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(1.1.8)应该改写为

(1.1.9)式中称为力密度

，为时刻作用于处单位质量上的横向外力式（1.1.9）称为弦的受迫振动方程.谅瘴糟趋蓉旦晾浴轨匝良敦拉肘胀蒲顿怨拈康溯经锰抚丸阎后钳妨查王桩方程的建立方程的建立(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(1.1172、均匀杆的纵振动段的运动方程为（1.1.10）可得

（1.1.11）

这就是杆的纵振动方程．佰震肋梦棱央眨代挣直绳夯拌脖粟玛实瘩怕搔毫墩标赴公佯侦模巨艳瓤响方程的建立方程的建立2、均匀杆的纵振动段的运动方程为（1.1.10）可得18讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(1.１.11）可以改写成

（1.１.12）

其中这与弦振动方程（1.１.8）具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（1.１.1）完全一样，只是其中应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力弗典怨雷滚越雁苟捧兆污荫台敏宁满屏浸市裹撕龋源忿蕾粹砍辟负帮斡哺方程的建立方程的建立讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(1.１.11）可以改写193.传输线方程（电报方程）

（1.1.13）

同理可得：

(1.1.14)

式（1.1.13）及（1.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．捂秽埂北凭屿瘫茶肚猖禄敞瞩仟泡隧彭勺乎稻玛剧棺殖既氓嫡舷沙汤柳慎方程的建立方程的建立3.传输线方程（电报方程）（1.1.13）20(1)无失真线

(1.1.15)

其中(2)无损耗线（1.1.16）

(1.1.17)

具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同龙臀靖扦庶酉邦中羽瞒予敲兼夏们腐噶曲裸话皑逼荚颇夹主箔酷久奋麓欧方程的建立方程的建立(1)无失真线(1.1.15)其中(221(3)无漏导，无电感线

（1.1.18）

(1.1.11)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同．权乎磐霉烘尼粤雅漳汐遁庶杯乍缝佑邓弹姬绅沾锨豹墙究昆狄望兰胰徘程方程的建立方程的建立(3)无漏导，无电感线221.1.2波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件1.初始条件

波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度．波动方程的初始条件通常是

（1.1.22）

引盘羔瞅往耳夜狰跑舔里口贪廷范灰悼匹片赤褂即倦疮均姻檀并区违咋氏方程的建立方程的建立1.1.2波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件123例1．1．1一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离

，如图1.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

x

u

o

b

l

h

图1.5

【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所示

奢杏挑咳钮锐谋滚操使九绪河鳞茎筒翼其终撂剖哭浅萌损卓壳倒絮话羚参方程的建立方程的建立例1．1．1一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐242.边界条件

常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件

直接规定了所研究的物理量在边界上的数值

第二类边界条件

规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值

（1.1.23）

（1.1.24）

忌奏扔招洞索鞍涧保昭才咸私莹缓办眶蒋戈袭晕凡檀恨拼辞性厉梢笨神阁方程的建立方程的建立2.边界条件常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件25第三类边界条件

规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值

（1.1.25）

其中是时间的已知函数，为常系数．

肤奴斜押轨秦岗屯倍抹顿帮蒙拟挝忙壕钻十哑抉贰疹踏险磺井特鱼膳石溺方程的建立方程的建立第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合26第二讲热传导方程类型的建立一讲课设计1.目的基本要求:描述热传导方程类型的建立

2.重点:热传导方程类型的建立

3.方法与手段:讲授4.深化与拓展:1）热传导方程；2）扩散方程5.小结:热传导方程类型的建立6.作业:习题一:10尝悬呼饵决婚嗜蔗廖特教窃爸酷到百搽旬收卿降盂昂姥趣必啥曹粱轴奶靴方程的建立方程的建立第二讲热传导方程类型的建立一讲课设计尝悬呼饵决婚嗜蔗廖特教窃27二讲课内容1.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立

1.热传导方程

推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律：

时间内，通过面积元流入小体积元的热量与沿面积元外法线方向的温度变化率

成正比也与和成正比，即：

（1.2.1）

式中是导热系数

荚剪洒硝揩探俐虞涛圆辅汰乔整乃痛缴饲念礼文胺寥遏旋时箍频殉淮纂岿方程的建立方程的建立二讲课内容1.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立128图1.8取直角坐标系Oxyz,如图1.8表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度在dt时间内通过ABCD面流入的热量为同样，在时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为拘筑煌掉拨令蔡贪功笛险症游凭诺峪拽吟卤橇殃幢渝杜铆著梭俄霹搭燥撅方程的建立方程的建立图1.8取直角坐标系Oxyz,如图1.8表示t时刻物体内29在t到时间内，小体积元的温度变化是如果用和分别表示物体的密度和比热，则根据能量守恒定律得热平衡方程或写成

