高中数学-必修四-第一章：三角函数章末复习课课件

章末复习课第一章

三角函数章末复习课第一章三角函数学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像.4.理解三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识梳理1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的

，记作

，即

；(2)x叫做α的

，记作

，即

；(3)叫做α的

，记作

，即

.tanα正弦sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x正切1.任意角三角函数的定义tanα正弦sinαsinα＝2.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.2.诱导公式3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠kπ＋

，k∈Z}3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sinxy＝值域__________________对称性对称轴：x＝kπ＋

(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)对称中心：(k∈Z)，无对称轴奇偶性_____________________周期性最小正周期：___最小正周期：___最小正周期：__[－1，1][－1，1]R奇函数偶函数奇函数2π2ππ值域__________________对称性对称轴：x＝k单调性在

(k∈Z)上是增加的；在

(k∈Z)上是减少的在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是减少的在开区间(kπ－

，kπ＋

)(k∈Z)上是增加的最值在x＝

(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－

＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值单在题型探究题型探究例1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－

，则y＝

.答案解析－8类型一三角函数的概念所以θ为第四象限角，解得y＝－8.例1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sinα＝

，cosα＝

.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以跟踪训练1

已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sinα，cosα，tanα的值.解答解当k>0时，令x＝24k，y＝7k，当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，跟踪训练1已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0类型二三角函数的图像与性质解答例2将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝

sinx的图像.(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；类型二三角函数的图像与性质解答例2将函数y＝f(x)的图高中数学-必修四-第一章：三角函数章末复习课课件(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.解

∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.解答(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对反思与感悟研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.反思与感悟研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把跟踪训练2函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示.

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解答跟踪训练2函数f(x)＝3sin的解答解答类型三三角函数的最值和值域解答命题角度1可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型例3求函数y＝－2sin(x＋

)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.类型三三角函数的最值和值域解答命题角度1可化为y＝Asi高中数学-必修四-第一章：三角函数章末复习课课件反思与感悟利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.反思与感悟利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的解答∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.求a，b的值.解答∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.求a，b的值.命题角度2可化为sinx或cosx的二次函数型例4已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值.解答解

y＝f(x)＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1.命题角度2可化为sinx或cosx的二次函数型解答解反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.解答跟踪训练4已知函数f(x)＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.解答跟踪训练4已知函数f(x)＝－sin2x－asinx解令t＝sinx，则综上所述，a＝2，b＝－2.解令t＝sinx，则综上所述，a＝2，b＝－2.命题角度3分式型函数利用有界性求值域例5求函数y＝

的值域.解答命题角度3分式型函数利用有界性求值域解答∵|cosx|≤1，∴－3≤2cosx－1≤1且2cosx－1≠0，∵|cosx|≤1，∴－3≤2cosx－1≤1且2cos反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题.反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征—跟踪训练5

求函数y＝

的最大值和最小值.解答跟踪训练5求函数y＝的最大类型四数形结合思想在三角函数中的应用解答类型四数形结合思想在三角函数中的应用解答反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关可作出示意图如图所示(一种情况)，答案解析跟踪训练6设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间

上具有单调性，且

，则f(x)的最小正周期为

.π可作出示意图如图所示(一种情况)，答案解析跟踪训练6设函数当堂训练当堂训练1.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝

，则a的值为答案解析√123451.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·c12345答案解析√＝－cosα，12345答案解析√＝－cosα，123453.函数y＝|sinx|＋sin|x|的值域为A.[－2，2] B.[－1，1]C.[0，2] D.[0，1]答案解析∴0≤f(x)≤2.故选C.√123453.函数y＝|sinx|＋sin|x|的值域为答答案解析123454.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是√答案解析123454.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)12345123455.已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解答123455.已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f解令t＝sinx，则t∈[－1，1]，当t＝－1时，f(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2.故实数a的取值范围为[3，4].12345解令t＝sinx，则t∈[－1，1]，当t＝－1时，f(三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.规律与方法三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合本课结束本课结束章末复习课第一章

三角函数章末复习课第一章三角函数学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像.4.理解三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识梳理1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的

，记作

，即

；(2)x叫做α的

，记作

，即

；(3)叫做α的

，记作

，即

.tanα正弦sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x正切1.任意角三角函数的定义tanα正弦sinαsinα＝2.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.2.诱导公式3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠kπ＋

，k∈Z}3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sinxy＝值域__________________对称性对称轴：x＝kπ＋

(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)对称中心：(k∈Z)，无对称轴奇偶性_____________________周期性最小正周期：___最小正周期：___最小正周期：__[－1，1][－1，1]R奇函数偶函数奇函数2π2ππ值域__________________对称性对称轴：x＝k单调性在

(k∈Z)上是增加的；在

(k∈Z)上是减少的在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是减少的在开区间(kπ－

，kπ＋

)(k∈Z)上是增加的最值在x＝

(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－

＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值单在题型探究题型探究例1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－

，则y＝

.答案解析－8类型一三角函数的概念所以θ为第四象限角，解得y＝－8.例1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sinα＝

，cosα＝

.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以跟踪训练1

已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sinα，cosα，tanα的值.解答解当k>0时，令x＝24k，y＝7k，当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，跟踪训练1已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0类型二三角函数的图像与性质解答例2将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝

sinx的图像.(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；类型二三角函数的图像与性质解答例2将函数y＝f(x)的图高中数学-必修四-第一章：三角函数章末复习课课件(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.解

∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.解答(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对反思与感悟研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.反思与感悟研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把跟踪训练2函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示.

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解答跟踪训练2函数f(x)＝3sin的解答解答类型三三角函数的最值和值域解答命题角度1可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型例3求函数y＝－2sin(x＋

)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.类型三三角函数的最值和值域解答命题角度1可化为y＝Asi高中数学-必修四-第一章：三角函数章末复习课课件反思与感悟利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.反思与感悟利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的解答∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.求a，b的值.解答∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.求a，b的值.命题角度2可化为sinx或cosx的二次函数型例4已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值.解答解

y＝f(x)＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1.命题角度2可化为sinx或cosx的二次函数型解答解反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.解答跟踪训练4已知函数f(x)＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.解答跟踪训练4已知函数f(x)＝－sin2x－asinx解令t＝sinx，则综上所述，a＝2，b＝－2.解令t＝sinx，则综上所述，a＝2，b＝－2.命题角度3分式型函数利用有界性求值域例5求函数y＝

的值域.解答命题角度3分式型函数利用有界性求值域解答∵|cosx|≤1，∴－3≤2cosx－1≤1且2cosx－1≠0，∵|cosx|≤1，∴－3≤2cosx－1≤1且2cos反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题.反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征—跟踪训练5

求函数y＝

的最大值和最小值.解答跟踪训练5求函数y＝的最大类型四数形结合思想在三角函数中的应用解答类型四数形结合思想在三角函数中的应用解答反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关可作出示意图如图所示(一种情况)，答案解析跟踪训练6设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f