八年级因式分解难题附答案及解析

2017年05月21日数学(因式分解难题)2一.填空题(共10小题).已知x+y=10,xy=16,贝Ux2y+xy2的值为..两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2(x-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：..若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是..分解因式：4x2-4x-3=..利用因式分解计算：2022+202X196+982=..△ABC£边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC勺形状是..计算：12-22+32-42+52-62+----1002+1012=..定义运算a*b=(1-a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论：①2*(-2)=3②a★b=b-③若a+b=0,贝^(a*a)+b)=2ab④若a*b=0,则a=1或b=0.其中正确结论的序号是—(填上你认为正确的所有结论的序号)..如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=..若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,贝Ub的值是.二.解答题(共20小题).已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.2.因式分解：4xy-4xy+y..因式分解a3-ab2(x-y)2+4xy.14.先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若ni+2mn+2ri-6n+9=0,求m和n的值.解：:n1+2mn+2n-6n+9=0m2+2mn+n+n2-6n+9=0(m+n2+(n-3)2=0・m+n=0n—3=0.m=-3,n=3问题：(1)若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求xy的值.(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形？15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为..如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.(1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2弓分解因式.(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.(3)现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形..(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：.(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b因式分解的结果，画出你的拼图..已知a+b=1,ab=-1,设s尸a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…，Sn=an+bn(1)计算S2；(2)请阅读下面计算S3的过程：因为a+b=1,ab=-1,所以S3=a3+b3=(a+b)(a2+bj-ab(a+b)=1XS2-(-1)=S2+1=你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3)试写出Sn-2,Sn-1,Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6..(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a(a-1)2—(1—a).阅读材料：若m2-2mn+2n-8n+16=0,求mn的值.解：m2-2mn+2in-8n+16=0, (m2-2mn+ri)+(n2-8n+16)=0(m-n) 2+ (n-4) 2=0, (m-n) 2=0, (n-4) 2=0, •.n=4, m=4根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值.(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求z\ABC的最大边c的值.(3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,则a-b+c=..仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.解：设另一个因式为(x+n),得x2—4x+m=(x+3)(x+n),贝Ux2—4x+m=x+(n+3)x+3nn+3=—4m=3n 解得：n=-7,m=-21丁•另一个因式为(x-7),m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),贝Ua=;(2)若二次三项式2x2+bx—5可分解为(2x—1)(x+5),贝Ub=;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值..分解因式：2x2-x;16x2—1;6xy2—9x2y—y3;4+12(x-y)+9(x-y)2..已知a,b,c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状..分解因式2x4-4x2y2+2y42a3-4a2b+2ab2..图①是一个长为2m宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)图②中的阴影部分的面积为一；(2)观察图②请你写出三个代数式(m+r)2、(m^n)2、mn之间的等量关系是—.(3)若x+y=7,xy=10,贝U(x-y)2=.(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表小了.(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示( m+r)(m+3n=n2+4mn+3n..已知a、b、c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值..已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006求：这个长方体的体积..(x2—4x)2—2(x2-4x)—15..阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：21+x+x(x+1)+x(x+1)=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)(1)上述分解因式的方法是,共应用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)2004,则需应用上述方法次，结里旦木TH.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)n(n为正整数).30.对于多项式x3-5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式 x3-5x2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x-2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a)),于是我们可以把多项式写成：x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+r),(1)求式子中mn的值；(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式 x3-2x2-13x-10的因式.2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析一.填空题(共10小题)(2016秋?望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,贝，x2y+xy2的值为160.【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解：=x+y=10,xy=16,x2y+xy2=xy(x+y)=10X16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.(2016秋?新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式， 一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2(x-3)2.