2022-2023学年苏教版必修第一册 专题8.1 二分法与求方程近似值 学案

专题8.1二分法与求方程的近似值一、考情分析二、考点梳理知识点一二分法求函数零点的近似值二分法的概念对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求。2、用二分法求函数零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使。（2）求区间的中点，。（3）计算若，则若，则令（此时零点）；若则令（此时零点）；（4）继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。知识点二函数的零点与方程的根1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数的.2.函数的零点就是方程的，也就是函数的图像与x轴的交点的.3.方程有实根函数的图像与x轴有函数有.4.函数零点的存在性的判定方法5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得0，这个c就是方程的根.三、题型突破重难点题型突破1二分法求函数零点所在区间例1.（1）、（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）函数的零点所在的大致范围是（）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】判断的单调性，结合零点存在定理即可容易判断零点范围.【详解】因为是上的单调增函数，在也是单调增函数，故可得是上的单调增函数，则该函数至多一个零点；又，是定义域上的连续函数，故存在一个零点，且其范围是.故选：B.（2）、（2018·广东·佛山实验中学高一月考）下列函数中不能用二分法求零点的是（）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

对于B，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

对于C，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；

对于D，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

故选C．【点睛】本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件．（3）、（2021·全国·高一课时练习）已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：1234567239-711-5-12-26函数在区间上的零点至少有（）．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】函数的图像是连续的，；；，所以在、，之间一定有零点，即函数在区间上的零点至少有3个.故选：C【变式训练1-1】、（2021·广东·汕头市潮师高级中学高一月考）函数零点所在的整区间是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数为单调递增函数，且，所以零点所在的区间是，故选：C．【变式训练1-2】．（2021·北京八中高一期中）已知函数，在下列说法中正确的是（）A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点【答案】C【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误；对于B选项，，故得，即函数有三个零点，故错误；对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误；故选：C【变式训练1-3】．（2020·云南昆明八中）用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_________.【答案】.【分析】根据表格中的数据，得到函数的零点所在区间为，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得，，根据零点的存在定理，可得函数的零点所在区间为，故函数的零点的近似值为（精确到0.01），故答案为：.重难点题型突破2求函数零点的个数与方程的解个数例2．（1）、（2021·四川·东辰国际学校高一月考）已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为_______.【答案】【分析】分区间讨论，去掉绝对值，画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a的取值范围．【详解】当时，，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，作出函数在区间上的图象如图：设直线，要使在区间上有个不等实根，即直线与函数的图象在区间上有个交点，由图象可知或，所以实数的取值范围是.故答案为：.（2）、（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知定义域为R的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为_________.【答案】2【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.【详解】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为.故答案为：2.【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解【详解】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.【变式训练2-2】．（2021·湖南省岳阳县第一中学高一期中）已知函数，若存在实数b，使得关于x的方程=b有三个不同的根，则m的取值范围是___________.【答案】（3，+∞）【分析】在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象，利用数形结合法求解.【详解】当m≤0时，组成f(x)的两段函数均为单调函数，因此关于关于x的方程f(x)=b最多只有2个解，不符合题意.当m>0在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.故答案为：（3，+∞）.

重难点题型突破3根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围例3．（1）、（2021·上海·高一专题练习）方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】换元成一元二次方程，分类讨论只有一根和有两根情况．【详解】令，则方程只有一个正根，当方程有唯一根时，则，此时根为符合题意；当方程有一正一负根或一正根和0根时，有，则．综上所述，或故选：D（2）．（2021·云南省玉溪第一中学（文））已知函数（为自然对数的底数），若函数恰好有两个零点，则实数等于___________.【答案】【分析】函数恰好有两个零点等价于方程有两个根，即函数与函数的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数.【详解】∵函数恰好有两个零点，∴方程有两个根，∴函数与函数的图象有两个交点，当时，，，∴时，，函数在上为增函数，时，，函数在上为减函数，当时，，函数在上为减函数，由此可得函数的图象如下：∴当时，函数与函数的图象有两个交点，∴，故答案为：.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练3-1】．（2021·重庆八中高三月考）己知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得的图像与的图像有2个交点，数形结合即可求出.【详解】由题，存在两个零点，等价于的图像与的图像