第一章 度量空间

第1章度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪.V.VOlterra（伏尔泰拉）（1860-1940,意大利数学家）P.Levy(1886-1971)泛函分析这一名称是由法国数学家P.Levy引进的.在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的P.Levy(1886-1971)抽象理论是由V.V01terra（1860-1940）在关于变分法的工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M.Frechet1906年在他的博士论文中得到的.1.1度量空间M.Frechet是法国数学家，他1906年获得博士学位.M.Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G.Cantor,C.Jordan,G.Peano,E.Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论.V.Volterra,G.ascoli和J.Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑.M.Frechet的博士论文统一了这两种思想，并建立了一个公理结构.他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性，并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M.Frechet第一次给出了度量空间的公理.定义1.1.1若X是一个非空集合,d:XxXTR是满足下列条件的实值函数,对于任意x,ygX，有(1)d(x,y)二0当且仅当x=y；⑵d(x,y)二d(y,x);(3)d(x,y)<d(x,z)+d(y,z).则称d为X上的度量，称(X,d)为度量空间.明显地，由(3)可知d(x,y)+d(y,x)>d(x,x),故由(2)可知d(x,y)>0,因此d是一个非负函数.若X是一个度量空间,E是X的非空子集,则(E,d)明显地也是度量空间，称(E,d)为(X,d)的度量子空间.例1・1・1若R是实数集，定义d(x,y)=1x-yI,则容易看出(R,d)是度量空间.例1・1・2对于任意一个非空集X，只需定义Jo,当x=y时；加y)=11，当x丰y时.则(X,d)是一个度量空间，称d为X上的平凡度量或离散度量.度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.例1・1・3对于Rn,可以定义几种不同的度量，对于x=(x),y=(y),有iid(x,y)=[Y(x—y)2]1/2;iin=1

d(x,y)=£Ix-yI；1iin=1d(x,y)=max{Ix-yI}2ii容易验证(Rn,d),(Rn,d)和(Rn,d)都是度量空间，一般称(Rn,d)为欧几里得12空间.以下的例子是在M.Frechet1906年提出的.例1・1・4如果用s记所有实数列形成的集合，对于任意x=(x),y=(y)，定义iid(x,y)=£i=1Ix-yId(x,y)=£i=1i i—i!(1+Ix-yI)iix容易知道d满足度量定义中的(1)和(2)，由函数9(x)=在(0,+8)是1+x单调增加的可知对于Ia+bI<IaI+IbI,有Ia+bI<IaI+IbI=IaI+IbI1+Ia+bI1+IaI+IbI1+IaI+IbI1+IaI+IbIIaIIbI+

1+IaI1+IbI令a=x-z,b=z-y,则可得到d(x,y)<d(x,z)+d(y,z),所以(s,d)ii ii是一个度量空间.常见的序列空间还有如下几个空间.例1.1.5l={(x.)IsupIx.I<+8},对于任意的8 i i ii8iT8d(x,y)=suIpr.-y.I.即l8为所有有界数列所形成的空间，如x=(丄)，ii8iy=(1+(-1).)el,但z=(i)电l.88例1.1.6c={(x)Ilimx=0}，对于任意的(x),(y)ec0,定义0....0iT8d(x,y)=supIx-yJ.即c0为所有收敛于0的数列所成的空间,如x=(丄)，TOC\o"1-5"\h\zii0 2iy=(1+(_M)£c0,但z=(1+(-1)i)纟c.3i 0 0例1・1・7l=｛(x)I工8IxI<+a｝,对于任意的(x),(y)£l，定义d(x,y)1i i=1iii1=工8Ix-yI.即l为所有绝对收敛数列所成的空间，如x=(丄)£l,但

i=1ii 1 3i 1z=(b电i.i1度量就是R3中距离的推广，在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.定义1.1.2设(X,d)是度量空间,｛x｝uX,若limd(x,xo)=0,则称序nn0nT8列｛x｝按度量d收敛于xo,记为limx=x,或xtx(nT8),此时称｛x｝为n 0 n0n0 nnt8收敛点列，称x0为｛x｝的极限.0n在数学分析中，大家都知道，若数列｛x｝是收敛的，则其极限是唯一的•类似地，在n度量空间也有下面的结论.定理1・1・1在度量空间(X,d)中，若｛x｝是收敛点列，则｛x｝的极限一定唯nn证明用反证法，假设有x，y£X,使得limx=x,limx=y，但x丰y,则由nnnt8 nt8d(x,y)<d(x,x)+d(x,y),可知d(x,y)<0.又由于d(x,y)>0,因此nnd(x,y)=0,但这与假设x丰y矛盾，所以由反证法原理可知｛x｝的极限唯一.n另外，容易看出，在度量空间(X,d)中，若｛x｝是收敛点列，则｛x｝的任意子nn列也是收敛点列,并且极限是一样的.定理1・1・2若xtx,yty,则d(x，y)td(x0,丁0).即d(x,y)是n0n0 nn 0 0

x和y的二元连续函数.证明由于d(x,y)<d(x,x)+d(x,y)

nnn00n<d(x,x)+d(x,y)+d(y,y)

n0000n因此d(xn，打)-d(x0，儿)<d(xn，"(儿，儿)同样地,有d(xy0)-d(x,y)<d(x,x0)+d(y,y0)0 0 nn n0 n0因而Id(xn,yn)—d(x0,y0)l<d(x”,x°)+d(y”j所以,d(x,y)fd(x0,y0).””00如果考虑如下的问题呢？问题1・1・1若x是线性空间,(x,d)为度量空间，加法是否连续呢?不一定,下面的例子是D.D.Rothmann[Anearlydiscretemetric.Amer.Math.Monthly81(1974),1018-1019.]作出的.例1・1・8设R=(—g,+s)，对于任意x，ygR，定义d(x,y)=当x丰y时.0,当d(x,y)=当x丰y时.则容易验证(R,d)是一度量空间.其实,只要取xn=1,y”=—n,x°=1,y°=1,则d(x,x)=d(1,1)=0f0,d(y,y)=d(—1,0)=1f0-”0”0””但d(xn +y”,x0 + y0)=d(1—1,1)=1,因此d(x” + y”,x0 + y。)不收敛于0.所以，虽

