第08章应力状态与强度理论课件

1第8章

应力状态与强度理论(AnalysisofStress&StrainandFailureCriteria)工程力学1第8章应力状态与强度理论工程力学2第8章应力状态与强度理论

(AnalysisofStress&StrainandFailureCriteria)8.1

引言

(Introduction)

8.2

平面应力状态

(Planarstress-state)8.3

空间应力状态分析简介

(Three-dimensionalstress-state)8.4

强度理论的基本概念

(Basicconceptoffailurecriteria)8.5

强度理论

(Failurecriteria)2第8章应力状态与强度理论

(AnalysisofSt38.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)基本变形强度条件的建立试验测得极限应力许用应力实际情况max≤[]max≤[

]两类强度条件：用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转。但在实际应用时，这些强度条件的局限性很大。8.1引言(Introduction)

38.1.1应力状态的概念(Conceptsof4

面积为10mm2的Q235钢柱受压，压力达到2400N时，就出现明显的塑性变形。（1）不能讨论组合变形（最常见的变形）的强度问题。脆性材料的扭转问题：横截面上有max，但在斜截面破坏。（2）对某些基本变形的破坏现象不能解释。但放到凹槽受同样压力变形很小。8.1引言(Introduction)

8.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)4面积为10mm2的Q235钢柱受压，压力达5（1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。（2）受力构件的破坏都与极值应力有关，而极值应力不一定作用在横截面上。

材料的破坏面与该面上的应力密切相关，由内力的概念和拉压杆斜截面上的应力，可知：塑性材料的杆拉伸屈服横截面上有max，但屈服时在45°方向出现滑移线。脆性材料的杆受压在45°斜截面上破坏。8.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)8.1引言(Introduction)

5（1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。（2）受力6

实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变形的强度问题，必须研究过一点不同截面上的应力情况。通过一点所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。

一般构件内各点的应力情况并不相同，讨论构件的强度时，选取横截面上各种应力都大的点——危险点，分析该点的应力状态。8.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)8.1引言(Introduction)

(Dangerouspoint)

6实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变78.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)

若以整个构件为研究对象，讨论任意斜截面上的应力过程相当繁琐，且没有必要。讨论应力状态时，在构件的危险点，截取一个边长无限小的直角六面体。截取单元体（Elementbody）（直角六面体）由于在不同的基本变形情况下，横截面上的应力可以求出。

用相距很近的横截面和与之正交的纵向截面截取单元体。8.1引言(Introduction)

78.1.2应力状态的研究方法(methodtostu8σPPFNFN从拉压杆内截取单元体σ明确横截面单元体的受力用应力表示8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

8σPPFNFN从拉压杆内截取单元体σ明确横截面单元体的受力9M=PxAByPxmzBAABBAτσττ在x横截面的A、B点截取单元体ττxyz明确横截面明确自由表面MT=mM=Pxσ8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

9M=PxAByPxmzBAABBAτσττ在x横截面的A、10单元体的特点(Elementcharacteristic)（1）边长无限小，各个侧面上应力可认为均布。（2）相互平行的面上应力等值反向，等于过一点相应的截面上的应力。（3）单元体上的斜截面表示过该点的斜截面。构件平衡，单元体也平衡。若已知单元体上各个侧面的应力，可以利用平衡原理求任意斜截面上的应力。（4）单元体的三个相互垂直的截面上的应力可以表示一点的应力状态。研究应力状态，就是研究一点处单元体上各截面的应力情况。8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

10单元体的特点(Elementcharacteri11

一般情况下，围绕构件内一点，可以从不同方位截取无数个单元体，其侧面的应力各不相同。主平面(Principalplane)：切应力为零的面。主应力(Principalstress)：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且按代数值排列s1>s2>s3。应力分析的主要目的：寻找主单元体和主应力。

理论证明：构件内任一点总存在一个特殊的单元体，相互垂直的各侧面上切应力为零，该单元体为主单元体(Principalbody)。8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

11一般情况下，围绕构件内一点，可以从不同方12一点处的应力状态可用三个主应力来分类：3)单向应力状态：

(Uniaxialstress-state)只有一个主应力不为零的应力状态。(平面应力状态)有二个主应力不为零的应力状态。三向应力状态：

(Three-dimensionalstress-state)三个主应力均不为零的应力状态。2）二向应力状态：

(Planarstress-state)(空间应力状态)特例特例复杂应力状态8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

12一点处的应力状态可用三个主应力来分类：3)单向应力状态138.2平面应力状态(Planarstress-state)任务：已知过一点互相垂直截面上的应力，要求讨论任意斜截面上的应力，进一步确定过该点的极值应力及其作用面。从受力构件内部一点截取原始单元体（各侧面上的应力已知）。规定如下：正应力