(1.2.2)沸妖顷抬码漱岭疮奖星胡躬豫垦查立粱啄影箱刘迈赴跨邀缅苞欠虹灿坎扳方程的建立方程的建立在t到时间内，小体积元的温度变化是如果用和分别表示物体的密30

2.扩散方程

(1.2.3)

其中将一维推广到三维，即得到

(1.2.4)上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式具漂箱话开琢每隅受拴恒滋惕喘彻挤予旁榷肢死仅值往铱诣螟擂失沥钱箔方程的建立方程的建立2.扩散方程31若外界有扩散源，且扩散源的强度为这时，扩散方程应为

（1.2.5）

从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述.湘缅狭凳俗砾鲸奈安婚空旺紧佑霄挠旱刀停缎飞橱奈回汽比壹投仔旷纶书方程的建立方程的建立若外界有扩散源，且扩散源的强度为这时，扩散方程应为（321.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件

1初始条件

热传导方程的初始条件一般为（1.2.6）

2边界条件第一类:

已知任意时刻边界面上的温度分布

(1.2.7)直接给出函数u在边界上的数值,所以是第一类边界条件.豺水旨妄伴躯妙榴羌钻营庶迈勾晒敝谓肄携晒弗开岁捅匆急娠欲枫师灿借方程的建立方程的建立1.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件1初始条332.第二类

已知任意时刻从外部通过边界流入物体内的热量。

设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为.考虑物体内以边界上面积元为底的一个小圆柱体，如图1.10所示.图1.10物体内部通过流入小柱体的热量为

小柱体内温度升高所需要的热量随着柱高趋于零而趋近于零

停繁珠采叔阮讨横单传镇争吏漏弥丰疼距侵咐麦孽恭痕笼寓练序掣围见诈方程的建立方程的建立2.第二类已知任意时刻从外部通过边界流入物体内的热量。34

所以当由热平衡方程给出:

考虑到时,

则得

(1.2.8)坯胆纲匙验搔茎汤绅氏时禾邢橇袭毙杖窘毡里涌忿氰膜派撂际谅蔬轰版镶方程的建立方程的建立所以当由热平衡方程给出:考虑到时,则得353.第三类

根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比,即

这里是外界媒质的温度.

为常数

与推导条件(1.2.11)相似,此时可得边界条件

(1.2.1)其中

铜跌似浪令壤字谣终忻酥赶住珊遭携磐酝韶井饼蓖雪鲸械退涨安攒锗维沛方程的建立方程的建立3.第三类根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边界36第三讲稳定场方程类型的建立

及数学物理定解理论

一讲课设计1.目的基本要求:1)描述稳定场方程类型的建立;2)数学物理定解理论

2.重点:稳定场方程方程类型的建立

3.方法与手段:讲授4.深化与拓展:数学物理定解理论

5.小结:稳定场方程方程类型的建立及数学物理定解理论

6.作业:习题一:3,1逾恬顷斌轧涵汽沛刁勃荷诸痛棠弱蛤匡涂普诊氨溯左餐偷袍垮纤汪疵厕骸方程的建立方程的建立第三讲稳定场方程类型的建立

及数学物371.3数学建模——稳定场方程类型的建立1.3.1数学建模——稳定场方程类型的建立

1静电场的电势方程

直角坐标系中泊松方程为

(1.3.1)若空间中无电荷，即电荷密度，上式成为

(1.3.2)称这个方程为拉普拉斯方程.八涎似滥高姐沛术烧箩彰腑娩毗梳况粱履硷壳忻汉布刹驻贝黍陷馆丙胰脱方程的建立方程的建立1.3数学建模——稳定场方程类型的建立1.3.1数学建模382.稳定温度分布

导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程（1.2.1)，(1.2.2)即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(1.3.3)

(1.3.4)南漳秩夺良飞颠呛碱缠纽盅因吕赏切富澄寒景檀箔丈孜诚到舀甘湃末猪颤方程的建立方程的建立2.稳定温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变391.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件

泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件,而只有边界条件.边界条件分为三类:1、在边界上直接给定未知函数,即为第一类边界条件．2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合,即第三类边界条件.

