2018-2019数学新学案同步精致讲义选修1-1北师大版：第二章 圆锥曲线与方程3.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3双曲线3．1双曲线及其标准方程学习目标1。了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链,拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?答案如图，曲线上的点满足条件:｜MF1|－|MF2|＝常数（小于|F1F2｜)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2｜－｜MF1｜＝常数（小于｜F1F2｜)，可得到另一条曲线．梳理（1）平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．（2）关于“小于|F1F2|"：①若将“小于|F1F2｜”改为“等于｜F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于｜F1F2|",其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值"去掉,其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．(4)若常数为零，其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何?与椭圆中a,b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件,这里b2＝c2－a2,即c2＝a2＋b2,其中c〉a,c>b，a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b〉0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1(a〉0，b>0)eq\f(y2，a2)－eq\f（x2，b2)＝1(a〉0,b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2（c，0）F1(0，－c),F2(0，c）a,b，c的关系式a2＋b2＝c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正,则焦点在y轴上．(3）双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1（AB〈0)．（4）标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线．(×）2．平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．(×）3．焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq\f（y2,b2）－eq\f（x2，a2）＝1（a>0，b〉0）．（×)4．在双曲线方程eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a〉0，b>0）中，a2＝b2＋c2。(×）类型一求双曲线的标准方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1）a＝4,经过点Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－\f（4\r（10)，3)))；(2）经过点（3,0），(－6，－3）．考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq\f（x2,16)－eq\f（y2,b2)＝1(b〉0），把A点的坐标代入，得b2＝－eq\f(16，15)×eq\f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq\f（y2，16）－eq\f（x2，b2)＝1（b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为eq\f（y2，16）－eq\f(x2，9）＝1。（2）设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn<0），∵双曲线经过点(3，0）,(－6，－3），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（9m＋0＝1，,36m＋9n＝1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝\f(1，9)，，n＝－\f(1，3)，)）∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2，3）＝1.反思与感悟求双曲线方程的方法(1）求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”,利用待定系数法求解．（2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论．（3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1（mn<0)的形式求解．跟踪训练1根据下列条件,求双曲线的标准方程．（1)c＝eq\r(6)，经过点(－5,2),焦点在x轴上;(2)与椭圆eq\f(x2，27）＋eq\f(y2，36)＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4。考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)∵焦点在x轴上,c＝eq\r(6），∴设所求双曲线方程为eq\f（x2，λ）－eq\f（y2,6－λ)＝1（其中0<λ〈6）．∵双曲线经过点(－5,2),∴eq\f(25,λ)－eq\f（4，6－λ）＝1,∴λ＝5或λ＝30（舍去)．∴所求双曲线的标准方程是eq\f(x2,5）－y2＝1。（2）椭圆eq\f（x2，27)＋eq\f(y2，36）＝1的两个焦点为F1（0，－3）,F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点坐标为（eq\r（15），4）或（－eq\r(15),4）．设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f（x2,b2)＝1(a〉0，b〉0),则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（42，a2）－\f(\r(15)2，b2)＝1，,a2＋b2＝32，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝4,,b2＝5.））故所求双曲线的标准方程为eq\f（y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.类型二由双曲线的标准方程求参数例2方程eq\f（x2，2＋m）＋eq\f(y2，m＋1）＝1表示双曲线，则m的取值范围是（)A．(－2，－1) B．（－2，＋∞)C．（－∞，－1) D．