2018-2019数学新学案同步必修五苏教版讲义：第二章 数列滚动训练（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练（二）一、填空题1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，a＝2，b＝eq\r(2），A＝45°，则B＝________。考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案30°解析由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f（b，sinB)，sinB＝eq\f(bsinA，a）＝eq\f（\r（2）×\f(\r(2）,2），2)＝eq\f(1,2）。又因为a＝2，b＝eq\r（2),a>b，所以A>B，所以B＝30°。2．在△ABC中,角A,B，C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋cosAsinC，则eq\f（a，b)＝________。考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合答案2解析∵等式右边＝sinAcosC＋（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAcosC＋sin(A＋C）＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC＞0，得sinA＝2sinB。根据正弦定理,得a＝2b，即eq\f(a，b）＝2。3．若数列｛an}中，an＝n＋（－1）n，则a4＋a5＝________。考点数列的通项公式题点已知通项公式求项或项数答案9解析因为an＝n＋（－1)n,所以a4＝4＋（－1）4＝5，a5＝5＋(－1)5＝4，所以a4＋a5＝9。4．600是数列1×2，2×3,3×4,4×5,…的第________项．考点数列的通项公式题点判断某数是否为数列的项答案24解析由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式为an＝n（n＋1)，令n（n＋1）＝600，求得n＝24。5．已知{an｝是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39,则a3＋a6＋a9＝________.考点等差数列的性质题点两个等差数列的性质问题答案33解析根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列,故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.6．已知两个等差数列｛an｝和｛bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq\f（An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f（an，bn)为整数的正整数n的个数是________．考点等差数列的前n项和性质运用题点通项公式的综合应用答案5解析∵eq\f(an,bn）＝eq\f（A2n－1,B2n－1）＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1）＝7＋eq\f（12,n＋1)为正整数,∴n＝1,2,3，5，11。7．等差数列｛an}中，已知a1＝－6,an＝0，公差d∈N＊，则n（n≥3）的最大值为________．考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案7解析由an＝a1＋（n－1）d,得－6＋（n－1)d＝0，n＝eq\f(6，d)＋1，因为d∈N＊，所以当d＝1时，n取最大值7.8．已知△ABC的三边长分别为3，5,7，则该三角形的外接圆半径为________．考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案eq\f（7\r（3）,3)解析设角A，B,C的对边分别为a,b,c.由已知a＝3,b＝5，c＝7，∴cosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝－eq\f（1,2)，∴sinC＝eq\f（\r(3）,2），∴R＝eq\f(c,2sinC）＝eq\f（7\r（3）,3）.9．数列｛an}满足an＋1＝eq\f（1,1－an），a8＝2，则a1＝________。考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案eq\f（1,2)解析由an＋1＝eq\f（1,1－an),可得an＝1－eq\f（1,an＋1)，又a8＝2，故a7＝eq\f(1，2)，…依次下去得a1＝eq\f（1，2）。10．在等差数列｛an｝中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N＊,且m>n，则am＝________.考点等差中项题点等差中项及其应用答案eq\f(A＋B,2）解析因为am＋n与am－n的等差中项是am，所以am＝eq\f(A＋B,2）.11．已知数列{an｝的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案10解析观察可知a1＋a2＝2,a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2,故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.二、解答题12．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C）＝8sin2eq\f(B，2）。（1)求cosB；（2）若a＋c＝6,△ABC面积为2,求b.考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合解(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2eq\f（B,2)，故sinB＝4(1－cosB）．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1（舍去）或cosB＝eq\f（15,17）.故cosB＝eq\f（15,17）.（2）由cosB＝eq\f（15，17)，得sinB＝eq\f(8,17),故S△ABC＝eq\f（1，2)acsinB＝eq\f(4,17)ac。又S△ABC＝2，则ac＝eq\f(17,2).由余弦定理及a＋c＝6，得b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2ac(1＋cosB)＝36－2×eq\f(17,2）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（15,17)）)＝4。所以b＝2。13．设数列｛an｝满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，求{an}的通项公式．考点an与Sn关系题点由Sn公式求an解因为a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2，2n－1）(n≥2)。又由题设可得a1＝2，也符合上式,从而｛an｝的通项公式为an＝eq\f(2,2n－1），n∈N*.三、探究与拓展14．设等差数列｛an}的公差为d，若数列{2a1an｝为递减数列，则a1d________0。(填>，＝，〈)考点等差数列综合题点数列与不等式综合答案<解析由数列｛2a1an}为递减数列,得2a1an〈2a1an－1，再由指数函数性质得a1an－1>a1an，由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an⇒a1an－a1an－1<0⇒a1(an－an－1)<0⇒a1d<0.15．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1,S2·S3＝36.(1)求d及Sn；（2）求m,k(m,k∈N＊)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解(1）由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，解得d＝2或d＝－5（舍去)．所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1，2）d＝n＋n(n－1)＝n2.(2)由（1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1）（k＋1），所以（2m＋k－1）（k＋1）＝65,由m，k∈N＊知，2m＋k－1≥k＋1>1，故eq\b\