切比雪夫定理不等式课件

第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、相关系数与大数定理；下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与期望方差。下次上课前完成作业9，上课时交作业P37---40页重点：方差与协方差难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲1第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.中心矩定义2为X

的k阶中心矩。设X

是随机变量，则称定义1为X的k阶原点矩。设X

是随机变量，则称1.原点矩3.原点矩与中心矩的关系回顾：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.中心矩定义3一、方差与标准差1.定义背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是（万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式一、方差与标准差1.定义背景：在统计应用中，4离差的平方的数学期望叫做随机变量X的方差,记作随机变量X与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即离差与偏差定义标准差随机变量X的方差的算术平方根叫做随机变量X的标准差或均方差，记作σ(X)，即或说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距

2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式离差的平方的数学期望叫做随机变量X的方差,记作随机变量X52.方差计算由方差定义：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.方差计算由方差定义：第十一讲方差、相关系数与切比雪6用均值计算方差定理:证明：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解例题11-1-1设随机变量，求方差D(X

)。3.例题讲解用均值计算方差定理:证明：第十一讲方差、相关系数与切比7例题11-1-2设随机变量，求方差D(X)。解其密度函数为例题11-1-3解其密度函数为第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-1-2设随机变量84.方差性质1.定理（1、2）证明第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式4.方差性质1.定理（1、2）证明第十一讲方差、相关系9定理3利用定理3，用归纳法可以证明以下推论第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加定理3利用定理3，用归纳法可以证明以下推论第十一讲方差10证X的标准化的随机变量。

设随机变量X

的数学期望为E(X)

，标准差为设随机变量证明：例11-1-4.

均值为0,方差为1的特殊分布第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式证X的标准化的随机变量。设随机变量X的数11则n次试验中事件A发生的次数为：且X1,X2,…Xn相互独立，则例11-1-5.

二项分布均值与方差其中：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解：由已知概率：则n次试验中事件A发生的次数为：且X1,12由于X1,X2,…Xn相互独立，则求方差D(Y)。例11-1-6

(2000)设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式由于X1,X2,…Xn相互独立，则求方差D(Y)。13解因随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,则第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解因随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,则第十14例题11-1-7.几何分布概率函数∴而∴第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-1-7.几何分布概率函数∴而∴第十一讲15而第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式而第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式160-1分布二项分布泊松分布均匀分布几何分布超几何分布指数分布常用分布的期望与方差列表第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式0-1分布二项分布泊松分布均匀分布几何分布超几何分布17解

设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形

区域G上服从均匀分布,求随机变量U=X+Y的方差.例题11-1-8（2001）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(118第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-9（2008，4分）例11-1-10（1995，4分）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-9（19第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-11（2010，4分）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-1120第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-12（2004，4分）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-1221二、协方差与相关系数1.背景知识设随机变量X与Y相互独立，则:第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式二、协方差与相关系数1.背景知识设随机变量X与Y相互独222.协方差:covariance协方差(相关矩):离散型随机变量：连续型随机变量：证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（1）均值性质定理：3.协方差性质2.协方差:covariance协方差(相关矩):离散型23（2）独立性质定理：设随机变量X与Y相互独立，则：证因为随机变量X与Y相互独立,第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式证(3)方差性质定理：设X与Y是任意两个随机变量,则：（2）独立性质定理：设随机变量X与Y相互独立，则：证因为随244.相关系数第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（1）定义：X与Y的相关系数:

4.相关系数第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式25第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（2）相关系数的计算:

证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（2）相关系数的26(5)不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式并且(4)强相关定理(5)不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论第十一讲2711-2-1将一枚硬币重复掷n次，X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于解选(A).(A)-1(B)0(C)0.5(D)1.（2001年）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-2-2（2000，3分）11-2-1将一枚硬币重复掷n次，X和Y分别表示正28三、切比雪夫定理

1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？2.切比雪夫定理（不等式）：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式三、切比雪夫定理1.背景：若已知一个随机变量29第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式30第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式31例题11-3-1(2001，数一）设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数，恒有

定理2（切比雪夫大数定理）分别有数学期望及方差

D(X1),一常数K，使得第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-3-1(2001，数一）设独立随机变量并且方差32证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式33第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式343.依概率收敛定义推论：存在:设独立随机变量服从同一分布,期望及方差则对于任何正数，有第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式3.依概率收敛定义推论：存在:设独立随机变量服从同一分布35在独立试验序列中,设事件A的概率P(A)=

p，定理3(伯努利定理）按概率收敛于事件A的概率p.即对于任何正数则事件A在n次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数,有证设随机变量Xi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…),则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布，且有数学期望与方差：由切比雪夫定理的推论即得而就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式在独立试验序列中,设事件A的概率P(A)=p，定理336三、正态分布的密度与分布1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。2.正态分布的密度第十一讲大数定理与正态分布三、正态分布的密度与分布1.背景：正态分布是现代统计学的基础37记作1.定义其中及＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。设连续型随机变量X的概率密度为