：拉应力为正。切应力

：绕所截取部分顺时针旋转的为正。注意：单元体上所绘σ、τ数值代表大小（绝对值），应力的箭头方向代表正负。二向应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为零（即有一个主应力为零），而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。xyzσyσxτyτxσxτxτyσy建立坐标系8.2.1任意斜截面的应力(Stressesonanarbitraryobliquesection)138.2平面应力状态(Planarstress-sta14平行于z轴的斜截面(垂直已知主平面)σyyxτyτxσyσxτxσxτyACBxyzσxτyτyτxσxτxσyσyσxτxσαταACαBACαB＋－－＋a

：以x轴正向逆时针转至截面法线为正。αnαntαατyσy8.2.1任意斜截面的应力

(Stressesonanarbitraryobliquesection)14平行于z轴的斜截面(垂直已知主平面)σyyxτyτxσ15同理即相互平行的面（夹角为0或180°）表示同一截面。由于易得应用斜截面应力公式时，注意按规定写出各项的符号。斜截面应力公式互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。8.2.1任意斜截面的应力(Stressesonanarbitraryobliquesection)15同理即相互平行的面（夹角为0或180°）表示同一截面。168.2.2主应力(Principalstress)极值正应力的作用面即为主平面，极值正应力即为主应力。－45°45°<0<主值0＋90°在定义域中满足上式的角度还有：τ主平面方位：0＋180°0－90°-45°≤0≤45°由于：互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。正应力的极值一个为极大，一个为极小。综上可得：两个互相垂直的平面上正应力有极值，即主应力。168.2.2主应力(Principalstress17

求出主应力后，必须与已知主应力（

=0）按代数值排序，得出1

、

2、

3。求主应力大小：方法一先求出0，将0

、0＋90°代入σ公式，求出两个主应力。可明显看出两个主平面对应的主应力的大小。方法二

由tan20，导出sin20、

cos20，代入σ公式，得：主应力公式8.2.2主应力(Principalstress)17求出主应力后，必须与已知主应力（=0）按18xσyσxyxσyσxy'max对应关系：'maxxx（方法1）（方法2）求出两个角度后，根据切应力的方向确定较大主应力的指向。'min'min8.2.2主应力(Principalstress)18xσyσxyxσyσxy'max对应关系：'max198.2.3极值切应力(了解)(Theextremevaluesofshearingstress)极值切应力：极值切应力方位与主应力方位的关系：极值切应力作用面与主平面互成45°。1＋90°-45°≤

1≤45°可求出对应两个互相垂直的作用面上切应力有极值。198.2.3极值切应力(了解)(Theextreme20xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。解：建立坐标系如图，由符号规定：20xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上21xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上的应力，并求主应力并画出主单元体。解：求主应力求主平面建立坐标系如图，由符号规定：21xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上22mmt例8-2：讨论圆轴扭转时的表面上一点的应力状态。分析圆轴扭转破坏。45o－45oxs3s3s1s11）求圆轴横截面上的最大应力4)画出主单元体2）围绕圆轴外表面一点取单元体3）任意斜截面上的应力：＝－45°时，'max＝σ1＝τ＝45°时，'min＝σ3＝－τ解：MTMT22mmt例8-2：讨论圆轴扭转时的表面上一点的应力状态。分23(1)圆轴扭转时，除轴线上的点，其他各点为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成45o斜截面上，它们数值均等于横截面上的切应力；(2)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；(3)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面拉断。tmms3s3s1s1=τ=-τ圆轴扭转(Torsion)23(1)圆轴扭转时，除轴线上的点，其他各点为纯剪切应力状态241．理论依据8.2.3图解方法分析平面应力状态

(Analyzeplanestress-stateusinggraphicalmethod)以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sa、ta在为圆心，以为半径的圆上。该圆称为应力圆或莫尔圆

(Mohr’scircle)。241．理论依据8.2.3图解方法分析平面应力状态以s、25（1）建立

-坐标系，选定比例尺；（2）由x面的应力，确定D1(

x,x)，由y面的应力，确定D2'(y,y)。（3）连D1D2，交s轴于C点，以C为圆心，CD1为直径作圆。斜截面上的应力极值切应力两个主应力可以证明：E点坐标A1、A2的坐标B1、B2的坐标OstsxtxtysyxyCA2s'

minA1maxD2(sy,ty)BAD1(sx,

tx)nasata2a02aE(sa,ta)B1tmaxB2tmin25（1）建立-坐标系，选定比例尺；（2）由x面的26OstC2a(sa,ta)E

D2(sy,ty)D1(sx,

tx)xsxtxtysyynasata应力圆的应用(ApplicationofMohr’scircle)1)点面对应：2)夹角二倍：单元体某个面上的应力，对应应力圆上一点的坐标；单元体上两面法线夹角为，应力圆上两点所对圆心角为2；3)转向一致：单元体上两面的法线转向与应力圆上对应半径的转向相同；例如：求斜截面上的应力。(sa,ta)E8.2.3图解方法分析平面应力状态