(－∞，－2）∪(－1，＋∞）考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案A解析由题意可知,(2＋m)（m＋1）<0，∴－2<m<－1.反思与感悟将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m）＋eq\f(y2，n）＝1,则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，，n<0，)）则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m〈0，，n〉0，））则方程表示焦点在y轴上的双曲线．跟踪训练2若k〉1，则关于x，y的方程（1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是（)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案C解析原方程化为eq\f(y2,k2－1）－eq\f（x2，k＋1)＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．类型三双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中的焦点三角形例3（1)如图,已知双曲线的方程为eq\f（x2，a2）－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b〉0),点A，B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为________．考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案4a＋2m解析由双曲线的定义，知｜AF1|－｜AF2｜＝2a,|BF1|－|BF2|＝2a.又｜AF2|＋｜BF2|＝｜AB|，所以△ABF1的周长为｜AF1｜＋|BF1｜＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m。（2)设P为双曲线x2－eq\f（y2，12)＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1｜∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案12解析由已知得2a＝2，又由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2，因为|PF1|∶｜PF2|＝3∶2，所以|PF1｜＝6，｜PF2|＝4。又|F1F2｜＝2c＝2eq\r（13），由余弦定理,得cos∠F1PF2＝eq\f（62＋42－52,2×6×4）＝0，所以△F1PF2为直角三角形．＝eq\f（1，2)×｜PF1|·｜PF2｜＝eq\f(1，2)×6×4＝12。引申探究本例(2)中，若将“|PF1｜∶|PF2｜＝3∶2”改为“|PF1|·｜PF2|＝24”，求△PF1F2的面积．解由双曲线方程为x2－eq\f(y2，12）＝1，可知a＝1,b＝2eq\r（3)，c＝eq\r(1＋12）＝eq\r（13).因为|PF1|·|PF2|＝24,所以cos∠F1PF2＝eq\f（｜PF1|2＋|PF2|2－｜F1F2|2,2|PF1|·|PF2｜)＝eq\f（|PF1|－｜PF2｜2＋2|PF1｜·｜PF2|－4c2，2×24)＝eq\f（4＋2×24－4×13，48）＝0，所以△PF1F2为直角三角形．所以＝eq\f（1,2)｜PF1|·|PF2｜＝12.反思与感悟求双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1中焦点三角形面积的方法（1)方法一：①根据双曲线的定义求出｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a；②利用余弦定理表示出｜PF1｜，|PF2|，|F1F2｜之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1｜·|PF2|的值；④利用公式＝eq\f(1,2)｜PF1｜·｜PF2|sin∠F1PF2求得面积．（2）方法二：利用公式＝eq\f（1，2）｜F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2，b2)＝1中焦点三角形的面积．特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件｜｜PF1｜－｜PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1｜2＋｜PF2|2，|PF1｜·｜PF2｜之间的关系．跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C:x2－y2＝1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·|PF2|等于（）A．1B．4C．6D．8考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案B解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理得|F1F2｜2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2,即m2＋n2－mn＝8，∴(m－n）2＋mn＝8，∴mn＝4,即｜PF1|·｜PF2|＝4。命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例4已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2:（x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案x2－eq\f(y2，8)＝1(x≤－1)解析如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件｜MC1｜－|AC1｜＝|MA｜，｜MC2｜－|BC2|＝｜MB｜,因为|MA｜＝｜MB|,所以|MC1|－|AC1|＝｜MC2｜－｜BC2|，即｜MC2|－｜MC1｜＝2，这表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2｜.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大,与C1的距离小），这里a＝1，c＝3，则b2＝8,设点M的坐标为(x，y),其轨迹方程为x2－eq\f(y2,8）＝1（x≤－1)．反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点（1）注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值．（2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．（3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练4已知动圆M与圆C1：(x＋4）2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（)A。