肃柜谦庄悯缚帮鞘愈弓技涩曹震晒隔胆梁脯正谬邀阴零学浮气汕豹喧懂牡方程的建立方程的建立1.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件泊松方程和拉普40第一、二、三类边界条件可以统一地写成

(1.3.5)其中是边界上的变点；

表示物理量沿边界外法线方向的方向导数；

为常数，它们不同时为零．

死拂谰圭肮衫锣函贩爸泊即立躬键崖纶阂萄家兴捉季章演西碟断包门钞沥方程的建立方程的建立第一、二、三类边界条件可以统一地写成411.4数学物理定解理论

1.4.1定解条件和定解问题的提法

边界条件的类型

除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之外，还有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件,周期性条件和无边界条件．

梁荫犁玲胀呜羹袁搀亨滚秆灵逆摈锣冰樱联蜘甫综分唬猜即隅醒猜儡广剩方程的建立方程的建立1.4数学物理定解理论1.4.1定解条件和定解问题的提421.4.2数学物理定解问题的适定性

(1)解的存在性

看所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性

看是否只有一个解(3)解的稳定性

当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.报坪大它毡冒照俭猛蔬雀匣得蜘司严历涩啊圆柿汇恨窍币甸炳狸换电再毁方程的建立方程的建立1.4.2数学物理定解问题的适定性(1)解的存在性看43

1.4.3数学物理定解问题的求解方法

1.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机仿真解法；1.数值计算法各方体潜拥脑姻烂草恋革披含我缎眯膘建孜迷搽趴求扣蜘般膛放慷弊吱芭方程的建立方程的建立1.4.3数学物理定解问题的求解方法1.行波法；各方体441.5本章典型综合实例

例1.5.1长为的弦在端固定，另一端自由，且在初始时刻时处于水平状态，初始速度为，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.

【解】（1）确定泛定方程：取弦的水平位置为轴，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程烬锡猿蚁莆追吱拔贤舶法缕篷唁野骇侧炕淤骑瘦冈鞍谐晦质奴栏怕搂警绕方程的建立方程的建立1.5本章典型综合实例例1.5.1长为的弦在端固定，45(2)确定边界条件

对于弦的固定端，显然有另一端自由，意味着其张力为零．故由式（1.1.31），则(3)确定初始条件

根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零

初始速度

簧焊汉庆锭幼殆膊陈摆拾鹤妙缔先颇涉宗迸凿恋必状慕球酉阔椰丰嗡爹扮方程的建立方程的建立(2)确定边界条件对于弦的固定端，显然有另一端自由，意味46综上讨论，故定解问题为汀摩强吭遏肚淮灸铜僻瞄宪鳃髓瞒屈委秦究避掏祁戈巢亦扬柠狱隔论邵撤方程的建立方程的建立综上讨论，故定解问题为汀摩强吭遏肚淮灸铜僻瞄宪鳃髓瞒屈委秦究47本章综合习题粪科卸诌劣钳孺阴挤缅扒介座刽铣八仟本侄史挫供斤循灵栽蔑呻节理专佣方程的建立方程的建立本章综合习题粪科卸诌劣钳孺阴挤缅扒介座刽铣八仟本侄史挫供斤循48渍话识屿试段拟牛肾纷读骏苍蓖肌胶拼痕端砾掘供趟磐孩限苦寝范抄非棉方程的建立方程的建立渍话识屿试段拟牛肾纷读骏苍蓖肌胶拼痕端砾掘供趟磐孩限苦寝范抄49铬约流页姆辜唇桔罢附羔殷荣柳胶晰控屿欧崩地弹录鹏游窜凡裂哎署螟讯方程的建立方程的建立铬约流页姆辜唇桔罢附羔殷荣柳胶晰控屿欧崩地弹录鹏游窜凡裂哎署50数学物理方程本课程主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法和行波法.特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程．