【分析】根据多项式的乘法将2(x-1)(x-9)展开得到二次项、常数项；将2(x-2)(x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2后利用完全平方公式分解因式.【解答】解：V2(x-1)(x-9)=2x2—20x+18;2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16;原多项式为2x2-12x+18.2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确.(2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4.【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a-b)2+4ab、(a-b)2=(a+b)2-4ab计算即可.【解答】解：=x2+mx+4=(x±2)2,即x2+mx+4=x±4x+4,•二m=±4.故答案为：±4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.(2015秋?利川市期末)分解因式：4x2-4x3=(2x-3)(2x+1) .【分析】ax2+bx+c(aw0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a分解成两个因数ai,a2的积ai?a2,把常数项c分解成两个因数c,C2的积ci?c,并使aiC2+a2Ci正好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c)(&x+C2),进而得出答案.【解答】解：4x2-4x-3=(2x-3)(2x+1).故答案为：(2x-3)(2x+1).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.(2015春?东阳市期末)利用因式分解计算： 2022+202X196+982=90000.【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+98=(202+98)2=3002=90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.(2015秋?浮梁县校级期末)△ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则AABC的形状是等边三角形.【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2,再化简得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：-2-2-2― ― ―2a+2b+2c=2ab+2bc+2ac,即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,解得：a=b=c,所以，△ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得 a=b=c,由三边相等判定△ABC是等边三角形.(2015秋?鄂托克旗校级期末)计算：12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=5151.【分析】通过观察，原式变为1+(32-22)+(52-42)+(1012-1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12-22+32-42+52-62+----1002+1012=1+(32—22)+(52-42)+(1012—1002)=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+•+(101+100)=(1+101)X101+2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.(2015秋?乐至县期末)定义运算a^b=(1-a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论：①2*(-2)=3②a★b=b-③若a+b=0,贝^(a*a)+ b)=2ab④若a*b=O,则a=1或b=0.其中正确结论的序号是③④(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：①2*(-2)=(1-2)X(-2)=2,本选项错误；②a★b=(1-a)b,b^a=(1-b)a,故a*b不一定等于b^a,本选项错误；③若a+b=0,贝^(a*a)+(b^b)=(1—a)a+(1—b)b=a-a2+b—b2=-a2—b2=-2a2=2ab,本选项正确；④若a*b=0,即(1—a)b=0, a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有③④.故答案为③④.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.(2015春?张掖校级期末)如果1+a+3+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0.【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：=1+a+a2+a3=0,a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.(2015春？昆山市期末)若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,则b的值是-8.【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】解： x2-6x-b=(x—3)2—9-b=(x+a)2—1,••a=-3,-9-b=-1,解得：a=-3,b=-8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共20小题)11.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7)2-(n-3)2,看因式中有没有20即可.【解答】解：(n+7)2—(n-3)2=(n+7+n-3)(n+7-n+3)=20(n+2),・♦.(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式： a2-b2=(a+b)(a-b).(2016秋?农安县校级期末)因式分解：4x2y-4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：4x2y-4xy+y=y(4x2-4x+1)=y(2x-1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．(2015秋?成都校级期末)因式分解a3-ab2(x-y)2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：(1)原式二a(a2—b2)=a(a+b)(a—b);(2)原式=x2-2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．(2015春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若mi+2mn+2ri-6n+9=0,求m和n的值.22解：=m+2mn+2n-6n+9=0m+2mn+n+n2-6n+9=0(m+r)2+(n-3)2=0m+n=0n—3=0m=-3,n=3问题：(1)若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求xy的值.(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把x2+2y2-2xy+4y+4=0,配方彳导至U(x-y)2+(y+2)2=0,再根据非负数的性质得到x=y=-2,代入求得数值即可；(2)先把a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,配方得到(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1)vx2+2y2-2xy+4y+4=0•・x2+y2-2xy+y2+4y+4=0,(x-y)2+(y+2)2=0x=y=—2二二(-2尸4；va2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,a2-6a+9+t>-6b+9+|3-c|=0,(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0a=b=c=3•••三角形ABO等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题.(2015秋?