(Analyzeplanestress-stateusinggraphicalmethod)26OstC2a(sa,ta)ED2D1(sx,272a02a1OtCD2(sy,ty)D1(sx,

tx)sxtxtysyxysB1t'maxB2t'min

利用应力圆确定主应力、主平面应力圆上纵坐标最大的B1点为'max

，纵坐标最小的B2点为'min

。应力圆上切应力为0的点对应主应力。确定极值切应力及其作用面0主平面：应力圆上D1转到A1点的角度为20。单元体上，x轴转到截面法线的角度为0。极值切应力作用面1A2A1s'min

s'max8.2.3图解方法分析平面应力状态

(Analyzeplanestress-stateusinggraphicalmethod)272a02a1OtCD2D1(sx,tx)sxt28-40t-20-4020406080-60-80s20406080-20-60-8030°解（1）建立坐标系由符号规定：D2(sy,

ty)D1(sx,tx)60°nyx30°例8-3

求图示斜截面上的应力、主应力、画出主单元体。405060(MPa)（2）建坐标系（选定比例尺）（3）描点画圆。（4）求斜截面应力。根据比例尺量得：28-40t-20-4020406080-60-80s20429-40t-20-4020406080-60-80s20406080-20-60-80解：（1）建立坐标系由符号规定：D2(sy,

ty)D1(sx,tx)45°yx例8-3

求图示斜截面上的应力、主应力、画出主单元体。405060(MPa)（2）建坐标系（选定比例尺）（3）描点画圆。（4）求主应力。根据比例尺量得：29-40t-20-4020406080-60-80s20430s3s1s2ss1s28.3.1空间应力状态下的应力圆

(Mohr’scircleinThree-dimensionalstress-state)8.3空间应力状态分析简介(Three-dimensionalstress-state)OtsC2s3C1C3s1s21)平行s3的所有斜截面上应力2)平行s1的所有斜截面上应力3)平行s2的所有斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；由s2、s3作出应力圆上的点确定；由s1、s3作出应力圆上的点确定；s3讨论三组特殊斜截面上应力s1s2s3s2s1s330s3s1s2ss1s28.3.1空间应力状态下31s1所以，求出主应力后，先排队，再求最大切应力。理论结果tsOs3C1s2C3C2过一点任意截面上的应力落在阴影区域内。s1s2s3

过一点所有截面上正应力的最大值为1，正应力的最小值为3，切应力的最大值为

。8.3.1空间应力状态下的应力圆

(Mohr’scircleinThree-dimensionalstress-state)31s1所以，求出主应力后，先排队，再求最大切应力。理论结果32例8-4

求图示单元体的主应力和最大切应力。已知一个主平面上的主应力，大小为－50MPa。1203040504012030(MPa)另外两个主平面与前后面垂直；其上应力与已知主应力无关。解：为求另外的两个主应力，将单元体投影到已知主平面上。32例8-4求图示单元体的主应力和最大切应力。已知一个主平33τs8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)回忆：单向应力状态的胡克定律s沿σ方向的应变垂直σ方向的应变'：横向线应变；

：泊松比纯剪切状态的胡克定律：g33τs8.3.2广义胡克定律(Generalized34xyzszzxzysxxyxzsyyxyz一般情况，描述一点的应力状态需要6个独立的应力分量。材料力学讨论:各向同性材料的线弹性小变形。（3）可以应用叠加原理计算应变。（1）正应力只引起线应变；（2）切应力只引起切应变；8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)34xyzszzxzysxxyxzsyyxyz一35z单独作用时y单独作用时x单独作用时沿z方向的应变沿y方向的应变沿x方向的应变sxsxIsysyIIszIIIsxIsxsyIIsyIIIsz

sxsysz叠加：计算沿x,y,z方向线应变35z单独作用时y单独作用时x单独作用时沿z方向的应36沿x,y,z方向线应变在xy,yz,zx三个平面的切应变广义胡克定律（1）某一方向的有应变不一定有应力；有应力不一定有应变。（2）某一方向的应变与该方向的应力和垂直该方向的应力都有关系。（3）适用于各种应力状态。8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)36沿x,y,z方向线应变在xy,yz,zx三个平面37对于主单元体：e

1、e

2、e

3沿三个主应力方向，称为主应变，且e1>e2>e3。理论证明：过一点所有方向上线应变的最大值为e

1。σ1σ2σ3σ3σ1σ28.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)37对于主单元体：e1、e2、e3沿三个主应力方向38xσyσxyxy+90◦对于平面应力状态8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)38xσyσxyxy+90◦对于平面应力状态8.3.239xy例8-5钢制圆轴如图，直径d=60mm，材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.28，用电测法测得A点与水平线成45°方向的线应变ε45°=43110-6，求轴所受的外力偶矩m。（1）过A点横截面上的应力（2）围绕A点截取单元体（3）建立坐标系xy，（5）代入广义胡克定律则：ε

