2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.3直线与平面平行的性质学习目标1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。2。结合具体问题体会转化与化归的数学思想．知识点直线与平面平行的性质思考1如图，直线l∥平面α,直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么?答案不一定，因为还可能是异面直线．思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个．a∥b.梳理线面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言1．若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.(×)2．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．(×）3．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(×）类型一有关线面平行性质定理的证明例1如图所示,在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形,AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH。考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点,∴AP∥OM。又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.引申探究本例条件不变，求证：GH∥平面PAD.证明由例1证得AP∥GH。又AP⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD。反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤（2）运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行．跟踪训练1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体,求证：截面MNPQ是平行四边形．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ。同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．类型二与线面平行性质定理有关的计算例2如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形，且PA＝3，点F在棱PA上,且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算解过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O,连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF,FD⊂平面BDF,所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF,EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE,所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF,又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC，所以FO∥CG，又O为AC的中点，所以F为AG的中点,所以FG＝GP＝1，所以E为PD的中点,PE∶ED＝1∶1。引申探究若本例中增加条件“M是PB的中点”，试作出平面ADM与四棱锥P－ABCD的侧面PBC和PCD的交线，并说明理由．解取PC的中点N，连接MN，ND，即为所求．理由如下：设平面ADM与PC相交于点N，连接MN，DN，因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，又AD⊂平面ADM,平面ADM∩平面PBC＝MN,所以AD∥MN，所以MN∥BC，又M为PB的中点，所以N为PC的中点，交线即MN，ND.反思与感悟利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点(1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．（3）利用所得关系计算求值．跟踪训练2如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算解∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴EF＝eq\f(1，2)AC＝eq\f(1,2）×2eq\r（2）＝eq\r(2）。1．在梯形ABCD中,AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行 B．平行或异面C．平行或相交 D．异面或相交考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案B解析由AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α，得CD∥α,所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b,c,…，那么这些交线的位置关系为（)A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案A解析因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c,…，所以a∥b∥c∥…,故选A.3．如图所示,在空间四边形ABCD中,点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4,又点H，G分别为BC,CD的中点,则（）A．BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案B解析由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝eq\f(1，5）BD，又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点,∴HG∥BD且HG＝eq\f(1，2)BD，∴EF∥HG且EF≠HG，故选B.4．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝______.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案5解析因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5。5．如图所示,过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1，CC1⊂平面CDD1C1，∴BB1∥平面CDD1C1。又BB1⊂平面BEE1B1,且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1。1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．一、选择题1．如图,已知S为四边形ABCD外一点,点G,H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则（）A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案B解析因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行,故选B.2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线(）A．只有一条,不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案C解析由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C。3．对于直线m,n和平面α，下列命题中正确的是（）A．如果m⊂α，n⊄α,m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m,n是异面直线,那么n与α相交C．如果m⊂α,n∥α，m,n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案C解析由线面平行的性质定理知C正确．4．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H,则GH与AB的位置关系是（)A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH。又∵EF∥AB，∴GH∥AB.5．在空间四边形ABCD中,E，F,G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是()A．E，F，G,H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案D解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD,且BF∶FC＝DG∶GC。6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(）A.eq\f（\r(2），2) B。eq\f（\r（3），2)C．1 D。eq\r（2）考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案A解析如图，连接AD1,AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1,∴PQ＝eq\f（1，2)AB1＝eq\f(1，2)eq\r（12＋12)＝eq\f（\r（2），2）。7。如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，点E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(）A．2＋eq\r（3) B．3＋eq\r(3）C．3＋2eq\r（3) D．2＋2eq\r(3)考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案C解析∵CD∥AB,CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB,∴AB∥EF.∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，∴EF＝eq\f(1，2）AB＝1，又DE＝CF＝eq\r(3），∴四边形DEFC的周长为3＋2eq\r（3)。二、填空题8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f（a，3),过P,M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________。考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案eq\f（2\r（2)，3)a解析∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC＝PQ,∴MN∥PQ,易知DP＝DQ＝eq\f（2a,3），故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r（2)DP＝eq\f（2\r(2)a,3)。9．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有_____条．考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案0或1解析过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b,则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．10。如图，已知A，B，C，D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α＝E,AD∩α＝F，BD∩α＝H,BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案平行四边形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB。同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α,平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．11．如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案4eq\r(5）＋6eq\r（2）解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r（5）＋6eq\r(2).三、解答题12．如图,四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F,求证:四边形BCFE是梯形．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD。∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF。∵AD＝BC,AD≠EF，∴BC≠EF,∴四边形BCEF是梯形．13.如图,已知E,F分别是菱形ABCD中边BC,CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外,M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF,试求PM∶MA的值．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算解如图，连接BD交AC于点O1，连接OM。因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF＝OM，PC⊂平面PAC，所以PC∥OM，所以eq\f(PM，PA)＝eq\f（OC,AC）.在菱形ABCD中,因为E,F分别是边BC,CD的中点，所以eq\f(OC，O1C)＝eq\f(1，2）。又AO1＝CO1，所以eq\f（PM，PA）＝eq\f(OC，AC）＝eq\f（1,4），故PM∶M