2018-2019数学新学案同步必修二人教B版全国通用版讲义：第二章 平面解析几何初步2.2.3 第1课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2.3两条直线的位置关系第1课时两条直线相交、平行与重合的条件学习目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2。能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合。3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点两条直线相交、平行与重合的条件思考1直线l1：2x＋3y－6＝0与直线l2:3x＋2y＋6＝0的位置关系是怎样的?答案由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6＝0，，3x＋2y＋6＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－6，,y＝6。））∴l1与l2相交．思考2直线l3：2x＋3y－2＝0与直线l4：4x＋6y＋3＝0的位置关系是怎样的?答案eq\f（2，4)＝eq\f(3,6)≠eq\f（－2,3）,∴l3∥l4。梳理两条直线相交、平行与重合的判定方法（1）代数法两条直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2:A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0））的解进行判断（如表所示）：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f（B1,B2）≠eq\f（C1,C2)（A2B2C2≠0）有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f（B1,B2)（A2B2≠0）有无数个解重合无数个交点A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1,A2）＝eq\f（B1,B2）＝eq\f(C1，C2)(A2B2C2≠0)（2)几何法设直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则：①l1与l2相交⇔k1≠k2;②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．（√）2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(×）类型一两条直线位置关系的判定例1判断下列各组中两条直线的位置关系．(1）l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0;（2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝eq\f(x,3)＋eq\f(2,3）；(3）l1:(eq\r(2)－1）x＋y＝3，l2：x＋（eq\r(2)＋1）y＝2；（4）l1：x＝5,l2：x＝6.解(1）A1＝3,B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1.因为eq\f（A1,A2）≠eq\f（B1,B2）,所以l1与l2相交．(2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4；把l2化为x－3y＋2＝0，所以A2＝1,B2＝－3,C2＝2.因为eq\f(A1,A2)＝eq\f（B1,B2）＝eq\f(C1,C2)，所以l1与l2重合．（3)A1＝eq\r(2)－1，B1＝1,C1＝－3;A2＝1,B2＝eq\r（2）＋1，C2＝－2.因为eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1，B2）≠eq\f(C1,C2),所以l1与l2平行．（4)A1＝1,B1＝0，C1＝－5；A2＝1，B2＝0，C2＝－6，因为A1B2－A2B1＝0，而A2C1－A1C2≠0,所以l1与l2平行．反思与感悟两条直线位置关系的判定方法设两条直线的方程分别为l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1）若A1B2－A2B1≠0或eq\f（A1，A2)≠eq\f(B1,B2）（A2，B2≠0)，则两直线相交．(2)若A1A2＋B1B2＝0，则两直线相互垂直．（3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或(B1C2－B2C1≠0)或eq\f（A1，A2)＝eq\f(B1,B2）≠eq\f（C1,C2）（A2B2C2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1已知两直线l1：x＋my＋6＝0,l2:（m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2:(1）相交?（2）平行？(3)重合？解因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2）x＋3y＋2m＝0，所以A1＝1，B1＝m，C1＝6,A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m。(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m（m－2)≠0，即m2－2m－3≠0，所以（m－3）（m＋1)≠0，解得m≠3且m≠－1。故当m≠3且m≠－1时，直线l1与l2相交．（2)若l1∥l2，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，，B1C2－B2C1≠0，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3－mm－2＝0，，2m2－18≠0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，，m2≠9，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，，m≠3且m≠－3，)）所以m＝－1.故当m＝－1时，直线l1与l2平行．(3)若l1与l2重合，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,，B1C2－B2C1＝0,)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3－mm－2＝0，,2m2－18＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3或m＝－1，，m＝3或m＝－3.))所以m＝3。故当m＝3时，直线l1与l2重合．类型二两条直线平行的应用例2（1）求过点A(1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程;(2）求过点P(3,2)且与经过点A(0，1)，B（－2，－1）的直线平行的直线方程．解（1）方法一已知直线的斜率为－eq\f（2,3），∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－eq\f（2,3）.由点斜式,得所求直线的方程为y＋4＝－eq\f（2,3）（x－1），即2x＋3y＋10＝0.方法二设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0（λ≠5)．∵l经过点A(1，－4)，∴2×1＋3×(－4）＋λ＝0，解得λ＝10，∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0。（2）经过点A（0，1),B(－2，－1）的直线的斜率为k＝eq\f(1－－1，0－－2)＝1。∵所求直线经过点P(3，2），∴所求直线方程为y－2＝x－3即x－y－1＝0.反思与感悟（1）求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m（m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值．(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C）,代入已知条件求出m即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为eq\f(5,6），求直线l的方程．解设直线l的方程为2x＋3y＋C＝0,令x＝0，得y＝－eq\f（C,3），令y＝0，得x＝－eq\f(C,2)。由题意，得－eq\f（C，3)－eq\f(C，2）＝eq\f(5，6），解得C＝－1.所以直线的方程为2x＋3y－1＝0.