45°=43110-6解：A45°mm（4）求与有关的应力ε

45°39xy例8-5钢制圆轴如图，直径d=60mm，材料的弹性模40σmax≤[σ]max≤[

]前面讨论基本变形时，根据实验，建立两类强度条件：用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转、弯曲。只用于简单的应力状态。

对于危险点处于复杂应力状态，这时不能采用实验的方法，测极限应力，建立强度条件。s1、s2、s3不同比值都会引起材料的破坏。s1、s2、s3比值无限，而实验的人力、物力、财力、时间都有限。有些s1、s2、s3比值实验可以模拟得到，绝大部分比值得不到。实验表明：8.4强度理论的基本概念(Basicconceptoffailurecriteria)40σmax≤[σ]max≤[]前面讨论基本变形41脆性断裂(Fracturefailure)塑性屈服(Yieldingfailure)材料没有明显的塑性变形就突然破坏。材料因为有明显的塑性变形而失去正常工作能力。如：铸铁受拉、受扭的破坏。如：低碳钢受拉、受扭的破坏。一般情况脆性材料的破坏形式为脆性断裂；一般情况塑性材料的破坏形式为塑性屈服。

通过对大量强度失效现象的观察和分析，发现材料因强度不足而失效具有一定的规律性，大致分为两类。8.4强度理论的基本概念(Basicconceptoffailurecriteria)41脆性断裂塑性屈服材料没有明显的塑性变形就突然破坏。材料因42

认为材料的破坏是由某一因素（应力、应变、应变能）所引起的。无论材料处于何种应力状态，破坏现象相同，破坏的原因就相同。即导致材料破坏这一因素达到了极限值。实践证明：这些假说在一定范围内是成立的。

因此，可以通过简单应力状态的试验来确定这个因素的极限值，从而建立复杂应力状态的强度条件。

人们通过对材料破坏现象的观察、分析和总结，对强度失效的原因，提出了各种不同的假说，称为强度理论(failurecriteria)。8.4强度理论的基本概念(Basicconceptoffailurecriteria)42认为材料的破坏是由某一因素（应力、应变、433、强度条件：2、断裂条件：4、应用情况：

对于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢的脆性断裂均可适用;没有考虑其余主应力影响，且不能用于没有拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。最大拉应力s1过大。8.5.1最大拉应力理论

(Maximum-normal-stresscriterion)

无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的原因是：材料内部一点的最大拉应力s1达到材料单向拉伸断裂时的极限应力slim。1、断裂原因：（第一强度理论）与应力状态无关8.5强度理论(Failurecriteria)433、强度条件：2、断裂条件：4、应用情况：443、强度条件：2、失效条件：4、应用情况：

对于脆性材料在压应力状态及二向拉压应力状态，压应力较大时，与实际大致符合。在一般情况下，不如第一理论符合实际。最大伸长应变e1过大。8.5.2最大伸长线应变理论

(Maximum-normal-straincriterion)

无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的原因是：材料内部一点的最大伸长应变e1达到了材料单向拉伸断裂时的极限应变elim。1、断裂原因：（第二强度理论）与应力状态无关8.5强度理论(Failurecriteria)443、强度条件：2、失效条件：4、应用情况：45单向拉伸屈服时：

s1＝ss

、s2＝0、s3＝03、强度条件：2、失效条件：4．应用情况：

对于常用的塑性材料如Q235、45钢、铜、铝等材料的塑性屈服是符合的。且形式简单，符合实际，偏于安全，广泛应用。但没有考虑2。最大切应力tmax过大8.5.3最大切应力理论

(Maximum-shear-stresscriterion）

无论材料处于什么应力状态，发生塑性屈服的原因是：材料内部一点的最大切应力tmax达到材料单向拉伸屈服时的极限切应力tlim。1、屈服原因：（第三强度理论）与应力状态无关slim：为单向拉伸屈服时的应力。（屈服极限ss

）8.5强度理论(Failurecriteria)45单向拉伸屈服时：3、强度条件：2、失效条件：4．应用情468.5.4形状改变比能理论

(Maximum-distortion-energycriterion)（第四强度理论）

由于物体的变形包括体积改变和形状改变，所以弹性变形能包括体积改变能量和形状改变能量，对应的比能也分为体积改变比能和形状改变比能。

当物体受力产生弹性变形时，其内部将积蓄弹性变形能,单位体积的变形能称为比能。在三向应力状态下，形状改变比能的表达式：8.5强度理论(Failurecriteria)468.5.4形状改变比能理论（第四强度理论）由于47单向拉伸：3、强度条件：2、失效条件：形状改变比能过大。

无论什么应力状态，材料发生塑性屈服的原因是：材料内部一点形状改变比能达到材料单向拉伸屈服时的形状改变比能。1、屈服原因：4．应用情况：比最大切应力理论更符合试验结果。与应力状态无关可以说明在三向等压应力状态材料不会屈服。8.5强度理论(Failurecriteria)8.5.4形状改变比能理论

