切线长定理及应用

切线长定理如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1.OB是⊙O的一条半径吗？2.PB是⊙O的切线吗？3.PA、PB有何关系？4.∠APO和∠BPO有何关系？数学探究PAOB问题：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。数学探究OBP··A·切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。已知：求证：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，连结PO切线长定理

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。OBP··A·一、判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。练习(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，连结PO，则度。PBOA二、填空25（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE的周长为（）AA16cmD8cmC12cmB14cmDCBEAP例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm，求△PED的周长。FOEDPBA数学探究OBP··A·思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？为什么？你还能得出什么结论？E已知：如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O于D、E，交AB于C。OPABCDE（1）图中互相垂直的关系有对，分别是（2）图中的直角三角形有个，分别是等腰三角形有个，分别是（3）图中全等三角形对，分别是（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙O的切线长为cm，两切线的夹角等于度362360OPABCDE（5）如果PA=4cm，PD=2cm，试求半径OA的长。x即：解得：x=3cm半径OA的长为3cm例1、如如图，PA、PB是⊙O的切线，，A、B为切点，，∠OAB＝30°°．（1）求求∠APB的度数；；（2）当当OA＝3时，，求AP的长．PBAO随堂训练练(2)观观察OP与BC的位置置关系，，并给予予证明。。(1)若若OA=3cm,∠∠APB=60°，则PA=______.PABCOM如图，AC为⊙⊙O的直直径，PA、PB分别别切⊙O于点A、B，，OP交交⊙O于于点M，，连结BC。试一试：：已知：：如图，，P为⊙O外一点，，PA，PB为⊙O的切线，，A和B是切点，，BC是直径。。∠C＝50，①求∠APB的度数②求证：：AC∥OP。ABOCPAOBC试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B。如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB。思考：当当切点F在弧AB上运动时时，问△△PED的周长、、∠DOE的度数是是否发生生变化，，请说明明理由。。FOEDPBA（2）如图，ΔΔABC的内内切圆分分别和BC，AC，AB切于于D，E，F；；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则则BC=cm,AC=AB=116cm9cmBDACFE274例3、已已知四四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙⊙O相切于P、Q、M、N，求证：AB+CD=AD+BC。DABCOMNPQ思考如图,一一张三角角形的铁铁皮,如如何在它它上面截截下一块圆形形的用料料,并且且使圆的的面积尽尽可能大大呢?ID三角形的的内切圆圆：与三角形形各边都都相切的的圆叫做做三角形形的内切圆三角形的的内心：：三角形的的内切圆圆的圆心心叫做三三角形的的内心三角形的的内心是三角形形三条角平分线线的交点，，它到三角形三边的距离相相等。数学探究DEFABDLMNPO结论：圆的的外切四边边形的两组组对边和相相等。已知：四边边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和和圆O分别别相切于L，M，N，P。探探索圆外切切四边形边边的关系。。C（1）找出出图中所有有相等的线线段（2）填空空：AB+CDAD+BC（（>,<,=)=DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM比较圆的内内接四边形形的性质：：圆的内接四四边形：角角的关系圆的外切四四边形：边边的关系练习四已知：△ABC是⊙⊙O外切三三角形，切切点为D，，E，F。。若BC＝＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。。ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得:Z=5X+y+z=18x+y=13已知:如图图,⊙O是Rt△△ABC的的内内切切圆圆,∠∠C是是直直角角,三三边边长长分分别别是是a,b,c.求⊙O的的半半径径r.ABC●┗┏┓ODEF┗（1））Rt△△的的三三边边长长与与其其内内切切圆圆半半径径间间的的关关系系13探究究三三求直直角角三三角角形形内内切切圆圆的的半半径径探究究三三求一一般般三三角角形形内内切切圆圆的的半半径径(2)已已知知:如如图图,△△ABC的的面面积积为为S,三三边边长长分分别别为为a,b,c.求内内切切圆圆⊙O的的半半径径r.●ABC●O●┗┓ODEF┗14小练练习习1.边长长为为3、、4、、5的的三三角角形形的的内内切切圆圆的的半半径径为为————2.边长长为为5、、5、、6的的三三角角形形的的内内切切圆圆的的半半径径为为————3.已知知:△△ABC的的面面积积S=4cm,周周长长等等于于10cm.求求内内切切圆圆⊙⊙O的的半半径径r.例：：如图图，，△△ABC的的内内切切圆圆⊙⊙O与与BC、、CA、、AB分分别别相相切切于于点点D、、E、、F，，且且AB=9cm，，BC=14cm，，CA=13cm，，求求AF、、BD、、CE的的长长。。x13﹣﹣xx13﹣﹣x9﹣﹣x9﹣﹣x例题题选选讲讲ADCBOFE1、、如如图图，，△△ABC中中,∠∠ABC=50°°，，∠∠ACB=75°°,点点O是是△△ABC的的内内心心，，求求∠∠BOC的的度度数数。。