2018-2019数学新学案同步必修四人教B版全国通用版讲义：第二章 平面向量疑难规律方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律,注意向量的大小和方向两个方面．一、化简例1化简下列各式：(1）(2eq\o（AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→））)－(eq\o（AC，\s\up6（→）)－2eq\o（BD,\s\up6(→）))；（2)eq\f(1,24)［3(2a＋8b）－6(4a－2b)]．解（1)(2eq\o(AB,\s\up6（→））－eq\o(CD,\s\up6（→））)－（eq\o（AC，\s\up6(→）)－2eq\o（BD，\s\up6(→)）)＝2eq\o(AB,\s\up6（→))－eq\o(CD，\s\up6(→)）－eq\o(AC,\s\up6（→））＋2eq\o(BD,\s\up6(→)）＝2eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o（CA,\s\up6(→)）＋2eq\o(BD,\s\up6（→））＝2（eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋（eq\o（DC，\s\up6（→)）＋eq\o（CA，\s\up6(→）))＝2eq\o(AD,\s\up6（→))＋eq\o(DA，\s\up6（→))＝eq\o（AD，\s\up6（→)）.（2）eq\f(1，24）［3（2a＋8b)－6（4a－2b）］＝eq\f(1,24）(6a＋24b－24a＋12b）＝eq\f（1，24)（－18a＋36b)＝－eq\f（3,4）a＋eq\f(3,2）b。点评向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”,通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加"或“起点相同且相减”的两个向量进行化简,解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行,将向量a，b，c等看成一般字母符号,其中向量数乘之间的和差运算,相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项"与“公因式”指的是向量．

二、求参数例2如图，已知△ABC和点M满足eq\o（MA,\s\up6（→)）＋eq\o（MB，\s\up6(→)）＋eq\o(MC,\s\up6（→)）＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→）)＝meq\o(AM，\s\up6(→）)成立，则m＝________。解析如图，因为eq\o(MA,\s\up6（→））＋eq\o(MB,\s\up6(→）)＋eq\o（MC,\s\up6(→）)＝0，即eq\o（MA,\s\up6(→）)＝－(eq\o(MB,\s\up6（→))＋eq\o（MC，\s\up6（→))）,即eq\o（AM,\s\up6（→))＝eq\o（MB,\s\up6(→））＋eq\o（MC,\s\up6（→))。延长AM，交BC于点D,所以点D是BC边的中点．所以eq\o(AM，\s\up6(→））＝2eq\o（MD，\s\up6（→))。所以eq\o(AD，\s\up6（→))＝eq\f(3,2)eq\o(AM,\s\up6(→）)。所以eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→)）＝2eq\o(AD，\s\up6(→））＝3eq\o(AM,\s\up6（→））.所以m＝3。答案3点评求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件,根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值．三、表示向量例3如图所示,在△ABC中,eq\o(AD,\s\up6(→)）＝eq\f（2,3)eq\o（AB,\s\up6(→))，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N。设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6（→)）＝b，用向量a，b表示eq\o（AE，\s\up6(→)），eq\o（BC,\s\up6（→)），eq\o(DE,\s\up6（→)),eq\o(DN,\s\up6（→))，eq\o(AM，\s\up6（→））。解因为DE∥BC，eq\o（AD,\s\up6(→））＝eq\f（2，3)eq\o(AB，\s\up6（→)），所以eq\o(AE,\s\up6（→））＝eq\f（2，3)eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\f（2,3）b，eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\o（AC,\s\up6(→）)－eq\o（AB，\s\up6（→）)＝b－a.由△ADE∽△ABC，得eq\o(DE，\s\up6（→)）＝eq\f(2，3）eq\o(BC,\s\up6(→)）＝eq\f（2，3）（b－a）．又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，所以eq\o（DN，\s\up6（→））＝eq\f（1,2）eq\o(DE，\s\up6(→）)＝eq\f(1,3)(b－a),eq\o（AM,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(BM，\s\up6(→))＝a＋eq\f(1，2）eq\o(BC，\s\up6（→))＝a＋eq\f(1，2）（b－a）＝eq\f（1,2）（a＋b）．点评用已知向量表示另外一些向量,应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．2走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区．一、理解失误例1已知e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________．(填序号）①e1,e2两个向量可以共线,也可以是零向量；②λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数对．