第十一讲大数定理与正态分布记作1.定义其中及＞0都为常数，这种分布叫做正态38特别地，当时，正态分布叫做标准正态分布。其概率密度为2.正态分布的密度曲线若固定μ=0第十一讲大数定理与正态分布特别地，当时，正态分布39第十一讲大数定理与正态分布3.正态密度函数的性质第十一讲大数定理与正态分布3.正态密度函数的性质40第十一讲大数定理与正态分布0.54.正态变量的分布函数第十一讲大数定理与正态分布0.54.正态变量的分布函数41查表[注1][注2]第十一讲大数定理与正态分布查表[注1][注2]第十一讲大数定理与正态分布4211-3-1

求解第十一讲大数定理与正态分布11-3-1求解第十一讲大数定理与正态分布43第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、相关系数与大数定理；下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与期望方差。下次上课前完成作业9，上课时交作业P37---40页重点：方差与协方差难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲44第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式45第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.中心矩定义2为X

的k阶中心矩。设X

是随机变量，则称定义1为X的k阶原点矩。设X

是随机变量，则称1.原点矩3.原点矩与中心矩的关系回顾：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.中心矩定义46一、方差与标准差1.定义背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是（万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式一、方差与标准差1.定义背景：在统计应用中，47离差的平方的数学期望叫做随机变量X的方差,记作随机变量X与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即离差与偏差定义标准差随机变量X的方差的算术平方根叫做随机变量X的标准差或均方差，记作σ(X)，即或说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距

2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式离差的平方的数学期望叫做随机变量X的方差,记作随机变量X482.方差计算由方差定义：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.方差计算由方差定义：第十一讲方差、相关系数与切比雪49用均值计算方差定理:证明：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解例题11-1-1设随机变量，求方差D(X

)。3.例题讲解用均值计算方差定理:证明：第十一讲方差、相关系数与切比50例题11-1-2设随机变量，求方差D(X)。解其密度函数为例题11-1-3解其密度函数为第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-1-2设随机变量514.方差性质1.定理（1、2）证明第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式4.方差性质1.定理（1、2）证明第十一讲方差、相关系52定理3利用定理3，用归纳法可以证明以下推论第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加定理3利用定理3，用归纳法可以证明以下推论第十一讲方差53证X的标准化的随机变量。

设随机变量X

的数学期望为E(X)

，标准差为设随机变量证明：例11-1-4.

均值为0,方差为1的特殊分布第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式证X的标准化的随机变量。设随机变量X的数54则n次试验中事件A发生的次数为：且X1,X2,…Xn相互独立，则例11-1-5.

二项分布均值与方差其中：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解：由已知概率：则n次试验中事件A发生的次数为：且X1,55由于X1,X2,…Xn相互独立，则求方差D(Y)。例11-1-6

(2000)设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式由于X1,X2,…Xn相互独立，则求方差D(Y)。56解因随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,则第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解因随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,则第十57例题11-1-7.几何分布概率函数∴而∴第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-1-7.几何分布概率函数∴而∴第十一讲58而第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式而第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式590-1分布二项分布泊松分布均匀分布几何分布超几何分布指数分布常用分布的期望与方差列表第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式0-1分布二项分布泊松分布均匀分布几何分布超几何分布60解

设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形

区域G上服从均匀分布,求随机变量U=X+Y的方差.例题11-1-8（2001）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(161第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-9（2008，4分）例11-1-10（1995，4分）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-9（62第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-11（2010，4分）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-1163第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-12（2004，4分）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例11-1-1264二、协方差与相关系数1.背景知识设随机变量X与Y相互独立，则:第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式二、协方差与相关系数1.背景知识设随机变量X与Y相互独652.协方差:covariance协方差(相关矩):离散型随机变量：连续型随机变量：证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（1）均值性质定理：3.协方差性质2.协方差:covariance协方差(相关矩):离散型66（2）独立性质定理：设随机变量X与Y相互独立，则：证因为随机变量X与Y相互独立,第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式证(3)方差性质定理：设X与Y是任意两个随机变量,则：（2）独立性质定理：设随机变量X与Y相互独立，则：证因为随674.相关系数第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（1）定义：X与Y的相关系数:

4.相关系数第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式68第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（2）相关系数的计算:

证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式（2）相关系数的69(5)不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式并且(4)强相关定理(5)不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论第十一讲7011-2-1将一枚硬币重复掷n次，X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于解选(A).(A)-1(B)0(C)0.5(D)1.（2001年）第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-2-2（2000，3分）11-2-1将一枚硬币重复掷n次，X和Y分别表示正71三、切比雪夫定理

1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？2.切比雪夫定理（不等式）：第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式三、切比雪夫定理1.背景：若已知一个随机变量72第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式73第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式74例题11-3-1(2001，数一）设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数，恒有

定理2（切比雪夫大数定理）分别有数学期望及方差

D(X1),一常数K，使得第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式例题11-3-1(2001，数一）设独立随机变量并且方差75证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式证第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式76第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式773.依概率收敛定义推论：存在:设独立随机变量服从同一分布,期望及方差则对于任何正数，有第十一讲方差、相关系数与切比雪夫不等式3.依概率收敛定义推论