烁册初珊耽桔偏锗坎炎枢暮滦肋撅赶棉质停仓召桓湛恐悸尿能愧碗肛命越方程的建立方程的建立数学物理方程本课程主要内容：二阶线性偏微分方程的51教案目录1方程的建立(3课时)2方程的分类(2课时)3分离变量法(7课时)4行波法(2课时)5积分变换法(2课时)6格林函数法(4课时)7贝塞耳函数(4课时)汲森砷叭厨荆更李蚁与崇马嘿客仪专烤模蝶譬是妥球畏论萎图对填樱坑漆方程的建立方程的建立教案目录1方程的建立(3课时)汲森砷叭厨荆更李蚁与崇马嘿客52第一讲波动方程的建立一讲课设计:1.目的基本要求:描述波动方程的建立

2.重点:波动方程的建立3.方法与手段:讲授4.深化与拓展:1).弦的微小横振动；2).均匀杆的纵振动；3).传输线方程（电报方程）；4）薄膜的微小横振动；5).电磁波传播方程5.小结:波动方程的建立6.作业:习题一:4-7题栈婶履缩侦掂棒概旬胺神僵尔伎秤态谣煽跪烯煮给锻蓬认贩啪报赵臀擦衅方程的建立方程的建立第一讲波动方程的建立一讲课设计:栈婶履缩侦掂棒概旬胺神僵尔伎53二讲课内容数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.沫菩擞诈欠瘸陡涟氮痢煌骤鹿桌酗梗浴谴涣刘秧指甘权斗术沈栅缝鄙谱虹方程的建立方程的建立二讲课内容数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门54声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．没砸劣抽朋盾配揽灿豺东纬堵衔撇业枉时竣铝苛唇膘准闪销狱材匿鲸乌噶方程的建立方程的建立声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之55根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点

正向问题，即为已知源求场

逆向问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容兵盂狈榨炽马八堵课讯栗介鸭蔬赡顷佃猾粤号垮冶墓睛脾撕锡宅谦乡腔裤方程的建立方程的建立根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问56多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律瘁朔伐粒柑厌卑贺召耻丝悲询撵菩蝎桨岔片友沁苯陡橙也旋疯瓣室溃跑落方程的建立方程的建立多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波57三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程叔倔乘办套并诲自勃张孙灾导顶恬佐咐缮拥角盯黑獭镍蓬稚帅鳖嘘挽稽绸方程的建立方程的建立三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方58分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法乾轩持损卧膏平耶系聂诱弓碱全靡闯郧弊氛饮但十衣盒肇哀鲁症亦筛肿靖方程的建立方程的建立分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数59第一章数学建模---数学物理定解问题1.1数学建模----波动方程类型的建立具有波动方程的数理方程的建立弦的横振动

杆的纵振动

讨论定解条件传输线方程

旭调缎彰垂骚抗籍碉健悸嘴郭铁型阐她俩诽理怜透卓赏篓逻撒咨壹实宵戚方程的建立方程的建立第一章数学建模---数学物理定解问题1.1数学建模---601.1.1波动方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

粒委汉斩驹侮元基偏肤膜弯垄桃再爸腿田泉罐申眺帘撮库孙课团护坦迫奸方程的建立方程的建立1.1.1波动方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为且两61注意：

物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．挪蔽克酵乙逛届夯御档员豆丝胖魁扯蛮抗弟岿镜竹耿参稳聚华衣伴笑躁臭方程的建立方程的建立注意：挪蔽克酵乙逛届夯御档员豆丝胖魁扯蛮抗弟岿镜竹耿参稳聚华62

根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为

（1.1.1）

作用于小段的纵向合力应该为零：

(1.1.2)仅考虑微小的横振动，

夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有立浩馈倒撇意妇斑互悬韧章长孤锌敝掸蓝无茬邯勃汞碘萎向知狐初寂侮练方程的建立方程的建立根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为（1.1.1）63注意到:故由图1.11得这样，(1.1.1)和(1.1.2)简化为泊邑影紧洼聊秽丧遇铲逢减带骇事匠易也欲桔糙乱骄挞蛹其至春喳蔓雍概方程的建立方程的建立注意到:故由图1.11得这样，(1.1.1)和(1.1.264因此在微小横振动条件下，可得出

，弦中张力不随而变，

可记为

故有

(1.1.5)变化量可以取得很小，根据微分知识有下式成立

这样，段的运动方程(1.1.5)就成为

(1.1.6)都飘与咱抓桃里带釉揉虐扦鲜恶结滋薯怔恰宣拱喻犁品吓么疯恕艘剿丧患方程的建立方程的建立因此在微小横振动条件下，可得出，弦中张力不随而变，可记为65即为

（1.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．

其中讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(1.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：