错解①②③正解由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示,且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误．故正确答案为②。答案②点评对平面向量基本定理的学习要把握以下几点:①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示，且这种表示是唯一的;③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底．二、考虑不全例2与向量d＝（12,5）平行的单位向量为(）A。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(12，13),\f(5，13））)B。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(12，13)，－\f（5,13))）C。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（12，13），\f（5,13）))或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（12,13），－\f(5，13）））D.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(±\f（12，13),±\f(5,13）))错解由题意得｜d|＝13,则与d＝(12，5)平行的单位向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12，13),\f(5，13))），故选A。正解与d＝(12,5）平行的单位向量为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（12，13)，\f(5,13）)）或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（12，13）,－\f（5,13））).故选C。答案C点评与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况．三、概念混淆例3已知A(－2,4)，B(3,－1）,C(－3，－4）．设eq\o(CM,\s\up6(→）)＝3eq\o（CA，\s\up6（→）），eq\o（CN，\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)），试求点M，N和向量eq\o（MN,\s\up6（→)）的坐标．错解A（－2,4)，B（3,－1)，C(－3，－4),所以eq\o(CA，\s\up6（→））＝(－2＋3,4＋4）＝（1，8），eq\o（CB,\s\up6(→)）＝(3＋3,－1＋4)＝(6,3)，eq\o(CM,\s\up6（→))＝3eq\o(CA，\s\up6（→))＝（3,24)，eq\o（CN，\s\up6(→））＝2eq\o（CB，\s\up6（→）)＝（12，6)．所以点M的坐标为（3，24)，点N的坐标为（12,6)，eq\o（MN，\s\up6（→）)＝(9，－18)．正解已知A(－2，4)，B(3,－1)，C（－3，－4)．所以eq\o(CA,\s\up6（→))＝（－2＋3,4＋4)＝（1，8),eq\o（CB,\s\up6(→)）＝(3＋3，－1＋4）＝(6,3）,eq\o（CM，\s\up6（→））＝3eq\o（CA,\s\up6(→）)＝(3,24),eq\o（CN，\s\up6(→）)＝2eq\o（CB，\s\up6(→）)＝(12，6)．又C(－3,－4）,所以点M的坐标为（0，20），点N的坐标为（9,2）．所以eq\o(MN，\s\up6(→）)＝(9－0,2－20)＝（9，－18）．点评向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念,向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等。3平面向量的基本定理应用三技巧技巧一构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1,e2为基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则用eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝x2，,y1＝y2））"来求解．例1在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N，使|eq\o(OM，\s\up6（→))|∶|eq\o(OA，\s\up6(→）)｜＝1∶3，｜eq\o（ON，\s\up6（→）)|∶|eq\o(OB，\s\up6（→））|＝1∶4。设线段AN与BM交于点P,记eq\o（OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB，\s\up6(→）)＝b，用a，b表示向量eq\o（OP，\s\up6（→)）。解∵B，P,M共线,∴存在常数s，使eq\o(BP,\s\up6(→）)＝seq\o(PM,\s\up6（→）)，则eq\o（OP，\s\up6(→））＝eq\f（1，1＋s）eq\o（OB,\s\up6(→))＋eq\f（s，1＋s）eq\o(OM,\s\up6（→））。即eq\o（OP,\s\up6（→))＝eq\f(1，1＋s）eq\o(OB，\s\up6(→））＋eq\f(s，31＋s)eq\o(OA,\s\up6（→)）＝eq\f(s,31＋s）a＋eq\f(1，1＋s）b。①同理,存在常数t，使eq\o（AP，\s\up6(→))＝teq\o（PN,\s\up6(→))，则eq\o（OP,\s\up6（→））＝eq\f(1,1＋t)a＋eq\f（t,41＋t）b.②∵a,b不共线，∴由①②得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1，1＋t)＝\f(s，31＋s),,\f(t，41＋t)＝\f(1，1＋s),)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（s＝\f(9,2），,t＝\f（8，3)，)）∴eq\o(OP，\s\up6（→））＝eq\f（3,11）a＋eq\f(2,11)b.