然xnTx0，ynTy。，但是｛xn+yn｝不收敛于xo+y0.在空间解析几何中，称｛(X,x,x)1C3Ix-xI2)i/2<r｝是R3中一个以

1 2 3 i=ii0x0为球心,r为半径的球.同样地，球的概念可以推广到一般的度量空间.定义1.1.3若(X，d)为度量空间，r为大于0的实数，则称U(xo,r)=｛x丘XId(xo,x)<r｝是以xo为球心，r为半径的开球，记为U(x°,r).而称B(xo,r)=｛xwX1d(xo,x)<r｝是以x°为球心,r为半径的闭球.抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别，下面的问题是很有意思的.问题1.1.2在度量空间中，一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球？度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别，一个半径为6的开球，可能会真包含在一个半径为4的开球内.例1・1・9设X=｛(xi，x2)Ixi，x2为实数，|xi|2+1x2|2<16｝，在X上定义度量d(x，y)=(Ixi-yiI2+1x2-y2l2)1/2，则以x°=(0,o)为球心4为半径的小球真包含以y0=(3,0)为球心6为半径的大球.进一步，还可以考虑下面的问题.问题1・1・3对于任意r2>ri>0,是否都可找到一个度量空间，存在两球,使得小球U(xo,[)真包含大球U(xo,r2)呢？利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的联系,序列｛xn｝依度量收敛于x当且仅当对于任意e>°,存在N，使得n>Nn0时,xn都包含在开球U(x0,£)中.例1・1・10若d为非空集合X的平凡度量,则对任意xogX及0<£<1,U(x,£)只包含一个点，因此如果序列X收敛于x,则必有N，使得n>N时，一定0n00.定义1・1・4设M是度量空间X的子集，若存在x0GX,r>0,使得M包含在开球U(x0,£)中，则称M是(X,d)的有界集.明显地,M是有界集当且仅当存在x0及r>0,使得对任意xgM,有d(x,x)<r.0定理1・1.3若｛x｝为度量空间的收敛序列，则｛x｝是有界的.nn证明设limx=xn0ns则对于“1,存在N，使得n>N时，证明设limx=xn0ns令r=max{1,d(x,x),••-,d(x,x)}+1,则对任意的n,有d(x,x)<r,故01 0n-1 0n{x}uU(x,r)，所以{x}是有界的.n 0 n有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间(X,d)，都可以引入另一度量P，使任意子集MuX都是有界集.d(x,y)事实上，只需令P(x,y)= ，则容易看出对任意MuX,M都是(X,p)1+d(x,y)的有界集,并且有d(x,x)T0当且仅当P(x,x)T0.nn例1・1・11设s为全体实数列,对于任意x=(x),y例1・1・11设s为全体实数列,对于任意x=(x),y=(y)es,d(x,y)ii=册士，试证明(S,d)中序列按度量d收敛当且仅当序列按坐标收敛.iii=1EIx(n)—x(0)I i i n n0 n i!(1+Ix(n)—x(0)I)iii=1故对每一个固定的i0,有Ix(n)—x(0)Ii i00i!(1+Ix(n)—x(0)I)0i0<d(x,x)n0因而(、i!d(x,x)

:(n)I< 0 n0—i0 1—i!d(x,x)0 0n0所以limx(n)=x(n)，即｛x｝按坐标收敛于x.i0 n 0反过来，若｛x｝按坐标收敛于x0,则对于任意0<8<1,由于级数艺i=1敛，因此存在正整数m,使得艺i=m18<—i! 4对于每个ivm,有叫,使得n>N.时，有8Ix(n)—x.(O)1<-•令N=max｛叫,…,Nm-i｝,则当n>N时，有i=1Ix(«)i=1Ix(«)—x(°)I i i i!(l+1x(n)—x(°)I)

ii<si=1848i!(1+)4ymym—1d(x,x)=n0i=1Ix(n)—x(0)Ii i—i!(1+Ix(n)—x(0)I)因此TOC\o"1-5"\h\zIx(n)—x(0)Iy

i i +丿i!(1+Ix(n)—x(0)I)ii i=m38 8<+=8.所以limd(x,x)=0.即｛x｝依度量d收敛到x.n» n0 n 01.2度量拓扑在数学分析，对实数集R,已经有了开区间,闭区间，开集和闭集等概念，将这些概念推广到一般的度量空间，就可以建立起度量空间(X,d)的拓扑结构.定义1・2・1设(X,d)是度量空间，G是X的子集,x0eG称为G的内点，若存在的某个开球U(x,r),使得U(x,r)uG.若G的每一个点都是G的内点，则称00G为开集.另外，规定空集0是开集，明显地X一定是开集.定理1.2.1对于任意xeX,r>0,开球U(x,r)是度量空间(X,d)的开集.00证明只需证明对于任意的xeU(x,r),x是U(x,r)的内点.00对于xeU(x,r),有d(x，x0)<r,令r'-r—d(x，xo),则r'>0且0yeU(x,r')时，有d(x,y)<r',因而d(x0,y)<d(x0,x)+d(x,y)<d(x。,x)+r'=r所以，U(x,r')uU(x,r)，即x是U(x,r)的内点，由x是任意的可知U(x,r)是000开集.下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.定理1・2・2设(X,d)是度量空间，则(1)任意个开集的并集是开集；