类型三两条直线的交点问题例3求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程．解方法一解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋8＝0,，x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，)）∴直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为（－1，－2)．又直线l经过原点，∴直线l的方程为eq\f(y－0,－2－0)＝eq\f(x－0，－1－0），即2x－y＝0.方法二设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直线过原点（0,0），∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0,即2x－y＝0.反思与感悟利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0,ax＋3y－5＝0只有两个不同的交点，则a＝________.答案3或－6解析当直线ax＋3y－5＝0与x＋y＋1＝0平行时，a＝3.当直线ax＋3y－5＝0与2x－y＋8＝0平行时，eq\f（a，2)＝eq\f(3，－1）≠eq\f（－5,8），得a＝－6,∴a＝3或a＝－6。1．直线Ax＋4y－1＝0与直线3x－y－C＝0重合的条件是（）A．A＝12，C≠0 B．A＝－12，C＝eq\f(1,4）C．A＝－12，C≠－eq\f(1,4） D．A＝－12，C＝－eq\f（1，4）答案D解析由l1与l2重合，则eq\f(A，3）＝eq\f（4,－1)＝eq\f(－1,－C),从而A＝－12，C＝－eq\f（1，4)。2．直线2x－y＋k＝0和直线4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合答案C解析当k＝eq\f（1,2）时，两直线重合，当k≠eq\f(1,2）时，两直线平行．3．已知过点A（－2，m)和B（m,4）的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(）A．－8 B．0C．2 D．10答案A解析由－2＝eq\f(4－m，m－－2），得m＝－8.4．过点(－1，－3)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为________________________．答案2x＋y＋5＝0解析设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，将点(－1，－3)代入方程，2×（－1)－3＋C＝0，得C＝5。∴直线方程为2x＋y＋5＝0.5．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1),B（1，0），C（4,3)，求顶点D的坐标．解设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC,kAD＝kBC.所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（0－1，1－0）＝\f（3－n，4－m），，\f(n－1，m－0)＝\f（3－0，4－1），)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3,，n＝4.)）所以点D的坐标为（3,4）．两条直线相交、平行与重合的条件两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系,可以用方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（A2C1－A1C2≠0）或eq\f(A1,A2）＝eq\f（B1,B2）≠eq\f(C1，C2）（A2B2C2≠0）有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2）≠eq\f(B1,B2）(A2B2≠0）有无数个解重合无数个交点A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f（B1，B2)＝eq\f(C1,C2）（A2B2C2≠0)一、选择题1．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是（)A．－24 B．6C．±6 D．以上都不对答案C解析联立两条直线的方程，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，）)解得x＝eq\f（k2－36，3＋2k）.∵两直线的交点在y轴上,∴eq\f(k2－36，3＋2k）＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意）．2．已知直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则m的值等于（)A．－18 B．－2C．2 D．18答案C解析由eq\f(3，6)＝eq\f（1,m）≠eq\f（－3,1）,得m＝2。3．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．ax－ay－a＝0D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0答案B解析根据两直线平行的判定条件知，A不正确，B正确，对于C、D，当a≠0时,ax－ay－a＝0与直线x－y－1＝0重合；当a＝0时，ax－ay－a＝0不是直线方程．4．过点A(4，a)和点B(5,b）的直线与y＝x＋m平行,则|AB|的值为()A．6 B。eq\r(2）C．2 D．不能正确答案B解析由kAB＝1，得eq\f（b－a,1)＝1，∴b－a＝1。∴｜AB｜＝eq\r（5－42＋b－a2)＝eq\r（1＋1）＝eq\r（2)。