太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因止匕4,12,20这三个数都是和谐数.36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1至IJ200之间的所有“和谐数”之和为2500.【分析】(1)禾I」用36=102-82;2016=5052-5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数)，则“和谐数”=(2n+2)2-(2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1),然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4的倍数；(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22-02=4,最大的为：502-482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：(1)36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102-82;2016=50$-5032;(2)设两个连续偶数为 2k+2和2k(n为自然数)，v(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)x2=4(2k+1)，.「4(2k+1)能被4整除，」•”和谐数”一定是4的倍数；(3)介于 1到200之间的所有“和谐数”之和，S=(22-02)+(42-22)+(62-42)+•••+(502-482)=502=2500.故答案是： 2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．(2015春?兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．(1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积．(3)现有三种纸片各 8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】(1)根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34,得出a+b=17,由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb,其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+m。2=n2a2+2nmab+rb2,因为现有三种纸片各8张，n2<8,n2<8,2mrnc8（n、m为正整数）从而可知n<2, 2,从而可得出答案.【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形•.a2+3ab+26=（a+2b）（a+b）；.「长方形②的周长为34,a+b=17.;小正方形①与大正方形③的面积之和为 169,•・a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172,整理得：a2+2ab+t2=289,.•-2ab=289-169,ab=60.，长方形②的面积为60.（3）设正方形白边长为（na+mb,其中（n、m为正整数）.二正方形的面积=（na+mb2=n2a2+2nmab+m2.•••现有三种纸片各8张，n2<8,mi<8,2mrnc8（n、m为正整数）n<2, 2.」•共有以下四种情况；①n=1,m=1,正方形白边长为a+b;②n=1,m=Z正方形白边长为a+2b;③n=2,m=1,正方形白边长为2a+b;④n=2,m=Z正方形白边长为2a+2b.【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．(2014秋?莱城区校级期中)(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图 2.①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为： a2+2a+1 = (a+1)2.(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示.①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2日因式分解的结果，画出你的拼图.【分析】(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；(2)要能根据等式画出合适的拼图.【解答】解：(1)①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=(a+1)2;②a2+2a+1=(a+1)2；(2)①如图，可推导出(a+b)2=a2+2ab+t)；②2a2+5ab+2b=(2a+b)(a+2b).【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.(2013秋？海淀区校级期末)已知a+b=1,ab=-1,设s1二a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…,nnsn=a+b(1)计算S2；(2)请阅读下面计算S3的过程：因为a+b=1,ab=-1,所以S3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)-ab(a+b)=1XS2—(—1)=S2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3)试写出Sn-2,Sn-1,Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6.【分析】(1)(2)利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b,ab的值，即可推出结论；(3)根据(1)所推出的结论，即可推出&-2+S—尸S;(4)根据(3)的结论，即可推出a6+b6=S=S+&=2S+4.【解答】解：(1)S2=a2+b2=(a+b)2-2ab=3;⑵=(a2+bj(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b),•.3X1=a3+b3-1,「.a3+b3=4,即S3=4;,.S4=(a2+b2)2—2(ab)2=7,S4=7；(3).03,S3=4,0=7,S2+S3=S4，.•.s2+si=s；(3)「S2+S产S,S2=3,S3=4,S=7,S5=4+7=11，S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出5=3,&=4,s=7,分析归纳出规律：s.2+sni=sn.(2013春?重庆校级期末)(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a(a-1)2-(1-a)【分析】 (1)利用完全平方公式因式分解计算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：(1)原式=9.82+2X0.2X9.8+0.22=(9.8+0.2)2=100；(2)4a(a-1)2-(1-a)=(a-1)(4a2-4a+1)=(a-1)(2a-1)2.【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．(2013春?惠山区校级期末)阅读材料：若mi-2mn+2ri-8n+16=0,求mn的值.解：m2-2mn+2i2i-8n+16=0, (m2-2mn+ri)+(n2―8n+16)=0(m-n) 2+ (n-4) 2=0, ( m- n) 2=0, (n-4) 2=0, n=4, m=4根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值.(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a+b2-6a-8b+25=0),求AABC的最大边c的值.(3)已知a—b=4,ab+c2—6c+13=0,贝^a-b+c=7.【分析】(1)将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值；(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【解答】解：(1)vx2+2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0•・x+y=0y+1=0解得x=1,y=-1x—y=2；va2+b2-6a-8b+25=0「•(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0(a-3)2+(b-4)2=0.,.a-3=0,b-4=0解得a=3,b=4.