(2)有限个开集的交集是开集.,因此U(x,r)uUGa，故a证明(1)设GQ为(X,d),因此U(x,r)uUGa，故a使xgG,由于G是开集，因而有开球U(x,r)uGaTOC\o"1-5"\h\z0a0 a0x为UG的内点，由x是任意的可知UG是开集.a a(2)设G…,G为开集,对于任意xgG,对i=1,2,••-,n,有xgG.,1 n i ii=1由于Gi是开集，因此有r.使得U(x,r)uG,令r=min{rIi=1,2,•••n},则\o"CurrentDocument"i i i i iU(x，r)uG,因而U(x，r)uHG,所以,x为厲G的内点，从而厲G为开集.i i i ii=1 i=1 i=1例1・2.1设X是非空集合，d为X上的平凡度量，则对任意xogX,开球U(xo，1)={xId(x,xo)<1}={xj,因而{x。}是开集，所以，X的任意子集G=U{x}都是开集.x问题1.2.1任意多个开集的交集是否一定为开集？任意多个开集的交集不一定是开集.例1・2・2在实数空间R中,d(x,y)=Ix-yI,对于任意自然数n,G=(-丄丄)nnng 11是R的开集，但HG=H(-丄,丄)={0}不是开集.nnnn=1定义1.2.2度量空间(X,d)的子集F称为闭集，若F的余集FC=X\F是开集.由上面的定理,容易看出下面定理成立.定理1・2・3设(X,d)是度量空间，则(1)0和X是闭集;(2)任意闭集的交集是闭集；(3)有限个闭集的并集是闭集.与闭集有着密切联系的概念是极限点.定义1・2・3设F是(X,d)中的集合,xgX，若包含x的任意开集都含有不同于x的F的点，则称x为F的极限点.明显地,x为F的极限点时,x不一定属于F.例如在实数空间R中,0是F=1{In=1,2,...,n,...}的极限点，但0纟F.n容易看出,有几种方法可以检查一个点x是否为F的极限点.定理1・2・4设(X,d)为度量空间，FuX,x0gX，则下列条件等价：x为F的极限点；0包含x的任何一个开集都含有F异于x的无穷多个点；00在F中存在序列x,x丰x且limx二x.nn0n0ns定义1・2・4设(X,d)是度量空间，FuX，称F的极限点全体为F的导集，记为F'.F=FUF'称为F的闭包.例1・2・3在实数空间R中，若F=[1,2]U{3,4},则F'=[1,2],且F=F.定理1・2・5 设(X,d)是度量空间,F为X的子集，则下列条件等价：F是闭集；F'uF；戸二F.证明(1戶⑵若F是闭集,则FC是开集.如果F'=0,则F'uF.如果F' ,则对任意xgF',必有xgF.不然,假设x电F,则有xgFc,由于FC是开集，且FCnF=0,但这与=(3)若F'uF，则F=FUF'=F.=(1)若F=FUF'=F,则F'uF.如果FC ，则F=X是闭集；如果FCz0,则对任意xeFC,由F'uF可知x电F因而存在开球U(x,r)P|F=0,故U(x,r)uFC，即x是FC的内点，因此FC是开集，所以F是闭集.定理1・2・6设(X,d)是度量空间,FuX,xeX，则下列条件等价：xeF；x的每个开球都包含有F的点；有序列{xn}uF，使得limx二x.nn证明⑴n⑵对xeF=FUF'，若xeF，则明显地对x每个开球U(x,r),U(x,r)包含有F的点.若xeF，则对于x的每个开球U(x,r),U(x,r)必含有F的异于x的点，所以U(x,r)一定含有F的点.n⑶对于任意正整数n,U(x,1)中含有F的点xn，因而d(x,x)＜丄，所n n nn以，limx=x.nnT8n(1)设存在{xn}uF,使得limx二x.如果xeF,则明显地有nnT8xeF.如果x电F,则由{xn}uF可知xn丰x,因而由limx二x.可知nnT8xeF',所以,xeF.容易证明,F的闭包就是包含F的最小闭集,因此需要考虑下面的问题.问题1・2・2在度量空间(X,d)中，开球u(xo,r)的闭包是否一定是闭球B(x0,r)？在度量空间(X,d)中,都以x0为球心，r为半径的开球U(xo,r)和闭球B(x°,r)虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.例1.2.4在R二(-©+8)上,定义平凡度量JO,当x二y时；

如y)=il,当x丰y时.则对于开球U(0,1),由于U(0,1)={0}是闭集，因此它的闭包仍是{0},不是闭球B(0,1)—(-8,+8).定义1・2・5设(X,d)是度量空间,GuX,称G的内点全体为G的内部，记为G0.容易证明，对于G的内部和闭包，有下面的定理成立.定理1.2.7设(X,d)为度量空间,GuX,FuX，则G是开集当且仅当G—G0；⑵G0uGuG；(3)当GuF时,一定有G0uF0,GuF.利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.定义1.2.6设F为度量空间(X,d)的子集，若戸—X，则称f在X中稠密.定义1・2・7设F为度量空间(X,d)的子集，若F不包含任何内点，则称F称在X中是疏朗的.例1.2.5全体有理数Q在实数空间R—(-8,+8)中是稠密的,而全体自然数Z在R中是疏朗的.在度量空间(X,d)中，利用度量d，可以定义开集，闭集，闭包，内部等概念，也可以利用开集来刻画序列{x}依度量d收敛于x0.n0F.Hausdorff(1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F.Hausdorff利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.定义1・2・8设X是一个非空集合,T是X的一族子集，若T满足下面的三个公理，则称(X,T)是拓扑空间0GT,Xet；T中任意个集合的并集属于T；T中任意有限个集合的交集属于T.此时称T中每一个集合为开集，则称T为拓扑.明显地，若(X,d)是度量空间,T为度量空间中的全体开集，则(X,T)为拓扑空间，称T为度量d产生的拓扑.例1・2.6设X是一个非空集合,T为X的子集的全体，则(X，T)是一个拓扑空间,此时称T为的离散拓扑.此时，对于任意xeX,x都是开集.若d为X上的平凡度量,则度量d产生的拓扑就是X的离散拓扑.例1.2.7设X={x,y,z},T={0,X,{x},{x,y},{x,z}},则(X,T)为一拓扑空间•但在(X,T)中，对含有y点和含有z点的任意开集Uy和Uz,都有unu北0.yz明显地，在度量空间(X,d)中,对于任意x，yeX,只需取r=—d(x,y),则4U(x,r)nU(y,r)=0，具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff空间.