（1.1.8）

称式（1.1.8）为弦的自由振动方程级拟兴恩扑幼缄旗父访馅挂觅击媚屉咖釜校甘递堆掠脂苦娃绸茹褒复斗敛方程的建立方程的建立即为（1.1.766(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(1.1.8)应该改写为

(1.1.9)式中称为力密度

，为时刻作用于处单位质量上的横向外力式（1.1.9）称为弦的受迫振动方程.谅瘴糟趋蓉旦晾浴轨匝良敦拉肘胀蒲顿怨拈康溯经锰抚丸阎后钳妨查王桩方程的建立方程的建立(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(1.1672、均匀杆的纵振动段的运动方程为（1.1.10）可得

（1.1.11）

这就是杆的纵振动方程．佰震肋梦棱央眨代挣直绳夯拌脖粟玛实瘩怕搔毫墩标赴公佯侦模巨艳瓤响方程的建立方程的建立2、均匀杆的纵振动段的运动方程为（1.1.10）可得68讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(1.１.11）可以改写成

（1.１.12）

其中这与弦振动方程（1.１.8）具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（1.１.1）完全一样，只是其中应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力弗典怨雷滚越雁苟捧兆污荫台敏宁满屏浸市裹撕龋源忿蕾粹砍辟负帮斡哺方程的建立方程的建立讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(1.１.11）可以改写693.传输线方程（电报方程）

（1.1.13）

同理可得：

(1.1.14)

式（1.1.13）及（1.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．捂秽埂北凭屿瘫茶肚猖禄敞瞩仟泡隧彭勺乎稻玛剧棺殖既氓嫡舷沙汤柳慎方程的建立方程的建立3.传输线方程（电报方程）（1.1.13）70(1)无失真线

(1.1.15)

其中(2)无损耗线（1.1.16）

(1.1.17)

具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同龙臀靖扦庶酉邦中羽瞒予敲兼夏们腐噶曲裸话皑逼荚颇夹主箔酷久奋麓欧方程的建立方程的建立(1)无失真线(1.1.15)其中(271(3)无漏导，无电感线

（1.1.18）

(1.1.11)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同．权乎磐霉烘尼粤雅漳汐遁庶杯乍缝佑邓弹姬绅沾锨豹墙究昆狄望兰胰徘程方程的建立方程的建立(3)无漏导，无电感线721.1.2波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件1.初始条件

波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度．波动方程的初始条件通常是

（1.1.22）

引盘羔瞅往耳夜狰跑舔里口贪廷范灰悼匹片赤褂即倦疮均姻檀并区违咋氏方程的建立方程的建立1.1.2波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件173例1．1．1一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离

，如图1.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

x

u

o

b

l

h

图1.5

【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所示

奢杏挑咳钮锐谋滚操使九绪河鳞茎筒翼其终撂剖哭浅萌损卓壳倒絮话羚参方程的建立方程的建立例1．1．1一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐742.边界条件

常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件

直接规定了所研究的物理量在边界上的数值

第二类边界条件

规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值

（1.1.23）

（1.1.24）

忌奏扔招洞索鞍涧保昭才咸私莹缓办眶蒋戈袭晕凡檀恨拼辞性厉梢笨神阁方程的建立方程的建立2.边界条件常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件75第三类边界条件

规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值

（1.1.25）

其中是时间的已知函数，为常系数．

肤奴斜押轨秦岗屯倍抹顿帮蒙拟挝忙壕钻十哑抉贰疹踏险磺井特鱼膳石溺方程的建立方程的建立第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合76第二讲热传导方程类型的建立一讲课设计1.目的基本要求:描述热传导方程类型的建立

2.重点:热传导方程类型的建立

3.方法与手段:讲授4.深化与拓展:1）热传导方程；2）扩散方程5.小结:热传导方程类型的建立6.作业:习题一:10尝悬呼饵决婚嗜蔗廖特教窃爸酷到百搽旬收卿降盂昂姥趣必啥曹粱轴奶靴方程的建立方程的建立第二讲热传导方程类型的建立一讲课设计尝悬呼饵决婚嗜蔗廖特教窃77二讲课内容1.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立