点评这里选取eq\o（OA,\s\up6（→)），eq\o(OB,\s\up6（→））作为基底，构造eq\o(OP，\s\up6(→))在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解．技巧二构造两个共线向量在同一基底下的表达形式,用“若e1,e2为基底，a＝x1e1＋y1e2,b＝x2e1＋y2e2,且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解．例2如图，在△OAB中,eq\o(OC,\s\up6(→））＝eq\f（1,4）eq\o(OA，\s\up6（→）)，eq\o（OD，\s\up6(→））＝eq\f（1,2)eq\o(OB,\s\up6（→）),AD与BC交于点M，设eq\o(OA,\s\up6（→））＝a，eq\o(OB，\s\up6（→)）＝b。(1）用a，b表示eq\o（OM，\s\up6（→））；（2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F,使EF过点M，设eq\o(OE，\s\up6（→）)＝peq\o（OA，\s\up6（→))，eq\o（OF，\s\up6(→）)＝qeq\o（OB，\s\up6（→)），求证：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.(1）解设eq\o（OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，则eq\o（AM，\s\up6（→)）＝(m－1)a＋nb，eq\o(AD，\s\up6(→))＝－a＋eq\f（1，2）b。∵点A,M,D共线，∴eq\o（AM，\s\up6(→））与eq\o(AD，\s\up6（→）)共线．∴eq\f(1,2)（m－1）－(－1)×n＝0.∴m＋2n＝1。①而eq\o(CM，\s\up6（→）)＝eq\o(OM,\s\up6(→)）－eq\o（OC,\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(m－\f（1，4））)a＋nb,eq\o（CB，\s\up6（→))＝－eq\f（1,4）a＋b。∵C，M，B共线,∴eq\o(CM，\s\up6(→）)与eq\o(CB，\s\up6(→)）共线，∴－eq\f(1，4)n－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（m－\f（1,4)））＝0.∴4m＋n＝1.②联立①②可得m＝eq\f(1,7），n＝eq\f(3,7)。∴eq\o(OM,\s\up6（→））＝eq\f（1，7)a＋eq\f（3，7)b。（2）证明eq\o(EM，\s\up6（→）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,7)－p）)a＋eq\f（3,7)b，eq\o(EF,\s\up6(→)）＝－pa＋qb。∵eq\o（EF，\s\up6（→））与eq\o（EM，\s\up6（→)）共线，∴eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－p)）q－eq\f(3，7）×（－p)＝0。∴eq\f（1，7)q－pq＝－eq\f(3，7）p，即eq\f（1,7p）＋eq\f(3，7q）＝1。点评这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解．技巧三将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式(e1，e2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解．例3如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件eq\o（AP，\s\up6(→））＋2eq\o（BP,\s\up6（→）)＋3eq\o(CP,\s\up6(→））＝0。设点Q为CP的延长线与AB的交点，令eq\o（CP,\s\up6(→))＝p,试用向量p表示eq\o（CQ，\s\up6(→)）.解∵eq\o（AP,\s\up6（→）)＝eq\o(AQ,\s\up6（→)）＋eq\o（QP，\s\up6（→）），eq\o(BP，\s\up6（→))＝eq\o(BQ，\s\up6(→)）＋eq\o(QP，\s\up6(→）），∴(eq\o(AQ，\s\up6(→)）＋eq\o(QP，\s\up6(→)）)＋2（eq\o（BQ，\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6（→))）＋3eq\o(CP，\s\up6（→)）＝0。∴eq\o(AQ，\s\up6(→)）＋3eq\o(QP,\s\up6（→）)＋2eq\o（BQ，\s\up6（→）)＋3eq\o（CP,\s\up6(→))＝0。又∵A,B,Q三点共线，C，P，Q三点共线，∴eq\o(AQ,\s\up6(→））＝λeq\o（BQ，\s\up6（→）)，eq\o（CP,\s\up6(→））＝μeq\o(QP,\s\up6(→)）.∴λeq\o（BQ,\s\up6(→）)＋3eq\o（QP，\s\up6(→）)＋2eq\o（BQ，\s\up6(→））＋3μeq\o(QP,\s\up6(→）)＝0.∴（λ＋2)eq\o（BQ，\s\up6（→)）＋（3＋3μ）eq\o（QP,\s\up6（→）)＝0。而eq\o（BQ，\s\up6(→）)，eq\o(QP，\s\up6（→))为不共线向量，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，，3＋3μ＝0.））∴λ＝－2，μ＝－1.∴eq\o(CP，\s\up6(→））＝－eq\o（QP,\s\up6(→））＝eq\o（PQ，\s\up6（→））.故eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o（CP,\s\up6（→))＋eq\o（PQ，\s\up6（→)）＝2eq\o(CP,\s\up6（→）)＝2p.点评这里选取eq\o(BQ,\s\up6（→）），eq\o(QP，\s\up6（→））两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e1＋λ2e2＝0的形式来求解.4直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具．