定义1・2・9拓扑空间（X,t）称为Hausdorff空间,若对于X中的任意x,y,x丰y，存在两个开集U和U,使得xeU,ygU，且UPlU,.xy x yxy另外，度量空间（X,d）还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间为正规空间.例题1.2.1设片，F2是度量空间（X,d）中的两个闭集，且F1PF2=0，试证明存在开集U，U2,使得FuU，FuU2，且UPU2=°.JL 乙 JL JL 乙 乙 JL 乙证明：由于FPF2=°，因此FuF「由笃是闭的可知Fj是开集，故对于任意xgF存在r>0，使U（x，r）uFc-1 x x2令u=uu（x，仃），则u是开集，且fu%12111xgF1类似地，对于任意ygF，存在r>0,使得U(y，r)uFc，令U=uU(y厶)，则2y y1 2 2xgF2U2是开集，且F2uU2.如果存在zgU]PU2,则由UU(x,3Puu(y,»工°可知一定有1 2 xgF1 2 ygF2 2xgFxgF1，ygF2,使zGU(x,r且zGU(y,才).因此rrd(x,y)<d(x,z)+d(y,z)<x+y<max{r,r}2 2 xy但这是不可能的,因为若d(x,y)<r，则ygU(x,r)uFc与ygF矛盾；若d(x,y)<x x2 2ry,则xgU（y,r）u什与xg件矛盾.因此由上面讨论可知U1PU2=°,所以存在开集FuU1,F2uU2且U1PU2=°.PaulS.Uryosohn(1892-1924)还证明了每一个正规的拓扑空间(X,t)都可以引进度量d，使得产生的拓扑与t是一致的，即每一个正规的拓扑空间都是可度量化的.1.3连续算子M.Frechet在他1906年的博士论文中，考察了一类L空间，在L空间中定义了泛函的连续性和一致收敛性等，在L空间中引进并研究了列紧性，证明了在列紧集上的连续泛函是有界的，并在列紧上达到它的极大(小)值，这样就将实变函数的许多结果进行推广.其实，依照数学分析中函数的连续性，在度量空间中很容易引入算子的连续性.定义1・3・1设(X,d)和(Y,p)都是度量空间,T为X到Y的算子,x0gX，若对任意e〉0,存在8>0,使得d(x,x°)<6时，有p(Tx.Tx°)<£,则称算子T在点连续,若T在X上的任意点都连续，则称T在X上连续.例1・3・1设c0为所有收敛于0的实数列的全体,在度量d(x,y)=sup|xi-yi|下是度量空间，若T为c°到c°的算子,Tx=3x+y°,这里y°为c°的一个固定元,则T为连续映射.事实上，由于c°是线性空间，且由d的定义可知d(x,y)=d(x-y,0),因而对任p £意>0,只须取8=6,则当d(x,x0)<8时，有d(Tx,Tx0)=d(3x+y0,3x0+y0)=3d(x,x0)<£，因而T在x0点连续，而x0是c0的任意点，所以T在X上连续.容易看出，若T是(X,d)到(Y,p)的算子，则T在x0点连续当且仅当对于任意收敛于x0的序列｛x｝，有limTx二Tx.0nn0nT8另外，还可以利用开集来刻画T的连续性.定理1・3・1设(X,d)和(Y,P)是度量空间，则T在X上连续当且仅当Y中每个开集的逆象在X中是开集.证明若G是Y的开集,则不妨设T-1(G)丰0,对任意x0eT-1(G),有Tx0eG，由于G是开集，因此存在U(Tx0,£)uG,因为T是连续的，所以存在5>0,使得xeU(x0,5)时，有TxeU(气,£)，因而U(x0,5)uT-1(U(Tx0,£))uT-1(G),故x0是T-1(G)的内点，所以，由x0是T-1(G)的任意点，可知T-1(G)是开集.反之,若对于Y中的每个开集G,t-1(G)都是X的开集，则对于任意x0eX和任意£〉°,T-1(U(Tx0,£))为X的开集，因此存在U(x0,5)uT-1(U(Tx°,£)),即对于任意£〉°,存在5>0,使得d(x,x0)<5时，有d(Tx,Tx0)<£,所以T在x°点连续,因而T在X上连续.在实数空间R中,[a,b]上的连续函数一定有界并达到它的上下界•但在度量空间中,有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上、下界,因此需要引入列紧性这一概念，列紧性是M.Frechet在1904年发表在ComptesRendus的论文引进的.下面的列紧性与紧性在实数R中可由Heine-Borel-Lebesgue定理和Bolzano-Weierstrass定理来表现.Heine-Borel-Lebesgue定理指的是闭区间[a,b]为一族开区间所覆盖时,它一定为这一族中的有限个开区间所覆盖，而Bolzano-Weierstrass定理指的是有限区间中每个点列必有子列收敛于区间中的一点.定义1・3・2设(X,d)为度量空间,F为X的子集，若F的任何序列都有在X中收敛的子序列，并且是闭的，则称F为列紧集.定义1.3.3设(X,d)为度量空间,X的子集F称为紧的，若F的每个开覆盖都有有限的子覆盖，即如果G是X的一族(可列或不可列)开集，且UG二F,a a则一定存在有限个开集G，G，…，G ，使得UGc二F.a1 a2 an i=1ai在度量空间(X，d)中,X的子集的列紧性与紧性是一致的.定理1・3・2设(X,d)是度量空间，FuX，则F是列紧的当且仅当F是紧的.由紧集的定义容易得到下列的简单性质.定理1・3・3设(X,d)是度量空间，则只有有限个点的子集是紧集；紧集是有界闭集；紧集的任意闭子集是紧的；任意一族紧集的交集是紧集.但度量空间的有界闭集不一定是紧的，如在X=｛1,2,3,…,弘…｝中，定义平凡度量d(x,y)，则F=｛2,4,6,…卫k，…｝为X的有界集，且是闭的，但F不是紧集.度量空间(X,d)的紧集上的连续函数具有许多闭区间上连续函数所具有的性质.定理1・3・4设(X,d)和(Y,P)为度量空间,F为X的紧集,T为X到Y的连续算子，则T(F)是紧集.证明设｛y｝为T(F)的任意序列，则有｛x｝uF，使得yn=Txn.由于F是紧n n n nTOC\o"1-5"\h\z的•因此存在{X},使得limx二x,且x0eF.因为t在x0点连续，所以nk k*nk0 0 0limy二limTx=yGt(F)，故T(F)为紧集.n n0kT8k kT8 k定理1・3・5若(X,d)为度量空间，F为X的紧集,f为X到实数R的连续函数，则f一定有界,并且在X上达到上、下确界.证明由上面的定理可知,f(F)为实数R的紧集，因此f(F)有界,故存在M>0,使得对任意x,有If(x)l<M.由于f(F)为实数R的紧集，因而f(F)包含上确界y1和下确界y2，所以存在x1,x2eF，使得f(珀)=y1,f(x2)=y2•由上面定理可知，若(X,d)为度量空间，f为紧集，则f上每个实值连续函数都是有界的,但下面的问题又如何呢？问题1.3.1设(X,d)为度量空间，若X上的每个实值连续函数都是有界的，则X是否一定是紧的呢？E.Hewitt在1948年肯定地回答了上述问题，他证明了X是紧的当且仅当X上的每个实值连续函数都是有界的.EmileBorel在1895年首先给出并证明了现在的HeineBorel定理,PierreCousin(1895)，Lebesgue(1898)和Schoenflies(1900)推广和完善了该定理.定理1・3・6(HeineBoreltheorem)空间Rn中的子集F是紧的当且仅当F是有界闭集.证明当F是紧集时,明显地F是有界闭集.反过来，若F是R"的有界闭集,则存在M>0,使得对于任意xeF，有d(x,0)=