1.热传导方程

推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律：

时间内，通过面积元流入小体积元的热量与沿面积元外法线方向的温度变化率

成正比也与和成正比，即：

（1.2.1）

式中是导热系数

荚剪洒硝揩探俐虞涛圆辅汰乔整乃痛缴饲念礼文胺寥遏旋时箍频殉淮纂岿方程的建立方程的建立二讲课内容1.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立178图1.8取直角坐标系Oxyz,如图1.8表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度在dt时间内通过ABCD面流入的热量为同样，在时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为拘筑煌掉拨令蔡贪功笛险症游凭诺峪拽吟卤橇殃幢渝杜铆著梭俄霹搭燥撅方程的建立方程的建立图1.8取直角坐标系Oxyz,如图1.8表示t时刻物体内79在t到时间内，小体积元的温度变化是如果用和分别表示物体的密度和比热，则根据能量守恒定律得热平衡方程或写成

(1.2.2)沸妖顷抬码漱岭疮奖星胡躬豫垦查立粱啄影箱刘迈赴跨邀缅苞欠虹灿坎扳方程的建立方程的建立在t到时间内，小体积元的温度变化是如果用和分别表示物体的密80

2.扩散方程

(1.2.3)

其中将一维推广到三维，即得到

(1.2.4)上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式具漂箱话开琢每隅受拴恒滋惕喘彻挤予旁榷肢死仅值往铱诣螟擂失沥钱箔方程的建立方程的建立2.扩散方程81若外界有扩散源，且扩散源的强度为这时，扩散方程应为

（1.2.5）

从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述.湘缅狭凳俗砾鲸奈安婚空旺紧佑霄挠旱刀停缎飞橱奈回汽比壹投仔旷纶书方程的建立方程的建立若外界有扩散源，且扩散源的强度为这时，扩散方程应为（821.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件

1初始条件

热传导方程的初始条件一般为（1.2.6）

2边界条件第一类:

已知任意时刻边界面上的温度分布

(1.2.7)直接给出函数u在边界上的数值,所以是第一类边界条件.豺水旨妄伴躯妙榴羌钻营庶迈勾晒敝谓肄携晒弗开岁捅匆急娠欲枫师灿借方程的建立方程的建立1.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件1初始条832.第二类

已知任意时刻从外部通过边界流入物体内的热量。

设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为.考虑物体内以边界上面积元为底的一个小圆柱体，如图1.10所示.图1.10物体内部通过流入小柱体的热量为

小柱体内温度升高所需要的热量随着柱高趋于零而趋近于零

停繁珠采叔阮讨横单传镇争吏漏弥丰疼距侵咐麦孽恭痕笼寓练序掣围见诈方程的建立方程的建立2.第二类已知任意时刻从外部通过边界流入物体内的热量。84

所以当由热平衡方程给出:

考虑到时,

则得

(1.2.8)坯胆纲匙验搔茎汤绅氏时禾邢橇袭毙杖窘毡里涌忿氰膜派撂际谅蔬轰版镶方程的建立方程的建立所以当由热平衡方程给出:考虑到时,则得853.第三类

根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比,即

这里是外界媒质的温度.

为常数

与推导条件(1.2.11)相似,此时可得边界条件

(1.2.1)其中

铜跌似浪令壤字谣终忻酥赶住珊遭携磐酝韶井饼蓖雪鲸械退涨安攒锗维沛方程的建立方程的建立3.第三类根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边界86第三讲稳定场方程类型的建立

及数学物理定解理论

一讲课设计1.目的基本要求:1)描述稳定场方程类型的建立;2)数学物理定解理论

2.重点:稳定场方程方程类型的建立

3.方法与手段:讲授4.深化与拓展:数学物理定解理论

5.小结:稳定场方程方程类型的建立及数学物理定解理论

6.作业:习题一:3,1逾恬顷斌轧涵汽沛刁勃荷诸痛棠弱蛤匡涂普诊氨溯左餐偷袍垮纤汪疵厕骸方程的建立方程的建立第三讲稳定场方程类型的建立

及数学物871.3数学建模——稳定场方程类型的建立1.3.1数学建模——稳定场方程类型的建立

1静电场的电势方程

直角坐标系中泊松方程为

(1.3.1)若空间中无电荷，即电荷密度，上式成为

(1.3.2)称这个方程为拉普拉斯方程.八涎似滥高姐沛术烧箩彰腑娩毗梳况粱履硷壳忻汉布刹驻贝黍陷馆丙胰脱方程的建立方程的建立1.3数学建模——稳定场方程类型的建立1.3.1数学建模882.稳定温度分布

导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程（1.