「三角形两边之和>第三边・・c<a+b,c<3+4；c<7,又c是正整数，c最大为6;a-b=4,即a=b+4,代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0,整理得：(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,.・b+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2,WJa-b+c=2-(-2)+3=7.故答案为：7.【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.21.(2012秋?温岭市校级期末)仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.解：设另一个因式为(x+n),得x2—4x+m=(x+3)(x+n),贝Ux2—4x+m=X+(n+3)x+3nn+3=—4m=3n 解得：n=-7,m=-21丁•另一个因式为(x-7),m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),贝Ua=3;(2)若二次三项式2x2+bx—5可分解为(2x—1)(x+5),贝Ub=9;2(3)仿照以上万法解答下面问题：已知二次三项式2x+5x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.【分析】(1)将(x-2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a的值；(2)(2x-1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b的值；(3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,可知2n-3=5,k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.【解答】解：(1);(x—2)(x+a)=x2+(a—2)x—2a=x2—5x+6,..a—2=—5,解得：a=-3;，一 ，一 、/ 、_2_ _2(2) (2x-1)(x+5)=2x+9x-5=2x+bx-5,b=9;(3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5x—k=(2x—3)(x+n)=2x2+(2n—3)x-3n,则2n-3=5,k=3n,解得：n=4,k=12,故另一个因式为(x+4),k的值为12.故答案为：(1)-3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一个因式是x+4,k=12(6分).【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．(2012春?郯城县期末)分解因式：2x2-x;16x2—1;6xy2—9x2y—y3;4+12(x-y)+9(x-y)2.【分析】(1)直接提取公因式x即可；(2)利用平方差公式进行因式分解；(3)先提取公因式-y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；(4)把(x-y)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：(1)2x2-x=x(2x—1);16x2-1=(4x+1)(4x-1);6xy2—9x2y—y3,=-y(9x2-6xy+y2),=-y(3x-y)2；4+12(x-y)+9(x-y)2,=[2+3(x-y)]2,2=(3x-3y+2).【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在(3),提取公因式-y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解.23．(2012春?碑林区校级期末)已知 a，b，c是三角形的三边，且满足( a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：=(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,=3a2+3b2+3c2,a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,•-a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b=c,故△ABC^J等边三角形.【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.(2011秋?北辰区校级期末)分解因式2x4-4x2y2+2y42a3-4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)2x4—4x2y2+2y4=2(x4-2x2y2+y4)=2(x2-y2)2=2(x+y)2(x-y)2;2a3-4a2b+2ab2=2a(a2-2ab+t2)=2a(a-b).【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底.(2011秋?苏州期末)图①是一个长为2m宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)图②中的阴影部分的面积为 (m-n)2;(2)观察图②请你写出三个代数式(m+r)2、(m-n)2、mn之间的等量关系是 (m+ri-(m-n)2=4mn.(3)若x+y=7,xy=10,贝U(x-y)2=9.(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了 (m+-：2m+n=2m2+3mn+n.(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+r)(m+3n=m2+4mn+3n.【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.(2)掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.(3)此题可参照第(2)题.(4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.(5)可参照第(4)题画图.【解答】解：(1)阴影部分的边长为(mvn),阴影部分的面积为(m-n)2；(m+r)2-(mrn)2=4mr)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-40=9;(m+n(2m+n=2m2+3mn+ri;(5)答案不唯一：例如:【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形.2(2009秋？海淀区期末)已知a、b、c潴足a-b=8,ab+c+16=0,求2a+b+c的值.【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口.由a-b=8可得a=b+8;将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可.【解答】解：因为a-b=8,所以a=b+8.(1分)又ab+c2+16=0,所以(b+8)b+c2+16=0.(2分)2 2即(b+4)+c=0.又(b+4)2>0,c2>0,b=-4,c=0.（4分）所以a=4，（5分）所以 2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．（2010春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数 a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）-1,就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007,由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3X3X223,可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以 a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积 abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=2006,a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=2006,（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解为3X3X223（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223「.a、b、c也只能分别为2、2、222「•长方体的体积abc=888.【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．（2007秋?普陀