i=1Ix.|2i=1Ix.|2)1/2<M.故对于F中的任意序列{x},

ik有d(0,x)=k(工Ix(k)|2)1/2<M，因ii=1而对于每个固定的i，有Ix(k)|<M对任意k成立，由｛x.(k)｝uR及｛x(k)｝为有界数i i i列可知它一定有收敛子序列.对于i=1,｛x(k)｝在R中一定有收敛的子序列1｛x(km)｝；同样,对于i=2,｛x(km)｝在R中一定有收敛的子序列，不妨仍记为12｛x(km)｝,依照同样的方法，可以找到n个子序列，即｛x(km)｝,｛x(km)｝,...,｛兀(切｝2 1 2 n都收敛.由Rn中度量的定义容易知道｛x｝的子序列｛x｝一定收敛，所以,F是紧kkm集.紧集上的连续算子还具有一些关于不动点的性质.下面先看看不动点的定义和一个非常简单的例子.定义1・3・4设(X,d)为度量空间,FuX,T为F到F的映射，若x0 F，使得Tx0=%，则称x0为T的不动点.先看看下面很有意思的例子.例1・3・2若f是［0,1］到［0,1］的连续函数,则f在［0,1］一定有不动点x0,使得f(x0)=x0.实际上,如果f(0)=0或f(1)=1,则明显地,f在［0,1］一定有不动点•假如f(0)=0和f(1)=1都不成立,那么对于g(x)=f(x)-x,有g(0)〉0,并且g(1)<0,有连续函数的中值定理可知，存在x0G(0,1)，使得g(x0)=f(x0)-x0=0,所以，f在［0,1］一定有不动点.容易知道,［0,1］是R上的闭凸集，将上面的结果推广到［0,1］上的紧凸集，就得到了Brouwer不动点定理,L.E.J.Brouwer在1912年证明了欧几里得空间Rn的不动点定理.定理1・3・7（Brouwer不动点定理）设Rn为欧几里得空间,F为Rn的紧凸集，若T为F到F的连续映射,则存在x0F，使得Tx0=x0.设X为线性空间,FuX，则F是凸集指的是对于任意的x,y&X，及任意Xe（0,1），有心+（1—九）yeF.凸集 非凸集1922年,G.D.Birkhoff和O.Kellogg证明在l中不动点定理成立.J.Schauder在1930年还把上述不动点定义推广到赋范空间,即赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质，而Tychonoff进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质.1・4完备性与不动点定理在数学分析讨论实数数列的极限时，大家都知道数列｛x｝是Cauchy列当且仅n当｛x｝为收敛数列,Cauchy列这一概念亦可推广到度量空间.n定义1・4・1设（X,d）是度量空间,｛x｝为X的序列,若对任意£〉0,存在正n整数N，使得m,n>N时，有d（x,x）<£,则称｛x｝为Cauchy列.mn n明显地，若｛x｝为度量空间(X,d)的收敛列，则｛x｝一定是Cauchy列,但反之nn不然.例1・4.1 设Q为全体有理数,d(x,y)=1x-yI,则(Q,d)为度量空间,且11｛(1+—)n｝Cauchy列，但｛(1+—)"｝在度量空间(Q,d)中不是收敛列.nn定义1・4・2若度量空间(X,d)的每一个Cauchy列都收敛于X中的点，则称(X,d)为完备的度量空间.完备的度量空间具有很好的性质,M.Frechet在他的博士论文中就已经仔细地区别完备与非完备的度量空间了.例1・4・2所有实数收敛数列全体c在度量d(x,y)=supIx,-y,丨下是一个完备的度量空间.例1・4・3欧几里得空间Rn是完备的度量空间,事实上，如果｛x｝是Cauchy列,k则对于每个固定的,,由Ix(1)一x(m)I<Ix(l)一x(m)|2)1/2=d(x,x), , , , lm,=1可知｛x(k)｝是r中的Cauchy列，因而存在x，使得limx(k)=x.令x=(x),' ' k* ' ' '则limx=x,所以,Rn是完备的度量空间.kT8k常见的序列空间c,1,1(1<p<◎都是完备的度量空间.01p在数学分析中，大家都知道闭区间套定理:如果闭区间列｛[a,b]｝满足如下条nn