由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够,下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析．一、直线的方向向量1．定义设P1，P2是直线l:Ax＋By＋C＝0上的不同两点，那么向量eq\o（P1P2，\s\up6（→))以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．若P1(x1，y1)，P2(x2，y2），则eq\o(P1P2,\s\up6（→)）的坐标为(x2－x1,y2－y1）；特别当直线l与x轴不垂直时，即x2－x1≠0，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为(1,0）；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B，A）．2．应用(1)求直线方程例1已知三角形的三顶点坐标分别为A（2,－3)，B（－7,9)，C（18,9）,求AB边上的中线、高线方程以及∠C的内角平分线方程．解①求中线方程由于eq\o（CB，\s\up6（→）)＝（－25，0），eq\o（CA,\s\up6(→)）＝（－16，－12)，那么AB边上的中线CD的方向向量为eq\o（CB,\s\up6(→)）＋eq\o（CA，\s\up6（→））＝（－41，－12），也就是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f（12,41））），因而直线CD的斜率为eq\f(12，41)。那么直线CD的方程为y－9＝eq\f(12,41)(x－18）,整理得12x－41y＋153＝0.②求高线方程由于kAB＝eq\f（9＋3,－7－2）＝－eq\f(4,3），因而直线AB的方向向量为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，－\f(4，3))）.而AB边上的高CE⊥AB,则直线CE的方向向量为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f(3，4)）).那么高线CE的方程为y－9＝eq\f（3,4）（x－18)，整理得3x－4y－18＝0.③求∠C的内角平分线方程eq\f（\o（CB，\s\up6(→）),|\o(CB，\s\up6（→))|)＝(－1，0),eq\f(\o（CA，\s\up6（→）），｜\o(CA,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(4,5)，－\f（3，5））)，则∠C的内角平分线的方向向量为eq\f（\o(CB,\s\up6（→)）,|\o（CB,\s\up6（→)）｜)＋eq\f(\o（CA,\s\up6(→)),|\o(CA，\s\up6(→)）|)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（9，5）,－\f（3,5)))，也就是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（1，3)）).因而内角平分线CF的方程为y－9＝eq\f（1，3)(x－18），整理得x－3y＋9＝0.点评一般地,经过点（x0,y0)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程是A（x－x0）＋B(y－y0）＝0;与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程是B(x－x0）－A(y－y0)＝0。（2)求直线夹角例2已知l1:x＋3y－15＝0与l2：y－3mx＋6＝0的夹角为eq\f(π,4)，求m的值．解直线l1的方向向量为v1＝（－3,1)，直线l2的方向向量为v2＝（1，3m)．∵l1与l2的夹角为eq\f（π,4)，∴|cos<v1，v2〉｜＝eq\f（｜v1·v2｜，|v1｜｜v2｜)＝eq\f（｜3m－3|,\r（9＋1)·\r（1＋9m2)）＝eq\f(\r(2),2）。化简得18m2＋9m－2＝0，解得m＝－eq\f（2,3）或m＝eq\f(1，6）。点评一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，其方向向量为v1＝（1,k1)，直线l2:y＝k2x＋b2,其方向向量为v2＝（1，k2)，当1＋k1k2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k1k2≠0时,设夹角为θ，则cosθ＝eq\f（|v1·v2|,｜v1｜｜v2｜）＝eq\f(|1＋k1k2｜,\r(1＋k\o\al（2，1））·\r（1＋k\o\al(2,2）））；若设直线l1：a1x＋b1y＋C1＝0，其方向向量为（－b1，a1),直线l2：a2x＋b2y＋C2＝0，其方向向量为（－b2，a2），那么cosθ＝eq\f（|a1a2＋b1b2｜,\r（a\o\al(2,1）＋b\o\al(2,1））·\r(a\o\al（2，2)＋b\o\al（2，2）)).二、直线的法向量1．定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0，从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言,其方向向量为v＝（B,－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝（A,B）．2．应用（1)判断直线的位置关系例3已知直线l1：ax－y＋2a＝0与直线l2：（2a－1）x＋ay＋a＝0.(1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求实数a的值．解直线l1，l2的法向量分别为n1＝（a，－1)，n2＝(2a－1，a)，（1)若l1⊥l2，则n1·n2＝a(2a－1)＋（－1）×a＝0,解得a＝0或a＝1。∴当a＝0或1时，l1⊥l2。（2)若l1∥l2，则n1∥n2，∴a2－(2a－1)×(－1）＝0,解得a＝－1±eq\r（2），且eq\f(a,2a－1）＝－eq\f(1,a）≠2。∴当a＝－1±eq\r(2)时,l1∥l2。点评一般地，设直线l1：a1x＋b1y＋C1＝0，l2：a2x＋b2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝（a1，b1），n2