AOCB随堂训训练变式：：△ABC中中,∠∠A=40°°，点点O是是△ABC的内内心，，求∠∠BOC的度度数。。∠BOC=90°+∠A知识拓拓展拓展一一：直角三三角形形的外外接圆圆与内内切圆圆1.直直角三三角形形外接接圆的的圆心心(外心)在__________，，半径径为___________.2.直直角三三角形形内切切圆的的圆心心(内心)在__________，，半径径r=___________.abc斜边中中点斜边的的一半半三角形形内部部知识拓拓展3.已已知：：如图图,PA、、PB是⊙⊙O的的切线线，切切点分分别是是A、、B，，Q为为⊙O上一一点，，过Q点作作⊙O的切切线，，交PA、、PB于E、F点，，已知知PA=12cm，，∠P=70°°,求求：△PEF的的周长长和∠∠EOF的的大小小。EAQPFBO知识拓拓展4.Rt△△ABC中中,∠∠C=90°,a=3,b=4,则内内切圆圆的半半径是是_______.15.直直角三三角形形的外外接圆圆半径径为5cm,内内切圆圆半径径为1cm,则则此三三角形形的周周长是是_______.22cm知识小小结直角三三角形形的外外接圆圆与内内切圆圆1.直直角三三角形形外接接圆的的圆心心(外心)在__________，，半径径为___________.2.直直角三三角形形内切切圆的的圆心心(内心)在__________，，半径径r=___________.abc斜边中中点斜边的的一半半三角形形内部部课前训训练1、已已知，，如图图，PA、、PB是⊙⊙O的的两条条切线线，A、B为切切点.直线线OP交交⊙⊙O于于点D、、E，，交AB于于C.（1）写写出图中中所有的的垂直关关系；（2）如如果PA=4cm,PD=2cm,求求半径OA的长长.AOCDPBE知识拓展展2.已知知：两个个同心圆圆PA、、PB是是大圆的的两条切切线，PC、PD是小小圆的两两条切线线，A、、B、C、D为为切点。。求证：：AC=BD·PABOCD试一试：：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，三三角形三三边与⊙⊙O均相切，，切点分分别是D、E、F，求⊙O的半径。。CFOEDBA1、如图图，一圆圆内切于于四边形形ABCD，且AB=16，，CD=10，，则四边边形的周周长为()（A）50（（B）52（（C）54（（D）56DABC巩固练习习：3、以正正方形ABCD的一边BC为直径的的半圆上上有一个个动点K，过点K作半圆的的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：：四边形形AEFD的周长是是否会因因K点的变动动而变化化？为什什么？ABDCKEF4、如图图，在梯梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边边BC比AD大6，求边AD、BC的长。ABDCEO9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。04:24:2204:24:2204:2412/29/20224:24:22AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2204:24:2204:24Dec-2229-Dec-2212、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。04:24:2204:24:2204:24Thursday,December29,202213、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。12月-2212月-2204:24:2204:24:22December29,202214、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。29十十二月20224:24:22上午午04:24:2212月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月224:24上上午12月-2204:24December29,202216、行动出成成果，工作作出财富。。。2022/12/294:24:2204:24:2229December202217、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。4:24:22上上午午4:24上上午午04:24:2212月月-229、没没有有失失败败，，只只有有暂暂时时停停止止成成功功！！。。12月月-2212月月-22Thursday,December29,202210、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。04:24:2204:24:2204:2412/29/20224:24:22AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。12月月-2204:24:2204:24Dec-2229-Dec-2212、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。04:24:2204:24:2204:24Thursday,December29,202213、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。12月-2212月-2204:24:2204:24:22December29,202214、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。29十十二月20224:24:22上午午04:24:2212月-2215、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。十二月224:24上上午12月-2204:24December29,202216、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2022/12/294:24:2204:24:2229December202217、空空山山新新雨雨后后，，天天气气晚晚来来秋秋。。。。4:24:22上上午午4:24上上午午04:24:2212月月-229、杨杨柳柳散散和和风风，，青青山山澹澹吾吾虑虑。。。。12月月-2212月月-22Thursday,December29,202210、阅读读一切切好书书如同同和过过去最最杰出出的人人谈话话。04:24:2204:24:2204:2412/29/20224:24:22AM11、越是是没有有本领领的就就越加加自命命不凡凡。12月月-2204:24:2204:24Dec-222