(1)[a,b]u[a,b],n二1,2,3,…;n+1 n+1 nn(2)limla一b1=0.nnns则存在唯一的gw[a,b](n=1,2,3,•••)，使得lima=limb=g.nn n nmg ns在完备的度量空间,有类似的结论.定理1・4.1 设(X,d)是完备的度量空间，B={xld(x,x)<r},n nnB二B二…二B二B二…，并且limr=0•则必有唯一的xwB.1 2 n n+1 n n=1nn—g证明由于limr=0,因此对于任意的£〉°,存在N，使得n>N时，有r<ek—gn n对于m>n>N，由BuB，可知d(x,x)<r<£，因而{x”}是Cauchy列.因为m n mnn nX是完备的度量空间,所以有xwX,使limx=x.nn—g由d(x ,x)<r，可知d(x,x)<r对任意n成立，因此xwQg_B.n+pnn nn n=1n假设ywQg=Bn,则由d(y,x”)<r”可知limx=y,所以x=y,即,Bn=1n nn n n=1nn—g中只含有一点.该定理的几何意义是很明显的,如果有一列闭球,像洋葱一样,闭球内还有闭球,并且半径越来越小趋于0,则一定有一点,在所有的球里面.例题1.4.1设(X,d)是一个度量空间,若对X中任意一列闭球B二B二…二B二B二…,这里B={x|d(x,x)<r},当limr=0时,一定有1 2 n n+1 n nn nk—g唯一的xwQg,B，试证明(X,d)是完备的度量空间.11证明设xn是X的Cauchy列，则对£= ，存在Nk，使得n>N,时，有n k 2k+1 k kkd(x,x)<£•不妨把n.取为n1<n2<•••<n<••••nknk+1 k k 1 2 k

1令B={x1d(x,x)< }，则当yeBk,1时，有TOC\o"1-5"\h\zk "k2k H1212kd(y,x)<d(y,x)+d(x ,x)< +nk nk+1 nk+1nk 2k+1 2k+i因而Bk二Bk+i11limxks1由k"rk二怎二0可知存在唯一的x£兀iBk‘从而d(xk,x)limxks1二x,由{xn}是Cauchy列可知limx二x，所以度量空间(X,d)是完备的.nnnT8思考题1.4.1在上面定理中，若去掉条件limr=0,定理是否成立？ksn实际上，设X为所有的正整数全体，对任意x,yeX,定义1+-^—,当x丰y时；P(x,y)彳 x+y0, 当x=y时.则P是X上的一个度量，容易验证(X,P)是完备的度量空间.对任意正整数n，取1B={xId(n,x)<1+ }={n+1,n+2,•••}，就有B二B二…二B二B二…，但n 2n 1 2 n n+1n-1B为空集.n=1n思考题1.4.2在上面定理中,若去掉度量空间完备的条件,定理是否成立？一个度量空间如果不是完备的，则用起来比较困难，好在F.Hausdorff早就证明一个度量空间能够,并且只能够按一种方式扩展成一个完备的度量空间.把某些方程写成x=f(x)的形式，把求解问题转化为求算子的不动点，然后利用逐次逼近法来求不动点,是一种很早就使用的方法,牛顿求代数方程的根时用的切线法就是这种方法，后来Picard用逐次逼近来求解常微分方程,S.Banach在1922年用度量空间及压缩算子描述这个方法,这就是Banach不动点定理.