(Maximum-distortion-energycriterion)（第四强度理论）47单向拉伸：3、强度条件：2、失效条件：形状改变比能过大。48对于不同的强度理论，相当应力为：四个强度理论的强度条件统一表示为：为复杂应力状态下三个主应力的某种组合，称为相当应力。对于复杂应力状态，一点相当应力大小决定着该点的危险程度。[危险点三个主应力的某种组合]≤[单向应力状态的许用应力]8.5强度理论(Failurecriteria)(Equivalentstress)48对于不同的强度理论，相当应力为：四个强度理论的强度条件统49强度理论的选择和应用脆性材料压应力状态：用第三、第四理论一般应力状态：用第一、第二理论塑性材料三向拉应力状态（拉应力接近）：用第一理论一般应力状态：用第三、第四理论选用强度理论要综合：材料性质及应力状态。一般的选取原则：8.5强度理论(Failurecriteria)49强度理论的选择和应用脆性材料压应力状态：用第三、第四理论50例8-6已知铸铁构件上危险点的原始单元体如图所示，若铸铁的许用拉应力为主应力为：所以：（2）选用强度理论：铸铁属于脆性材料，危险点处于一般应力状态，所以,采用第一强度理论：构件的强度满足要求。，试校核构件的强度是否安全？解：（1）求主应力：建立坐标系，有：50例8-6已知铸铁构件上危险点的原始单元体如图所示，若铸铁51例8.7已知：和，试写出最大剪应力理论和形状改变比能理论的表达式解：1.确定主应力2.对于最大剪应力理论：3.对于形状改变比能理论：51例8.7已知：和，试写出最大剪应力理论和形状改解52压力容器例8.8对薄壁圆筒压力气罐推导设计壁厚的公式。1）材料为铸铁，已知2)材料为压力容器用钢，已知解：对1）：需选用第一强度理论对2）：若选用第三强度理论若选用第四强度理论52压力容器例8.8对薄壁圆筒压力气罐推导设计壁厚的公式。53例8.9已知材料许用拉应力[]，按强度理论建立纯剪切强度条件。1=3=-2.按纯剪切时剪应力：若选用第三强度理论：若选用第四强度理论：解：1.纯剪切按时主应力：对比：对比：53例8.9已知材料许用拉应力[]，按强度理论建立纯54ENDofChapterEight本章作业第1次作业Page187：8-1Page188：8-3第2次作业Page188：8-4本章作业第3次作业Page189：8-8Page189：8-954ENDofChapterEight本章作业本章作业55第8章

应力状态与强度理论(AnalysisofStress&StrainandFailureCriteria)工程力学1第8章应力状态与强度理论工程力学56第8章应力状态与强度理论

(AnalysisofStress&StrainandFailureCriteria)8.1

引言

(Introduction)

8.2

平面应力状态

(Planarstress-state)8.3

空间应力状态分析简介

(Three-dimensionalstress-state)8.4

强度理论的基本概念

(Basicconceptoffailurecriteria)8.5

强度理论

(Failurecriteria)2第8章应力状态与强度理论

(AnalysisofSt578.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)基本变形强度条件的建立试验测得极限应力许用应力实际情况max≤[]max≤[

]两类强度条件：用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转。但在实际应用时，这些强度条件的局限性很大。8.1引言(Introduction)

38.1.1应力状态的概念(Conceptsof58

面积为10mm2的Q235钢柱受压，压力达到2400N时，就出现明显的塑性变形。（1）不能讨论组合变形（最常见的变形）的强度问题。脆性材料的扭转问题：横截面上有max，但在斜截面破坏。（2）对某些基本变形的破坏现象不能解释。但放到凹槽受同样压力变形很小。8.1引言(Introduction)

8.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)4面积为10mm2的Q235钢柱受压，压力达59（1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。（2）受力构件的破坏都与极值应力有关，而极值应力不一定作用在横截面上。

材料的破坏面与该面上的应力密切相关，由内力的概念和拉压杆斜截面上的应力，可知：塑性材料的杆拉伸屈服横截面上有max，但屈服时在45°方向出现滑移线。脆性材料的杆受压在45°斜截面上破坏。8.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)8.1引言(Introduction)

5（1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。（2）受力60

实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变形的强度问题，必须研究过一点不同截面上的应力情况。通过一点所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。

一般构件内各点的应力情况并不相同，讨论构件的强度时，选取横截面上各种应力都大的点——危险点，分析该点的应力状态。8.1.1应力状态的概念

(Conceptsofstress-state)8.1引言(Introduction)

(Dangerouspoint)

6实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变618.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)

若以整个构件为研究对象，讨论任意斜截面上的应力过程相当繁琐，且没有必要。讨论应力状态时，在构件的危险点，截取一个边长无限小的直角六面体。截取单元体（Elementbody）（直角六面体）由于在不同的基本变形情况下，横截面上的应力可以求出。