5．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(）A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0答案B解析∵与直线4x＋3y－3＝0平行，∴A，D不正确．对于C选项，直线过eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(21，2),0）），（0,14)两点,则直线过第一象限．∴C不正确,故选B.6．当0＜k＜eq\f(1,2）时,直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，，ky－x＝2k,））得两直线的交点坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1），\f（2k－1,k－1）））.因为0＜k＜eq\f(1，2）,所以eq\f(k，k－1)＜0,eq\f（2k－1，k－1)＞0，所以交点在第二象限．7．方程(a－1）x－y＋2a＋1＝0（a∈R）所表示的直线()A．恒过定点(－2，3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2，3）和点(2,3）D．都是平行直线答案A解析（a－1）x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a（x＋2）＝0,由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－x－y＋1＝0，，x＋2＝0，)）得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,,y＝3.））8．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2,k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根,则k1＋k2＋k3的值是()A．1B.eq\f（3,2)C.eq\f（7,2）D．1或eq\f(7,2)答案D解析由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k1＝－\f(1，2）,，k3＝2)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2,，k3＝－\f(1，2）。））又l1∥l2，所以k1＝k2,所以k1＋k2＋k3＝1或eq\f（7，2)。二、填空题9．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为______________．答案8x＋16y＋21＝0解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－5y－10＝0,，x＋y＋1＝0，））得交点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5，8），－\f（13,8）))。又l3的斜率为－eq\f（1，2），∴所求直线方程为y＋eq\f(13，8)＝－eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（5,8）)),即8x＋16y＋21＝0。10．已知直线l1：（k－3）x＋(4－k）y＋1＝0与直线l2：2(k－3）x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．答案3或5解析当k＝3时,两条直线平行；当k＝4时,两条直线不平行．当k≠3且k≠4时,由两直线平行,斜率相等,得eq\f(3－k，4－k)＝k－3，解得k＝5。∴k＝3或5.11．已知直线l1经过点A（0,－1)和点B(－eq\f（4,a）,1），直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2），若l1与l2没有公共点,则实数a的值为________．答案－6解析由题意，得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝eq\f(2,－\f（4，a))＝－eq\f(a，2），kMN＝eq\f（－2－1,0－1）＝3，∴－eq\f(a，2）＝3，∴a＝－6。三、解答题12．已知两直线l1:mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使：(1)l1与l2相交于点P（m，－1）;(2)l1∥l2.解（1)∵直线l1与l2相交于点P(m，－1）,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，)）∴m＝1，n＝7。（2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4。由8×（－1)－n·m≠0,n≠－eq\f（8，m)，即当m＝4，n≠－2时,或当m＝－4，n≠2时，l1∥l2。13．是否存在实数a,使三条直线：l1:ax＋y＋1＝0，l2:x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0围成一个三角形?并说明理由．解①当eq\f(a,1)＝eq\f(1,a）≠eq\f(1，1)时，l1∥l2，解得a＝－1；②当eq\f(a，1)＝eq\f（1，1)≠eq\f（1，a)时，l1∥l3，无解；③当eq\f（1,a)＝eq\f（1，1）≠eq\f（a，1）时,l2∥l3，无解;④当l1与l2，l3相交于同一点时，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋ay＋1＝0，,x＋y＋a＝0,））得交点（－1－a,1)，将其代入ax＋y＋1＝0，得a＝－2或a＝1.故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．四、探究与