定义1・4・5设(X,d)是度量空间，T是X到X的算子，若存在实数ae[0,1),使得对一切x，yeX,x丰y，都有d(Tx,Ty)<ad(x,y)则称T为压缩算子.例1・4・4设f为实数R上的可微函数，且在R上有If'(x)l<a<1,则d(f(x),f(y))=If(x)-f(y)1=1广忆)IIx—yI<ad(x,y),f为R到R的压缩算子,x如f(x)=3+1就是R到R的压缩算子.反过来,若f为实数R上的可微函数，f为R到R的压缩算子，则一定有If'(x)I<a<1对所有的xeR.实际上，由于If(x+Ax)—f(x)I aI(x+Ax)—xI -If'(x)I=lim <lim =a<1AxtO Ax AxtO Ax因此，If'(x)I<a<1对所有的xeR都成立.明显地,若T是度量空间(X,d)的压缩算子,则T一定是连续的.事实上,若xntx0,则d(Txn,Tx0)<ad(xn,x0)t0,因而T是连续的.压缩算子最重要的性质是它在完备度量空间的Banach不动点定理.定理1・4・2设度量空间(X,d)是完备的,T是压缩算子，则T有唯一的不动点,即存在唯一的x,使得Tx=x.证明在X上取一固定的点x0,令x1=x1=Tx0,x2=Tx1=T2x0=Tx=Tnx0则对正整数n>1及p>1,有TOC\o"1-5"\h\zd(x ,x)<d(x ,x )+d(x ,x)n+pn n+pn+p-1 n+p-1n<d(x ,x)+d(x,x )+d(x ,x)n+pn+p-1 n+p-1 n+p-2 n+p-2n<・・・<d(x ,x )+d(x ,x)H Fd(x ,x)n+pn+p-1 n+p-1n+p-2 n+1n<d(TnHpx0,TnHp-1x0)Hd(TnHp-1x0,TnHp-2x0)H・・・Hd(TnH1x0,Tnx0)<ad(Tn+p-1x0,Tn+p-2x0)+ad(Tn+p-2x0,Tn+p-3x0)+—+ad(Tnx0,Tn-1x0)<・・・<Qn+p-1d(Tx0,x0)+Qn+p-2d(Tx0,x0)+・・・+Qnd(Tx0,x0)Qn< d(x,x).1-Q 10由0<a<1可知｛xn｝为Cauchy列，因为(X,d)是完备的，所以存在xeX，使limx”二x.由xn+1二Txn，可知x=Tx，因此x为T的不动点.ns假设y是T的另一个不动点，并且x丰y，则d(x,y)=d(Tx,Ty)<Qd(x,y)<d(x,y)，矛盾，所以x是T唯一的不动点.容易看出，若T是压缩算子，则T2也是压缩算子.但T2是压缩算子时,T不一定是压缩算子.例1.4.5T不是压缩算子时，可能存在neN，使得Tn是压缩算子.设T是从空间C[0,1]到C[0,1]内的映射，对于xeC[0，1],%(t)=「x(u)du,00<t<1.这里C[0,1]的度量为d(x,y)=maxIx(t)-y(t)I.明显地，有d(Tx,Ty)=maxIftx(u)du-fty(u)duI<d(x,y)00令x(t)=A,y(t)=B，这里A和B为常数，则d(Tx,Ty)d(Tx,Ty)二maxIAAdu-ABduI0<t<1 0 0-\A-B\-d(x,y)因此,不存在aw[0,l),使得d(Tx,Ty)<ad(x,y)从而T不是压缩算子.对任意x,ywC[0,1],有d(T2x,T2y)=max\AJu[x(v)一y(v)]dvdu\0<t<1 0 0t1<max\Jtud(x,y)du\=d(x,y).0<t<1 0 2所以,T2是压缩算子.推论1.4.1设(X,d)是完备度量空间,A为X到X的算子，若存在某个正整数n>1,使得An是压缩算子，则A有唯一的不动点.证明若d(Anx,Any)<«d(x,y),对任意的x,ywX,x丰y成立，则令T=An,由上面定理可知T存在唯一的xwX，使得T=x..假如x丰Ax，则由％=x=Anx，及〃x=An+1x=Ax,可知d(x,Ax)=d(Tx,TAx)<ad(x,Ax)<d(x,Ax)矛盾，从而x=Ax，即x为A的不动点,并且当y是A的另一个不动点时，y一定是T的不动点，因而x=y，所以A只有唯一的不动点x.

另外，明显地，若X0是A的不动点，则对于任意正整数n>1,x0也是An的不动点.的根.例题1・4・2试求方程x=的根.解令X=[0,+^),d(x，y)=1x-y|,则(X,d)是完备的度量空间淀义T:XTX,Tx=^2+x，容易验证d(Tx,Ty)<2d(x,y)因而，存在不动点xo，使得Tx0=x0，并且x0=2.明显地,%—2也是T3:XTX,T3x=*'2+\2+ 2+x的不动点,所以，方程x=\：'2+J2+J2+x有根x0=2.思考题1.4.3在不动点定理中，若条件“度量空间(X,d)完备”去掉，则定理成立否？思考题1.4.5在不动点定理中,若条件“存在0<a<1使得d(Tx,Ty)<ad(x,y)对任意x丰y都成立”换为“d(Tx,Ty)<d(x,y)对任意x丰y都成立”，则定理成立否？容易找到例子,上面两个问题的答案都是否定的.上面在证明不动点定理时，采用xn+1=Txn进行逐次迭代的方法，这是一种在an1-ad(x1,x0).近似计算中很常用并且很有效的方法,利用逐次迭代法,就可以很容易地估计an1-ad(x1,x0).d(x,x)<

n+pn中令pfg则可得到误差估计式

d（x,x）<d（x,x）<nd（X],x0）.根据S.Banach不动点定理，不但可以知道不动点的存在性和唯一性，而且可以容易地构造出迭代程序xn+]-TXn，由and(x,x)< d(X1,x0).n1—a10可以逼近不动点到任意精确的程度，因此在S.Banach提出不动点定理半个多世纪以来,压缩算子和不动点定理得到了深入的研究,许多有关不动点的结果已经成功地应用于Banach空间中非线性Volterra积分方程，非线性积分方程和非线性泛函微分方程解的存在性与唯一性的研究.S.Banach不动点定理有着非常广泛的应用，但压缩算子的假设却太强了.从S.Banach不动点定理的证明不难看出下面关于Picard迭代的结果.xn+1=Txn,满足Sd（xn=o例题1・4・3设度量空间xn+1=Txn,满足Sd（xn=o,x)<a，则序列｛x｝收敛到T的某个不动点X,并且n n+1 nd（x，x）<Sad（x，x）n ii+1i=n证明对于任意的m，neN，0<n<m，有d（x,x）<Sd（x,x）nm ii+1i=n因而｛x｝为Cauchy列,因此对limx=x，有x=Tx.nnnTa令mTa，有d（x，x）=limd（x，x）<Sad（x，x）.n nm ii+1nTai=n不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程等的求解问题上有着非常重要和广泛的应用.例题1・4・4试用不动点定理证明方程x6+12x-11=0在[0,1]上有实根.证明令f(x)=丄(11-x6),则方程x6+12x-11=0有解等价于12f:[0,1]T[0,1]有不动点xg[0,1]，使得f(x)=x.明显地，取X=[0,1],d(x,y)=1x—yI时,(X,d)是完备的度量空间.由于对任意x,ygX，有11d(f(x),f(y))=If(x)—f(y)I=Jll-x6)-JI-J6)I1=12I(y3-x3)(y3+x3)I1=12I(y3+x3)(y2+xy+x2)(x-y)I1<迈w+13)(12+1x1+12)(x-y)I=2d(x,y)因此f为压缩算子,因而由S.Banach不动点定理可知存在唯一的x0gX,使得f(xo)=x0，所以方程x6+12x—11=0在[0,1]上有实根x0.德国数学家RudolfLipschitz在1876年给出了关于微分方程的初值问题有唯一解的结果.dx= )例题1・4・5对于微分方程J石=f(t,x),、叫=x0,若f(t,x)在矩形M={(t,x)IIt-10I<a,Ix-x0I<b}上连续，并且在M上关于x满足李普希兹条件,即存在K>0，使得If(t,x)-f(t,y)I<KIx-yI，(t,x),(t,y)gM.试证明微分方程的初值问题有唯一解x(t),tg[a；b],其中b1h<min[a, ,],H=maxIf(t,x)I,a'=t°一h,b'=t°+h.HK (t,x)eM证明(1)构造一个合适的完备的度量空间.令C［a,b］为［a,b］上的所有连续函数全体，定义d(x,y)=maxIx(t)一y(t)I

a<t<b则(C［a；bd)为完备的度量空间.对x0(t)=x0eC[aa,br],取Y={xeC[a:b']Id(x,x°)<Hh},则Y为(C[ar,b'],d)的闭子集，因此(Y,d)是完备的度量空间.⑵定义Y到Y的算子T.由于上面微分方程的初值问题可以用等价的积分方程表示为t0x(t)=xo+Pf(s,x(s))ds,xeC[a',b']t0t0(Tx)(t)=xo+pf(s,x(s))ds,xeYt0容易验证T将Y映到Y.下证T为Y到Y的压缩算子.对于任意x,yeY，由于f在M上关于x满足李普希兹条件，故I(Tx)(t)一(Ty)(t)I=IPt[f(s,x(s))一f(s,y(s))]dsIt0<KIPIx(s)一y(s)IdsIt0<K11一t0Id(x,y)d(Tx,Ty)<ad(x,y)这里0<a=Kh<1,因此T为Y到Y的压缩算子.由Banach不动点定理可知，存在唯一的不动点xeY,使得Tx=x.其实x

就是积分方程x(t)=x0+『f(s,x(s))ds的唯一解，所以微分方程的初值问题有唯一一t0解x(t),te[a；b].Volterra积分方程是由意大利数学家VitoVOlterra引入，并由TraianLalescu1908在论文SurlesequationsdeVOlterra中研究的.例题1・4・6设K(x,y)是矩形x,ye[0,1]上的连续函数,0(x)eC[0,1],supK(x,y)=M<+s,试证明Volterra积分方程0<x,y<1f(x)=^JxK(x,y)f(y)dy+°(x)0在C[0,1]中有唯一解.证明对Volterra积分方程f(x)=XJxK(x,y)f(y)dy+°(x),定义算子0T:C[0,1]TC[0,1]为(T(f))(x)=订xK(x,y)f(y)dy+0(x)0则对于ff2eC[0,l],有IT(f)(x)-T(f)(x)I=IXJxK(x,y)[f(y)-f(y)]dyI12012<IXIMxmaxIf(x)-f(x)I12xIT2(f1IT2(f1)(x)-T2(f)(x)1=1九JxK(x,y)©(y)-Tf(y)]dyI<1九<1九12IMIJxyK(x,y)maxIf(y)-f(y)IdyI120 ye[0,1]1 2I2M2maxIf(x)-f(x)IJxydy12xe[0,1] 1 2 0类似地,有=类似地,有=|九x2|2M2一maxIf(x)一f(x)I,2xe[0,1] 1 2从而xn从而xnITn(f)(x)-Tn(f)(x)I<1九InMn--maxIf(x)-f(x)In!x日0,1] 11<IXInMn—maxIf(x)一f(x)In!xe[0,1] 1 21d(TnfTnf)<I九InMn-d(ff1 2 n! 12由limI九由limI九InT81

n!二0,可知存在足够大的n，使得IXInMn丄<1

n!所以，由前面的推论可知Volterra积分方程f(x)=XixK(x,y)f(y)dy+©(x)有唯一0解.习题一1.1设X={1,2,3},试在X上定义两种不同的度量，使X成为度量空间.1.2设l={(x)IxeR,£IxI<«}，对任意x=(x.),y=(y.)gl,d(x,y)= Ix一yI,1iiiii1iii=1 i=1p(x,y)=supIxi-yiI,试证明d和P为X上的两个度量，且存在序列{x}ul,xel，使得p(x,x0)T0，但d(x,x0)T0不收敛于0.n1o1 n0 n01.3设(X,d)为度量空间,对任意x,yeX，定义d(x,y),当d