eq\f(x2，2)－eq\f（y2，14）＝1(x≥eq\r(2）) B.eq\f（x2,2)－eq\f（y2，14)＝1C.eq\f(x2，14)－eq\f（y2，2)＝1 D。eq\f（x2，2）＋eq\f(y2,14)＝1考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案A解析设动圆M的半径为r，则由已知得｜MC1|＝r＋eq\r（2）,｜MC2｜＝r－eq\r（2),所以|MC1|－｜MC2|＝2eq\r(2).又C1(－4,0),C2（4，0）,所以|C1C2|＝8，所以2eq\r(2）<｜C1C2|,根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支,因为a＝eq\r（2),c＝4，所以b2＝c2－a2＝14,所以点M的轨迹方程是eq\f(x2，2)－eq\f（y2,14)＝1（x≥eq\r（2））．1．已知F1(3，3），F2(－3,3），动点P满足|PF1｜－|PF2｜＝4，则P点的轨迹是（)A．双曲线 B．双曲线的一支C．不存在 D．一条射线考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案B解析因为|PF1｜－|PF2｜＝4，且4〈｜F1F2|，由双曲线定义知,P点的轨迹是双曲线的一支．2．若k∈R,方程eq\f(x2,k＋3)＋eq\f（y2，k＋2）＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A．－3〈k<－2 B．k〈－3C．k〈－3或k〉－2 D．k>－2考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案A解析由题意知，k＋3〉0且k＋2<0，∴－3<k<－2.3．设F1,F2分别是双曲线x2－eq\f（y2，24）＝1的左、右焦点,P是双曲线上的一点，且3|PF1｜＝4｜PF2｜，则△PF1F2的面积等于()A．4eq\r（2)B．8eq\r（3）C．24D．48考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案C解析由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(｜PF1|－｜PF2｜＝2,,3｜PF1|＝4｜PF2｜，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(｜PF1｜＝8，，|PF2｜＝6.））又由｜F1F2｜＝10，可得△PF1F2是直角三角形,且PF1⊥PF2，则＝eq\f(1，2）｜PF1|·｜PF2｜＝24。4．椭圆eq\f（x2，4)＋eq\f(y2,a2）＝1与双曲线eq\f（x2，a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是________．考点双曲线性质的应用题点双曲线与椭圆结合的有关问题答案1解析由a>0，0〈a2〈4，且4－a2＝a＋2，可解得a＝1.5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1｜－|PF2|＝________.答案－8解析将x2－y2＝16化为标准形式为eq\f(x2,16)－eq\f（y2，16)＝1，所以a2＝16,2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以｜PF1|－|PF2|＝－8。1．双曲线定义中||PF1|－｜PF2｜|＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号,当2a＝｜F1F2｜时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立,要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2。3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a,b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1（mn〈0）的形式求解．一、选择题1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1,则它的右焦点坐标为()A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2）,2),0）） B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(5),2）,0））C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6），2)，0）） D．（eq\r(3),0）考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案C解析将双曲线方程化成标准方程为eq\f（x2,1)－eq\f（y2，\f(1,2)）＝1，所以a2＝1,b2＝eq\f（1，2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f（\r（6）,2),故右焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（6)，2），0))。2．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2，9)＝1的两个焦点为F1，F2,若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为(）A．17 B．22C．2或22 D．7或17考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案C解析由双曲线的定义,得|｜PF1｜－|PF2｜｜＝10，又|PF1｜＝12，则P到F2的距离为2或22,经检验,均符合题意．故选C。3．过点(1，1)且eq\f（b，a)＝eq\r(2）的双曲线的标准方程是（）A.eq\f（x2,\f(1，2))－y2＝1 B.eq\f（y2,\f（1,2））－x2＝1C．x2－eq\f(y2，\f（1，2)）＝1 D.eq\f(x2，\f(1,2））－y2＝1或eq\f(y2，\f（1，2）)－x2＝1考点求双曲线的标准方程题点待定系数法求双曲线的标准方程答案D解析由于eq\f（b，a）＝eq\r(2)，∴b2＝2a2。当焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,2a2)＝1，代入(1,1)点，得a2＝eq\f(1,2).此时双曲线方程为eq\f(x2,\f（1，2））－y2＝1。同理求得焦点在y轴上时,双曲线方程为eq\f（y2，\f(1，2））－x2＝1。4．若方程eq\f(y2，4）－eq\f（x2，m＋1）＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A．－1〈m<3 B．m〉－1C．m>3 D．m〈－1答案B解析依题意应有m＋1>0，即m〉－1。5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3),则k的值是()A．1 B．－1C。eq\f(\r（65）,3) D．