2018-2019数学新学案同步必修二人教B版全国通用版讲义：第一章 立体几何初步1.1.4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1。4投影与直观图学习目标理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图．知识点直观图与斜二测画法（1）直观图用来表示空间图形的平面图形．(2）斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴,使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′,使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中,∠A＝45°。(×）2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．（×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×）类型一直观图的画法例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．（2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′,如图（2）．（3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点,建立直角坐标系．(2）画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°。以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq\f(1，2)OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD。（3）连接B′C′,D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．反思与感悟(1）本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1(1）用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图）的直观图．解①如图a所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°。在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f（1，2）OA＝eq\r(3）cm，连接A′B′，A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图b所示．（2）画一个正四棱锥的直观图（尺寸自定）．解①画轴．如图c,画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°(或135°），∠xOz＝90°。②画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD。③画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．④画棱．连接SA，SB，SC，SD,擦去辅助线(坐标轴）,得到正四棱锥S－ABCD的直观图，如图d所示．类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′,过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC。则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键（1)平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．（2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．跟踪训练2如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm,C′D′＝2cm，则原图形是________形．答案菱解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2）＝4eq\r（2)（cm),CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r（OD2＋CD2）＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6（cm），∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．命题角度2原图形与直观图的面积的计算例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2，3)C1D1＝2,A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解如图,建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2。在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2。在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，所以面积为S＝eq\f(2＋3，2)×2＝5.反思与感悟（1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2）若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′,则S′＝eq\f（\r（2），4)S.跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是（)A.eq\f(1，2) B.eq\f(\r（2），2)C。eq\r（2） D．2eq\r（2)答案C解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为eq\f(1,2），又直观图与原平面图形面积比为eq\r(2）∶4，所以原图形的面积为eq\r(2），故选C.1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(）A．16 B．64C．16或64 D．无法确定答案C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的(）答案C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1。3．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形,则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案5eq\r（2）解析该矩形直观图的面积为eq\f(\r（2),4)×5×4＝5eq\r（2).4。画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示,画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．（2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝eq\f(1,2）OD；过E′作E′C′∥y′轴,使E′C′＝eq\f（1，2)EC。连接D′C′，B′C′.（3)擦去坐标轴及B′E′，E′C′，则所求四边形OBCD的直观图如图③所示．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置,可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°。(2)二测:在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变,纵折半”．3．中心投影的投射线相交于一点,中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．一、选择题1．给出以下说法，其中不正确的是________．①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形;④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．A．①② B．②③C．③④ D．①④答案A解析由斜二测画法规则可知①②不正确，故选A。2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(）A．90°，90° B．45°,90°C．135°，90° D．45°或135°,90°考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案D解析根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°。3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案C解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论．4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(）答案C解析设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法在直角坐标系中先做出对应的A点和B点，再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变,作出原图可得C。5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m,10m，四棱锥的高为8m．如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm，1.6cmB．4cm，0。5cm,2cm,1.6cmC．4cm,0。5cm,2cm,0.8cmD．4cm，0。5cm，1cm,0.8cm答案B解析由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合直观图,图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1。6cm.6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（)A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形答案B解析由直观图的性质知B正确．7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（）考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案A解析直观图中正方形的对角线长为eq\r(2），故在平面图形中平行四边形的高为2eq\r(2)，只有A项满足条件，故A正确．8。用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,边AB平行于y轴,边BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2）cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为(）A．4cm2B．4eq\r(2）cm2C．8cm2D．8eq\r(2）cm2答案C解析依题意可知,∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上，下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD高的2eq\r(2)倍,所以原平面图形的面积为8cm2。二、填空题9．在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．答案（4,2）解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为（4,2)．10．如图所示,四边形OABC是上底为2，下底为6,底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则直观图梯形的高为________cm。答案eq\f(\r（2）,2)解析作CD，BE⊥OA于点D,E，则OD＝EA＝eq\f(OA－BC,2)＝2,∴OD＝CD＝2，∴直观图中梯形的高为eq\f(1，2)×2×eq\f（\r（2）,2）＝eq\f（\r（2）,2）（cm)．11。如图所示，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0）,A(2，4），B（4，0)，C(4，－2），则该图形直观图的面积为________．答案3eq\r(2）解析由S原＝eq\f（1,2)×4×(4＋2)＝12，则S直＝eq\f（\r（2）,4）S原＝eq\f(\r（2)，4)×12＝3eq\r(2).三、解答题12．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm,∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．解画法：（1）如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.（2）在图a中，过D点作DE⊥x轴,垂足为E。在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f（3，2)eq\r（3）≈2。598cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝eq\f(1，2)ED＝eq\f(1，2）×eq\f(3，2)＝0。75cm，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm。（3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．13．画出一个正三棱台的直观图．（尺寸:上、下底面边长分别为1cm，2cm，高为2cm）解(