用相距很近的横截面和与之正交的纵向截面截取单元体。8.1引言(Introduction)

78.1.2应力状态的研究方法(methodtostu62σPPFNFN从拉压杆内截取单元体σ明确横截面单元体的受力用应力表示8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

8σPPFNFN从拉压杆内截取单元体σ明确横截面单元体的受力63M=PxAByPxmzBAABBAτσττ在x横截面的A、B点截取单元体ττxyz明确横截面明确自由表面MT=mM=Pxσ8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

9M=PxAByPxmzBAABBAτσττ在x横截面的A、64单元体的特点(Elementcharacteristic)（1）边长无限小，各个侧面上应力可认为均布。（2）相互平行的面上应力等值反向，等于过一点相应的截面上的应力。（3）单元体上的斜截面表示过该点的斜截面。构件平衡，单元体也平衡。若已知单元体上各个侧面的应力，可以利用平衡原理求任意斜截面上的应力。（4）单元体的三个相互垂直的截面上的应力可以表示一点的应力状态。研究应力状态，就是研究一点处单元体上各截面的应力情况。8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

10单元体的特点(Elementcharacteri65

一般情况下，围绕构件内一点，可以从不同方位截取无数个单元体，其侧面的应力各不相同。主平面(Principalplane)：切应力为零的面。主应力(Principalstress)：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且按代数值排列s1>s2>s3。应力分析的主要目的：寻找主单元体和主应力。

理论证明：构件内任一点总存在一个特殊的单元体，相互垂直的各侧面上切应力为零，该单元体为主单元体(Principalbody)。8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

11一般情况下，围绕构件内一点，可以从不同方66一点处的应力状态可用三个主应力来分类：3)单向应力状态：

(Uniaxialstress-state)只有一个主应力不为零的应力状态。(平面应力状态)有二个主应力不为零的应力状态。三向应力状态：

(Three-dimensionalstress-state)三个主应力均不为零的应力状态。2）二向应力状态：

(Planarstress-state)(空间应力状态)特例特例复杂应力状态8.1.2应力状态的研究方法(methodtostudythestateofstress)8.1引言(Introduction)

12一点处的应力状态可用三个主应力来分类：3)单向应力状态678.2平面应力状态(Planarstress-state)任务：已知过一点互相垂直截面上的应力，要求讨论任意斜截面上的应力，进一步确定过该点的极值应力及其作用面。从受力构件内部一点截取原始单元体（各侧面上的应力已知）。规定如下：正应力

：拉应力为正。切应力

：绕所截取部分顺时针旋转的为正。注意：单元体上所绘σ、τ数值代表大小（绝对值），应力的箭头方向代表正负。二向应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为零（即有一个主应力为零），而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。xyzσyσxτyτxσxτxτyσy建立坐标系8.2.1任意斜截面的应力(Stressesonanarbitraryobliquesection)138.2平面应力状态(Planarstress-sta68平行于z轴的斜截面(垂直已知主平面)σyyxτyτxσyσxτxσxτyACBxyzσxτyτyτxσxτxσyσyσxτxσαταACαBACαB＋－－＋a

：以x轴正向逆时针转至截面法线为正。αnαntαατyσy8.2.1任意斜截面的应力

(Stressesonanarbitraryobliquesection)14平行于z轴的斜截面(垂直已知主平面)σyyxτyτxσ69同理即相互平行的面（夹角为0或180°）表示同一截面。由于易得应用斜截面应力公式时，注意按规定写出各项的符号。斜截面应力公式互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。8.2.1任意斜截面的应力(Stressesonanarbitraryobliquesection)15同理即相互平行的面（夹角为0或180°）表示同一截面。708.2.2主应力(Principalstress)极值正应力的作用面即为主平面，极值正应力即为主应力。－45°45°<0<主值0＋90°在定义域中满足上式的角度还有：τ主平面方位：0＋180°0－90°-45°≤0≤45°由于：互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。正应力的极值一个为极大，一个为极小。综上可得：两个互相垂直的平面上正应力有极值，即主应力。168.2.2主应力(Principalstress71

求出主应力后，必须与已知主应力（

=0）按代数值排序，得出1

、

2、

3。求主应力大小：方法一先求出0，将0

、0＋90°代入σ公式，求出两个主应力。可明显看出两个主平面对应的主应力的大小。方法二

由tan20，导出sin20、

cos20，代入σ公式，得：主应力公式8.2.2主应力(Principalstress)17求出主应力后，必须与已知主应力（=0）按72xσyσxyxσyσxy'max对应关系：'maxxx（方法1）（方法2）求出两个角度后，根据切应力的方向确定较大主应力的指向。'min'min8.2.2主应力(Principalstress)18xσyσxyxσyσxy'max对应关系：'max738.2.3极值切应力(了解)(Theextremevaluesofshearingstress)极值切应力：极值切应力方位与主应力方位的关系：极值切应力作用面与主平面互成45°。1＋90°-45°≤

1≤45°可求出对应两个互相垂直的作用面上切应力有极值。198.2.3极值切应力(了解)(Theextreme74xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。解：建立坐标系如图，由符号规定：20xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上75xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上的应力，并求主应力并画出主单元体。解：求主应力求主平面建立坐标系如图，由符号规定：21xy605040(MPa)例8-1：求图示单元体斜截面上76mmt例8-2：讨论圆轴扭转时的表面上一点的应力状态。分析圆轴扭转破坏。45o－45oxs3s3s1s11）求圆轴横截面上的最大应力4)画出主单元体2）围绕圆轴外表面一点取单元体3）任意斜截面上的应力：＝－45°时，'max＝σ1＝τ＝45°时，'min＝σ3＝－τ解：MTMT22mmt例8-2：讨论圆轴扭转时的表面上一点的应力状态。分77(1)圆轴扭转时，除轴线上的点，其他各点为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成45o斜截面上，它们数值均等于横截面上的切应力；(2)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；(3)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面拉断。tmms3s3s1s1=τ=-τ圆轴扭转(Torsion)23(1)圆轴扭转时，除轴线上的点，其他各点为纯剪切应力状态781．理论依据8.2.3图解方法分析平面应力状态

(Analyzeplanestress-stateusinggraphicalmethod)以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sa、ta在为圆心，以为半径的圆上。该圆称为应力圆或莫尔圆

(Mohr’scircle)。241．理论依据8.2.3图解方法分析平面应力状态以s、79（1）建立

-坐标系，选定比例尺；（2）由x面的应力，确定D1(

x,x)，由y面的应力，确定D2'(y,y)。（3）连D1D2，交s轴于C点，以C为圆心，CD1为直径作圆。斜截面上的应力极值切应力两个主应力可以证明：E点坐标A1、A2的坐标B1、B2的坐标OstsxtxtysyxyCA2s'

minA1maxD2(sy,ty)BAD1(sx,

tx)nasata2a02aE(sa,ta)B1tmaxB2tmin25（1）建立-坐标系，选定比例尺；（2）由x面的80OstC2a(sa,ta)E

D2(sy,ty)D1(sx,

tx)xsxtxtysyynasata应力圆的应用(ApplicationofMohr’scircle)1)点面对应：2)夹角二倍：单元体某个面上的应力，对应应力圆上一点的坐标；单元体上两面法线夹角为，应力圆上两点所对圆心角为2；3)转向一致：单元体上两面的法线转向与应力圆上对应半径的转向相同；例如：求斜截面上的应力。(sa,ta)E8.2.3图解方法分析平面应力状态

(Analyzeplanestress-stateusinggraphicalmethod)26OstC2a(sa,ta)ED2D1(sx,812a02a1OtCD2(sy,ty)D1(sx,

tx)sxtxtysyxysB1t'maxB2t'min

利用应力圆确定主应力、主平面应力圆上纵坐标最大的B1点为'max

，纵坐标最小的B2点为'min

。应力圆上切应力为0的点对应主应力。确定极值切应力及其作用面0主平面：应力圆上D1转到A1点的角度为20。单元体上，x轴转到截面法线的角度为0。极值切应力作用面1A2A1s'min

s'max8.2.3图解方法分析平面应力状态

(Analyzeplanestress-stateusinggraphicalmethod)272a02a1OtCD2D1(sx,tx)sxt82-40t-20-4020406080-60-80s20406080-20-60-8030°解（1）建立坐标系由符号规定：D2(sy,

ty)D1(sx,tx)60°nyx30°例8-3

求图示斜截面上的应力、主应力、画出主单元体。405060(MPa)（2）建坐标系（选定比例尺）（3）描点画圆。（4）求斜截面应力。根据比例尺量得：28-40t-20-4020406080-60-80s20483-40t-20-4020406080-60-80s20406080-20-60-80解：（1）建立坐标系由符号规定：D2(sy,

ty)D1(sx,tx)45°yx例8-3

求图示斜截面上的应力、主应力、画出主单元体。405060(MPa)（2）建坐标系（选定比例尺）（3）描点画圆。（4）求主应力。根据比例尺量得：29-40t-20-4020406080-60-80s20484s3s1s2ss1s28.3.1空间应力状态下的应力圆

(Mohr’scircleinThree-dimensionalstress-state)8.3空间应力状态分析简介(Three-dimensionalstress-state)OtsC2s3C1C3s1s21)平行s3的所有斜截面上应力2)平行s1的所有斜截面上应力3)平行s2的所有斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；由s2、s3作出应力圆上的点确定；由s1、s3作出应力圆上的点确定；s3讨论三组特殊斜截面上应力s1s2s3s2s1s330s3s1s2ss1s28.3.1空间应力状态下85s1所以，求出主应力后，先排队，再求最大切应力。理论结果tsOs3C1s2C3C2过一点任意截面上的应力落在阴影区域内。s1s2s3

过一点所有截面上正应力的最大值为1，正应力的最小值为3，切应力的最大值为

。8.3.1空间应力状态下的应力圆

(Mohr’scircleinThree-dimensionalstress-state)31s1所以，求出主应力后，先排队，再求最大切应力。理论结果86例8-4

求图示单元体的主应力和最大切应力。已知一个主平面上的主应力，大小为－50MPa。1203040504012030(MPa)另外两个主平面与前后面垂直；其上应力与已知主应力无关。解：为求另外的两个主应力，将单元体投影到已知主平面上。32例8-4求图示单元体的主应力和最大切应力。已知一个主平87τs8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)回忆：单向应力状态的胡克定律s沿σ方向的应变垂直σ方向的应变'：横向线应变；

：泊松比纯剪切状态的胡克定律：g33τs8.3.2广义胡克定律(Generalized88xyzszzxzysxxyxzsyyxyz一般情况，描述一点的应力状态需要6个独立的应力分量。材料力学讨论:各向同性材料的线弹性小变形。（3）可以应用叠加原理计算应变。（1）正应力只引起线应变；（2）切应力只引起切应变；8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)34xyzszzxzysxxyxzsyyxyz一89z单独作用时y单独作用时x单独作用时沿z方向的应变沿y方向的应变沿x方向的应变sxsxIsysyIIszIIIsxIsxsyIIsyIIIsz

sxsysz叠加：计算沿x,y,z方向线应变35z单独作用时y单独作用时x单独作用时沿z方向的应90沿x,y,z方向线应变在xy,yz,zx三个平面的切应变广义胡克定律（1）某一方向的有应变不一定有应力；有应力不一定有应变。（2）某一方向的应变与该方向的应力和垂直该方向的应力都有关系。（3）适用于各种应力状态。8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)36沿x,y,z方向线应变在xy,yz,zx三个平面91对于主单元体：e

1、e

2、e

3沿三个主应力方向，称为主应变，且e1>e2>e3。理论证明：过一点所有方向上线应变的最大值为e

1。σ1σ2σ3σ3σ1σ28.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)37对于主单元体：e1、e2、e3沿三个主应力方向92xσyσxyxy+90◦对于平面应力状态8.3.2广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)38xσyσxyxy+90◦对于平面应力状态8.3.293xy例8-5钢制圆轴如图，直径d=60mm，材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.28，用电测法测得A点与水平线成45°方向的线应变ε45°=43110-6，求轴所受的外力偶矩m。（1）过A点横截面上的应力（2）围绕A点截取单元体（3）建立坐标系xy，（5）代入广义胡克定律则：ε

45°=43110-6解：A45°mm（4）求与有关的应力ε

45°39xy例8-5钢制圆轴如图，直径d=60mm，材料的弹性模94σmax≤[σ]max≤[

]前面讨论基本变形时，根据实验，建立两类强度条件：用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转、弯曲。只用于简单的应力状态。

对于危险点处于复杂应力状态，这时不能采用实验的方法，测极限应力，建立强度条件。s1、s2、s3不同比值都会引起材料的破坏。s1、s2、s3比值无限，而实验的人力、物力、财力、时间都有限。有些s1、s2、s3比值实验可以模拟得到，绝大部分比值得不到。实验表明：8.4强度理论的基本概念(Basicconceptoffailurecriteria)40σmax≤[σ]max≤[]前面讨论基本变形95脆性断裂(Fracturefailure)塑性屈服(Yieldingfailure)材料没有明显的塑性变形就突然破坏。材料因为有明显的塑性变形而失去正常工作能力。如：铸铁受拉、受扭的破坏。如：低碳钢受拉、受扭的破坏。一般情况脆性材料的破坏形式为脆性断裂；一般情况塑性材料的破坏形式为塑性屈服。

通过对大量强度失效现象的观察和分析，发现材料因强度不足而失效具有一定的规律性，大致分为两类。8.4强度理论的基本概念(Basicconceptoffailurecriteria)41脆性断裂塑性屈服材料没有明显的塑性变形就突然破坏。材料因96

认为材料的破坏是由某一因素（应力、应变、应变能）所引起的。无论材料处于何种应力状态，破坏现象相同，破坏的原因就相同。即导致材料破坏这一因素达到了极限值。实践证明：这些假说在一定范围内是成立的。

因此，可以通过简单应力状态的试验来确定这个因素的极限值，从而建立复杂应力状态的强度条件。

人们通过对材料破坏现象的观察、分析和总结，对强度失效的原因，提出了各种不同的假说，称为强度理论(failurecriteria)。8.4强度理论的基本概念(Basicconceptoffailurecriteria)42认为材料的破坏是由某一因素（应力、应变、973、强度条件：2、断裂条件：4、应用情况：

对于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢的脆性断裂均可适用;没有考虑其余主应力影响，且不能用于没有拉应力的应力状态，如单向、三向压缩