－eq\f(\r(65），3)考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案B解析原方程可化为eq\f（x2,\f（1,k))－eq\f(y2,\f(8,k)）＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k〈0。c2＝－eq\f（1，k)－eq\f(8，k）＝－eq\f（9，k）＝9，∴k＝－1，故选B。6．若双曲线C:2x2－y2＝m（m〉0）与抛物线y2＝16x的准线交于A,B两点，且｜AB|＝4eq\r（3），则m的值是（）A．116B．80C．52D．20考点双曲线与其他曲线的综合应用题点双曲线与其他曲线的综合应用答案D解析由抛物线y2＝16x可知其准线方程为x＝－4。因为双曲线是轴对称图形,所以点A，B到x轴的距离均为2eq\r(3)。不妨设点A(－4,2eq\r（3)）．又点A在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程2x2－y2＝m，得m＝20，故选D。7．已知双曲线eq\f（x2，m）－eq\f（y2，7)＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A,B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为()A．9B．10C．16D．20考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案A解析△ABF2的周长＝|AB|＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝20,∵|AB｜＝4,∴|AF2|＋｜BF2|＝16.根据双曲线定义知，2a＝|AF2｜－｜AF1|＝|BF2|－|BF1|，∴4a＝（｜AF2｜＋|BF2|)－(|AF1｜＋|BF1|)＝16－4＝12，∴a＝3，∴m＝a2＝9.8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1（－eq\r（5）,0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为（0，2),则此双曲线的方程是(）A.eq\f（x2，4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4）＝1C。eq\f(x2，2）－eq\f（y2,3)＝1 D。eq\f(x2,3)－eq\f(y2，2)＝1考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案B解析据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0），则a2＋b2＝5.①∵线段PF1的中点坐标为(0,2）,∴点P的坐标为（eq\r(5），4），将其代入双曲线的方程,得eq\f(5，a2）－eq\f(16,b2)＝1。②由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1。二、填空题9．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆（x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案eq\f(x2,4）－eq\f(y2，12)＝1解析设动圆M的半径为r,依题意有|MB｜＝r，另设A（4，0)，则有|MA｜＝r±4，即|MA｜－｜MB|＝±4。亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<8＝｜AB｜，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4，2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12,故点M的轨迹方程是eq\f(x2，4)－eq\f（y2，12)＝1.10．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4eq\r(2），－3），且Q(0,5）与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．考点求双曲线的标准方程题点待定系数法求双曲线的标准方程答案eq\f(x2，16)－eq\f(y2,9)＝1解析设焦点F1（－c,0),F2（c，0）（c〉0),则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1,∴eq\f(5,c）·eq\f（5,－c）＝－1,∴c＝5.设双曲线方程为eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0，b>0)，∵双曲线过(4eq\r(2)，－3)，∴eq\f（32,a2）－eq\f(9,b2）＝1，又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9。∴双曲线的标准方程为eq\f（x2,16）－eq\f（y2,9)＝1。11．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋｜PF2｜的值为________．答案2eq\r(3)解析设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，所以|PF1｜2＋｜PF2|2＝｜F1F2｜2，所以（x＋2）2＋x2＝4c2＝8,所以x＝eq\r(3)－1，x＋2＝eq\r（3）＋1,所以｜PF2|＋|PF1｜＝eq\r(3)－1＋eq\r（3)＋1＝2eq\r（3）.三、解答题12．已知点A（－7，0)，B（7,0)，C(2，－12），椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,求椭圆另一个焦点的轨迹方程．考点椭圆与双曲线的综合应用题点椭圆与双曲线的综合应用解设椭圆的另一个焦点为P（x，y)，则由题意知｜AC|＋｜AP｜＝｜BC|＋｜BP｜,∴｜BP|－｜AP|＝｜AC|－｜BC|＝2〈|AB｜＝14,∴点P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，∴b2＝c2－a2＝48。∴所求的轨迹方程为x2－eq\f（y2,48)＝1(x≤－1)．13．已知抛物线y2＝2px(p>0）的焦点为双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1（a>0，b〉0)的一个焦点，且两条曲线都经过点M（2，4)．(1)求这两条曲线的标准方程；（2）已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左、右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形解（1)∵抛物线y2＝2px(p>0）经过点M(2,4)，∴42＝2p×2，解得p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x，∴抛物线的焦点坐标为（2,0)，∴双曲线的焦点坐标为F1（－2,0)，F2（2，0），则a2＋b2＝c2＝4。∵双曲线经过点M(2,4），∴eq\f(4,a2)－eq\f（16，b2）＝1,解得a2＝12－8eq\r（2),b2＝8eq\r(2)－8。∴双曲线的标准方程为eq\