2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第三章 直线与方程3.2.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程学习目标1。了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程。2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3。会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题。知识点一直线的点斜式方程思考1如图，直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x,y应满足什么关系？答案由斜率公式得k＝eq\f(y－y0,x－x0)，则x,y应满足y－y0＝k（x－x0）。思考2经过点P0(x0,y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.梳理点斜式已知条件点P（x0，y0）和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案将k及点（0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b。思考2方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零。梳理斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在对于直线l1:y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.1。对直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）也可写成k＝eq\f(y－y0，x－x0)。（×)2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)。(√)3。直线y＝kx－b在y轴上的截距为b。(×)类型一直线的点斜式方程例1（1）直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1，3）逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________。考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案y－3＝－eq\f(1,2）(x－1）解析由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直,则直线l的斜率为－eq\f(1,2).由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－eq\f(1，2）（x－1).

（2)一直线l1过点A（－1,－2)，其倾斜角等于直线l2:y＝eq\f(\r（3），3）x的倾斜角的2倍,则l1的点斜式方程为________.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案y＋2＝eq\r(3）(x＋1）解析∵直线l2的方程为y＝eq\f(\r(3），3)x，设其倾斜角为α,则tanα＝eq\f(\r（3）,3),∴α＝30°.那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，∴l1的点斜式方程为y＋2＝tan60°（x＋1），即y＋2＝eq\r(3)（x＋1).反思与感悟(1)求直线的点斜式方程（2）点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0,y0）的所有直线,但直线x＝x0除外。跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程.(1）经过点A（2,5），且与直线y＝2x＋7平行；(2）经过点C（－1，－1），且与x轴平行；(3)经过点D(1，2），且与x轴垂直;(4)经过点P(－2,3），Q(5,－4)两点.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程解（1）由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2（x－2).(2）由题意知，直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0。（3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x＝1,该直线没有点斜式方程。（4)kPQ＝eq\f（3－－4，－2－5）＝－1,所以该直线的点斜式方程为y－3＝－（x＋2).类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________。考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程答案y＝eq\r(3）x＋3或y＝eq\r（3)x－3解析∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r（3)，∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线的斜截式方程是y＝eq\r(3）x＋3或y＝eq\r（3)x－3。（2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程解由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.由题意知,l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2。由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2。引申探究本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等"改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”,求l的方程。解∵l1⊥l,直线l1:y＝－2x＋3，∴l的斜率为eq\f（1，2）。∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝eq\f（1，2)x＋2.反思与感悟（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时,y＝b表示与x轴平行（或重合)的直线.(2）截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横（纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.程.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程解设直线方程为y＝eq\f（1，6）x＋b，则当x＝0时，y＝b;当y＝0时，x＝－6b。由已知可得eq\f（1,2）·｜b｜·|－6b｜＝3，即6|b｜2＝6，∴b＝±1.故所求直线l的斜截式方程为y＝eq\f(1，6）x＋1或y＝eq\f(1,6)x－1。类型三平行与垂直的应用例3（1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝（2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直?考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用解（1）由题意可知，＝－1，＝a2－2，∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2－2＝－1，,2a≠2，）)解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1:y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行。(2）由题意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1,解得a＝eq\f(3，8）.故当a＝eq\f(3，8）时，直线l1：y＝（2a－1）x＋3与直线l2:y＝4x－3垂直。反思与感悟设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2，那么:（1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)两条直线重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。跟踪训练3已知直线l：y＝（a2－2)x＋2a＋9与直线y＝－eq\f(1,2)x＋1垂直，且与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，求a的值.考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用解由题意知(a2－2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)）)＝－1，解得a＝±2.∴当a＝2时，直线l:y＝2x＋13；当a＝－2时,直线l：y＝2x＋5.又直线l与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，∴a＝－2.1.方程y＝k（x－2)表示(）A。通过点（－2,0）的所有直线B。通过点(2,0）的所有直线C。通过点(2,0）且不垂直于x轴的所有直线D。通过点（2,0）且除去x轴的所有直线考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案C解析易验证直线通过点（2,0），又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴。2。直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限,则有(）A.k〉0，b>0 B。k>0,b<0C。k<0，b〉0 D.k〈0,b<0考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k〉0,b<0。3。已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的点斜式方程为____________.考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案y－1＝eq\f(1，2)(x－2)解析由x－4y＋3＝0，得y＝eq\f(1,4）x＋eq\f(3,4)，其斜率为eq\f（1,4），故所求直线l的斜率为eq\f(1，2)，又直线l过点P(2,1），所以直线l的点斜式方程为y－1＝eq\f(1,2）(x－2）。4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝（a2＋1）x＋3，若l1∥l2，则a＝________.考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案－1解析因为l1∥l2，所以a2＋1＝2,a2＝1,所以a＝±1。又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1。5。已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________。考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案4解析直线l的方程可化为y＝（m－1)x＋2m－1,∴2m－1＝7，得m＝4.1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略(2）直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单,而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断。一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为(）A．y－2＝－eq\f（\r（3)，3）（x＋4）B．y－(－2）＝－eq\f（\r(3）,3）（x－4）C．y－（－2）＝eq\f(\r（3）,3）（x－4)D．y－2＝eq\f（\r(3)，3）(x＋4）考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案B解析由题意知k＝tan150°＝－eq\f（\r(3）,3)，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－eq\f（\r（3)，3)(x－4）．3.直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为（)A。a＋b B.2a－bC.b－2a D。｜2a－b｜考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案C4.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为（）A.y＝eq\f（1，2）x＋4 B.y＝2x＋4C。y＝－2x＋4 D.y＝－eq\f(1，2)x＋4考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程答案D解析由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4,又由2k＝－1，得k＝－eq\f(1,2),∴所求直线方程为y＝－eq\f（1,2）x＋4。5.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为(）A.y＝－eq\f(1，3）x＋eq\f（1，3） B。y＝－eq\f（1，3)x＋1C。y＝3x－3 D.y＝eq\f(1,3)x＋1考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案A解析将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－eq\f（1,3）x,再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－eq\f(1,3)(x－1)，即y＝－eq\f(1，3)x＋eq\f(1，3）。6。如果直线y＝－eq\f（1,2a）x＋eq\f(1,2a）与直线y＝eq\f(3a－1，4a)x－eq\f（1，4a)平行，则a等于（)A。0B。－eq\f(1，3）C.0或－eq\f（1，3）D。0或1考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案B解析由题意知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,－\f(1,2a）＝\f(3a－1,4a)，，\f（1,2a)≠－\f（1，4a），））解得a＝－eq\f（1，3）.7。下列四个结论：①方程k＝eq\f(y－2，x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；②直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为（)A。1 B.2C。3 D。4考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案B解析①中方程：k＝eq\f（y－2，x＋1）中x≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，①④错误,②③正确。8。直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案D解析对于A,由l1得a>0，b〈0，而由l2得a〉0，b〉0，矛盾；对于B，由l1得a〈0,b>0，而由l2得a〉0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0,b<0，而由l2得a〈0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0,b>0，而由l2得a>0,b>0.故选D.二、填空题9。在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________。考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程答案y＝eq\r（3)x－6或y＝－eq\r（3）x－6解析因为直线与y轴相交成30°角,所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为eq\r（3)或－eq\r（3），又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝eq\r（3)x－6或y＝－eq\r（3）x－6.10。已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限,则k的取值范围为________。考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2），＋∞））解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0,,3－2k≤0，））得k≥eq\f(3，2）。

11。若原点在直线l上的射影是P（－2,1），则直线l的点斜式方程为______________.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案y－1＝2（x＋2）解析∵直线OP的斜率为－eq\f（1,2），又OP⊥l，∴直线l的斜率为2，∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x＋2).12。斜率为eq\f（3,4），且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线的斜截式方程是________.考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案y＝eq\f（3，4)x±3解析设所求直线的斜截式方程为y＝eq\f（3,4)x＋b，令y＝0，得x＝－eq\f（4b,3)，由题意得|b|＋eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－\f（4，3)b）)＋eq\r（b2＋\f（16b2，9））＝12，即｜b|＋eq\f(4，3）｜b｜＋eq\f(5,3）｜b|＝12，∴4|b｜＝12,∴b＝±3，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\f（3,4)x±3.三、解答题13．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程．考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用解由题意知,直线l的斜率为eq\f(3,2),故设直线l的方程为y＝eq\f（3，2)x＋b，l在x轴上的截距为－eq\f(2,3)b,在y轴上的截距为b，所以－eq\f（2，3)b－b＝1，b＝－eq\f（3，5)，所以直线l的斜截式方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(3,5）.四、探究与拓展14。将直线y＝x＋eq\r(3）－1绕其上面一点（1，eq\r（3))沿逆时针方向旋转15