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第一讲坐标系xxz1第一讲坐标系xxz1一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系2一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系2思考:3思考:344思考:5思考:566思考:7思考:788探究根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则:(1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。9探究根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则:(1)如果图xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考:(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?10xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的,就得到正弦曲线y=sin2x.通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为:1

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来,得到点11在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx12(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。22设点P(x,y)经变换得到点为13在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变,将纵坐标(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx14(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的,在此基础上,将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P(x,y)经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。315在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注(1)(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。16定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换的作用例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=117例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变为曲线181.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:182.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后,曲线C变为,求曲线C的方程并画出图形。192.在同一直角坐标系下经过伸缩变换课堂小结:(1)体会坐标法的思想,应用坐标法解决几何问题;(2)掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。20课堂小结:202121题型一轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动,且|AB|=4,求AB中点P的轨迹方程.分析:题目未给出坐标系,因此,应先建立适当的坐标系,显然以互相垂直的两直线分别为x轴,y轴最合适.解析:解法一以两条互相垂直的直线分别为x轴,y轴,建立直角坐标系,如图所示.22题型一轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂解法二建立直角坐标系,同解法一.设P(x,y),A(x1,0),B(0,y2),则x+y=16.①又P为AB的中点,所以x1=2x,y2=2y.代入①,得4x2+4y2=16.故点P的轨迹方程为x2+y2=4.答案:x2+y2=423解法二建立直角坐标系,同解法一.23点评:1.求曲线方程一般有下列五个步骤:(1)建立适当的直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标,在建立坐标系时,应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素,使得解题更加简化;(2)写出适当条件P下的点M的集合:{M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须是等价变形);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上,补上遗漏点或挖去多余点.24点评:24一般地,方程的变形过程是等价的,步骤(5)可以省略.2.求曲线方程主要有以下几种方法:(1)条件直译法:如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系,这些条件简单、明确,易于表达,我们可以把这些关系直译成含“x,y”(或ρ、θ)的等式,我们称之为“直译”.(2)代入法(或利用相关点法):有时动点所满足的几何条件不易求出,但它随另一动点的运动而运动,称之为相关点.如果相关点满足的条件简单、明确,就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来,再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来,就得到原动点的轨迹.25一般地,方程的变形过程是等价的,步骤(5)可以省略.25

(3)参数法:有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系,如果借助中间参量(参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,这样便可得动点的轨迹方程.(4)定义法:若动点满足已知曲线的定义,可先设方程再确定其中的基本量.3.在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意:(1)选择适当的坐标系,坐标系如果选择恰当,可使解题过程简化,减少计算量.26(3)参数法:有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系,

(2)要注意给出曲线图形的范围,要在限定范围的基础上求曲线方程.如果只求出曲线的方程,而没有根据题目要求确定出x、y的取值范围,最后的结论是不完备的.(3)坐标系建立不同,同一曲线的方程也不相同.27(2)要注意给出曲线图形的范围,要在限定范围的基础上求曲线1.已知线段AB长4,则以AB为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.►变式训练答案:x2+y2=4(x≠±2)281.已知线段AB长4,则以AB为斜边的直角三角形的直角顶点P29293030313132323333析疑难提能力34析疑难提能力34353536363737思考题38思考题38第一讲坐标系xxz39第一讲坐标系xxz1一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系40一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系2思考:41思考:3424思考:43思考:5446思考:45思考:7468探究根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则:(1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。47探究根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则:(1)如果图xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考:(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?48xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的,就得到正弦曲线y=sin2x.通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为:1

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来,得到点49在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx50(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。22设点P(x,y)经变换得到点为51在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变,将纵坐标(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx52(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的,在此基础上,将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P(x,y)经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。353在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注(1)(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。54定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换的作用例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=155例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变为曲线561.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:182.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后,曲线C变为,求曲线C的方程并画出图形。572.在同一直角坐标系下经过伸缩变换课堂小结:(1)体会坐标法的思想,应用坐标法解决几何问题;(2)掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。58课堂小结:205921题型一轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动,且|AB|=4,求AB中点P的轨迹方程.分析:题目未给出坐标系,因此,应先建立适当的坐标系,显然以互相垂直的两直线分别为x轴,y轴最合适.解析:解法一以两条互相垂直的直线分别为x轴,y轴,建立直角坐标系,如图所示.60题型一轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂解法二建立直角坐标系,同解法一.设P(x,y),A(x1,0),B(0,y2),则x+y=16.①又P为AB的中点,所以x1=2x,y2=2y.代入①,得4x2+4y2=16.故点P的轨迹方程为x2+y2=4.答案:x2+y2=461解法二建立直角坐标系,同解法一.23点评:1.求曲线方程一般有下列五个步骤:(1)建立适当的直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标,在建立坐标系时,应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素,使得解题更加简化;(2)写出适当条件P下的点M的集合:{M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须是等价变形);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上,补上遗漏点或挖去多余点.62点评:24一般地,方程的变形过程是等价的,步骤(5)可以省略.2.求曲线方程主要有以下几种方法:(1)条件直译法:如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系,这些条件简单、明确,易于表达,我们可以把这些关系直译成含“x,y”(或ρ、θ)的等式,我们称之为“直译”.(2)代入法(或利用相关点法):有时动点所满足的几何条件不易求出,但它随另一动点的运动而运动,称之为相关

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