2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2。2平面与平面平行的判定学习目标1。通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点平面与平面平行的判定定理思考1三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．思考2如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a⊂β，b⊂β,a∩b＝P，a∥α，b∥α））⇒β∥α1．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行．（×）2．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．（√）类型一面面平行判定定理的理解例1α,β是两个不重合的平面，在下列条件下,可判定α∥β的是（)A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l,m是异面直线且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D解析对A,当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β;对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点,三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；对C，当l∥m时，不能推出α∥β；对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α,m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β。反思与感悟（1）在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件,线不在多,相交就行．(2)借助于常见几何体（如正方体）进行分析．跟踪训练1如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（)A．这两个角相等B．这两个角互补C．这两个角所在的两个平面平行D．这两个角所在的两个平面平行或重合考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D类型二平面与平面平行的证明例2如图，在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF。考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF。设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF,所以OH∥平面AEF。又因为OH∩GH＝H，OH,GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF。反思与感悟平面与平面平行的判定方法（1)定义法:两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．（3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β,β∥γ，则α∥γ.跟踪训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD。考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明因为四边形ABCD是平行四边形,AC∩BD＝O,所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC,又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD,所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.类型三线面平行与面面平行的综合应用例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E,F，G分别是BC，DC和SC的中点,求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；（2)平面EFG∥平面BDD1B1。考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明（1)如图,连接SB。∵点E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB。又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.（2)连接SD.∵点F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD。又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1。反思与感悟解决线面平行与面面平行的综合问题的策略（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．（2)eq\x（线线平行)eq\o（→,\s\up7(判定））eq\x（线面平行）eq\o(→,\s\up7(判定))eq\x(面面平行）所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．跟踪训练3如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心．(1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；(2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比．考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明(1）证明分别连接PA′，PB′，PC′并延长交BC,AC，AB于点D，E，F,连接DE，EF,DF.∵点A′,C′分别是△PBC，△PAB的重心，∴PA′＝eq\f(2,3)PD，PC′＝eq\f（2,3)PF，∴A′C′∥DF。∵A′C′⊄平面ABC，DF⊂平面ABC，∴A′C′∥平面ABC。同理，A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′,A′B′⊂平面A′B′C′,∴平面ABC∥平面A′B′C′。(2)解由(1)知A′C′∥DF且A′C′＝eq\f(2,3)DF，又DF∥AC且DF＝eq\f(1，2）AC，∴A′C′∥AC且A′C′＝eq\f(1,3)AC。同理，A′B′∥AB且A′B′＝eq\f(1,3)AB，B′C′∥BC且B′C′＝eq\f(1，3）BC，∴△A′B′C′∽△ABC,∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9。1．下列叙述正确的是（）A．若平面α中有一条直线平行于另一个平面β，则α∥βB．若平面α中有两条直线平行于另一个平面β，则α∥βC．若平面α中有无数条直线平行于另一个平面β,则α∥βD．若平面α中有两条相交直线都与另一个平面β无公共点，则α∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D2．在正方体中,相互平行的面不会是(）A．前后相对侧面 B．上下相对底面C．左右相对侧面 D．相邻的侧面考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D解析由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是（）A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E,H1E,EG⊂平面EGH1，∴平面E1FG1∥EGH1.4．如图，已知在三棱锥P－ABC中,D,E，F分别是棱PA,PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案平行解析在△PAB中，因为D，E分别是PA,PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α,使平面α∥平面PAC？证明你的结论．考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明解能作出满足条件的平面α，其作法如下:如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M,则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α。证明如下：连接BD交AC于O,连接PO,则PO∥D1B，又D1B⊄平面PAC,OP⊂平面PAC,故D1B∥平面PAC。又因为M为AA1的中点，所以D1M∥PA，又D1M⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以D1M∥平面PAC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂平面α,D1B⊂平面α，所以平面α∥平面PAC。证明面面平行的方法(1）面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．一、选择题1．下列四个说法中正确的是(）A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥βB．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线),则γ∥βC．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案C解析由面面平行的判定定理知C正确．2．如图所示，设E，F,E1,F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(）A．平行B．相交C．异面D．不确定考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案A解析∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1,∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(）A．1对B．2对C．3对D．4对考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心,点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是(）A．平面ABB1A1 B．平面BCC1B1C．平面BCFE D．平面DCC1D1考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案C解析取AB,DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1（如图),故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.5．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（）A．1个或2个 B．0个或1个C．1个 D．0个考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时,由于作出的平面与平面α至少有一个公共点,故经过两点的平面都与平面α相交,不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．6．已知立方体ABCD－A′B′C′D′,点E，F，G，H分别是棱AD,BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是(）A．0 B．2C．4 D．6考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析连接EG,EH,EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形,∴E，F，G，H四点共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH⊂平面EFGH，AB′，AD′⊂平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D。7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1,BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1。其中推断正确的序号是（)A．①③B．①④C．②③D．②④考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1,BB1的中点，∴FG∥BC1。∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误;∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误．故选A。8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中,给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD；③AB∥平面PCD；④平面PAD∥平面PAB。其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB,又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF,EH⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD，平面PBC，平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交．∵AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD。二、填空题9．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β,则α与β的关系是________．考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案相交或平行解析b，c⊂β,a⊂α,a∥b∥c，若α∥β,满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l,满足要求，故答案为相交或平行．10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．（填“平行”或“相交”）考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案平行解析若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A,对于β内的任意直线b，若b过点A,则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a,矛盾．故α∥β。11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF。以上四个命题中，正确命题的序号是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．三、解答题12。如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD。求证：平面MNQ∥平面PBC。考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明解∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.又∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC。又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PBC。13．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB,AC,A1B1，A1C1的中点,求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明(1)∵G，H分别是A1B1,A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．（2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC。∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG。∵A1G∥EB,且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB。又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCH