第十二章稳恒电流的磁场课件

第十二章稳恒电流的磁场

◆教学基本要求1.掌握磁感应强度的概念。理解毕奥·萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。2.理解磁场高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。3.理解安培定律和洛伦兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电场和均匀磁场中的受力和运动。4.了解介质的极化、磁化现象及其微观解释。了解铁磁质的特性。了解各向同性介质中D和E、H和B之间的关系和区别。了解介质中的安培环路定理。第十二章稳恒电流的磁场

◆教学基本要求1.掌握磁感应强度2.1毕奥–萨伐尔定律一.磁现象及其本质1.一般磁现象(1)磁铁两极:N极,S极;不可分;同极斥,异极吸.(2)地磁小磁针:N指北,S指南.地磁N极在南,地磁S极在北.(3)电流与磁铁的相互作用电流对磁铁有作用力,磁铁对电流有作用力.(4)电流与电流的相互作用两平行电流间,两圆电流间,两螺旋管间.2.结论磁铁电流磁铁电流力力(1)作用力方向随磁极的不同及电流方向的不同而不同.(2)作用力大小的强弱,位置,方向有关与磁极和电流3.磁现象的本质(1)螺线管电流等效条形磁铁INS(2)分子电流的假说分子电流NS(3)磁现象的本质运动电荷磁场运动电荷2.1毕奥–萨伐尔定律2.1毕奥–萨伐尔定律一.磁现象及其本质1.一般磁现象(1(1)作用力方向随磁极的不同及电流方向的不同而不同.(2)作用力大小的强弱,位置,方向有关与磁极和电流3.磁现象的本质(1)螺线管电流等效条形磁铁INS(2)分子电流的假说分子电流NS(3)磁现象的本质运动电荷磁场运动电荷2.1毕奥–萨伐尔定律运动电荷既激发电场(库仑场),又激发磁场.(4)磁场的物质性①对运动电荷(电流)作用力;②磁场使其中的物资磁化;③磁场有能量,动量,质量.二.磁感应强度B描述磁场强弱的物理量.1.三种定义方式①小磁针在磁场中受力;②载流线圈在磁场中受力矩;③运动点电荷在磁场中受力.2.运动点电荷在磁场中受力实验表明:运动电荷q在磁场中(1)当v与特定方向平行时,运动电荷q不受力,其它情况均受力;(2)运动点电荷q所受磁力Fz(1)作用力方向随磁极的不同及电流方向的不同而不同.(2)作运动电荷既激发电场(库仑场),又激发磁场.(4)磁场的物质性①对运动电荷(电流)作用力;②磁场使其中的物资磁化;③磁场有能量,动量,质量.二.磁感应强度B描述磁场强弱的物理量.1.三种定义方式①小磁针在磁场中受力;②载流线圈在磁场中受力矩;③运动点电荷在磁场中受力.2.运动点电荷在磁场中受力实验表明:运动电荷q在磁场中(1)当v与特定方向平行时,运动电荷q不受力,其它情况均受力;(2)运动点电荷q所受磁力F方向:垂直于速度v与该特定方向组成的平面;改变q符号,F反向;y大小:与q和v

的积成正比;与v同该特定方向夹角正旋值成正比.xz–vF特定方向q特定方向vFxyzq+以运动的正试验电荷q0

在磁场中受力定义B3.磁感应强度B的定义(1)大小B=Fmax/(q0v)(2)方向①零磁力时的速度方向;2.1毕奥–萨伐尔定律运动电荷既激发电场(库仑(4)磁场的物质性①对运动电荷(方向:垂直于速度v与该特定方向组成的平面;改变q符号,F反向;xyz–vF特定方向q大小:与q和v

的积成正比;与v同该特定方向夹角正旋值成正比.特定方向vFxyzq+以运动的正试验电荷q0

在磁场中受力定义B3.磁感应强度B的定义(1)大小B=Fmax/(q0v)(2)方向①零磁力时的速度方向;2.1毕奥–萨伐尔定律②F,v,B成右手螺旋.(3)运动电荷受力的数学表达F=qv×B4.单位国际单位(SI):T(特斯拉)1T=N/(C·m/s)=1N/(A·m)1.电流元Idl激发的磁场dB三.毕奥–萨伐尔定律电流与其产生磁场的关系.dB的大小:dB=μ0Idlsinθ/(4πr2)dB的方向:满足Idl,r,dB

成右手螺旋关系.θIrIdldB

⊗4πμ0Idl×rr3dB=μ0/(4π)是当B用国际单位制时而引进的常数,0为真空方向:垂直于速度v与该特定方向组成的平面;改变q符号,F②F,v,B成右手螺旋.(3)运动电荷受力的数学表达F=qv×B4.单位国际单位(SI):T(特斯拉)1T=N/(C·m/s)=1N/(A·m)θ1.电流元Idl激发的磁场dB三.毕奥–萨伐尔定律电流与其产生磁场的关系.IPrIdldB的大小:dB=μ0Idlsinθ/(4πr2)dB的方向:满足Idl,r,dB

成右手螺旋关系.dB

⊗4πμ0Idl×rr3dB=μ0/(4π)是当B用国际单位制时而引进的常数,0为真空B=∫dB=2.磁场叠加原理独立性,叠加性4πμ0Idl×rr33.运动电荷激发的磁场中磁导率.0=4×10–7N·A–2Idl激发磁场是导线dl中所有载流子(载流子数dN=nSdl)激发磁场B的矢量和:dB=B

dN当q>0,Idl与v同向vISvdt+++++=qnvdtS/dtI=dQ/dt=qnvS4πμ0Idl×rr3dB=4πμ0qnvSdl×rr3=2.1毕奥–萨伐尔定律②F,v,B成右手螺旋.(3)运动电荷受力的数学表达F=qB=∫dB=2.磁场叠加原理独立性,叠加性4πμ0Idl×rr33.运动电荷激发的磁场中磁导率.0=4×10–7N·A–2Idl激发磁场是导线dl中所有载流子(载流子数dN=nSdl)激发磁场B的矢量和:dB=B

dN当q>0,Idl与v同向vISvdt+++++=qnvdtS/dtI=dQ/dt=qnvS4πμ0Idl×rr3dB=4πμ0qnvSdl×rr3=2.1毕奥–萨伐尔定律4πμ0qv×rr3B=当q<0,Idl与v反向I=–qnvSvdl=– dlv4πμ0Idl×rr3dB=4πμ0–qnvSdl×rr3=4πμ0qnSdlv×rr3=4πμ0qv×rr3=dNB

⊗运动电荷激发磁场B为vPrB的大小θB=μ0qvsinθ/(4πr2)B的方向:q>0,+qB与v×r同向q<0,vPrθ¯qB与v×r反向B

⊙4πμ0qnSdlv×rr3=4πμ0qv×rr3=dNB=∫dB=2.磁场叠加原理独立性,叠加性4πμ0Idl×注意:电场E是纵向场,电荷元dq激发的电场dE与源点对场点引的矢径r平行;磁场B是横向场,电荷元dq或电流元Idl激发的磁场dB与源点对场点引的矢径r垂直.这点在计算时务必高度注意!!!4πμ0qv×rr3B=当q<0,Idl与v反向I=–qnvSvdl=– dlv4πμ0Idl×rr3dB=4πμ0–qnvSdl×rr3=4πμ0qnSdlv×rr3=4πμ0qv×rr3=dNB

⊗运动电荷激发磁场B为vPrB的大小θB=μ0qvsinθ/(4πr2)B的方向:q>0,+qB与v×r同向q<0,vPrθ¯qB与v×r反向B

⊙例1.长直载流导线激发的磁场.θOzyx4πr3μ0IdB=用矢量叉乘解I解:取坐标系如图取电流元Idl=IdyIdl4πμ0Idl×rr3dB=rdBaPdl=dyjr=ai–yjijk0dy0a–y04πr3μ0Iady=–k4πμ0qnSdlv×rr3=4πμ0qv×rr3=dN2.1毕奥–萨伐尔定律注意:电场E是纵向场,电荷元dq4πμ0qv×rr3B=当注意:电场E是纵向场,电荷元dq激发的电场dE与源点对场点引的矢径r平行;磁场B是横向场,电荷元dq或电流元Idl激发的磁场dB与源点对场点引的矢径r垂直.这点在计算时务必高度注意!!!例1.长直载流导线激发的磁场.θOzyx4πr3μ0IdB=用矢量叉乘解I解:取坐标系如图取电流元Idl=IdyIdl4πμ0Idl×rr3dB=rdBaPdl=dyjr=ai–yjijk0dy0a–y04πr3μ0Iady=–k2.1毕奥–萨伐尔定律r=a/sin(π–θ)=a/sinθy=acot(π–θ)=–acotθdy=(a/sin2θ)dθdB=μ0Ia(a/sin2θ)dθ4π(a/sinθ)3=μ0Isinθdθ/(4πa)方向沿z轴负向.直线电流各有电流元产生dB方向均同.B=μ0Isinθdθ/(4πa)B=μ0I(cosθ1–cosθ2)/(4πa)方向沿z轴负向.用分析法解dB的大小dB=μ0Idlsinθ/(4πr2)=μ0I(a/sin2θ)dθsinθ4π(a/sinθ)2注意:电场E是纵向场,电荷元dq例1.长直载流导线激发的磁r=a/sin(π–θ)=a/sinθy=acot(π–θ)=–acotθdy=(a/sin2θ)dθdB=μ0Ia(a/sin2θ)dθ4π(a/sinθ)3=μ0Isinθdθ/(4πa)方向沿z轴负向.直线电流各有电流元产生dB方向均同.B=μ0Isinθdθ/(4πa)B=μ0I(cosθ1–cosθ2)/(4πa)方向沿z轴负向.用分析法解dB的大小dB=μ0Idlsinθ/(4πr2)=μ0I(a/sin2θ)dθsinθ4π(a/sinθ)2=μ0Isinθdθ/(4πa)方向沿z轴负向.(以后步骤略)得出与叉乘法相同的结果.讨论①导线无线长:

θ1=0,θ2=πB=μ0I/(2πa)方向与电流成右手螺旋,大拇指电流方向,四指磁场方向IB②P在延长线:dlⅡr,dl×r=0,B=0③a=0,此时电流不是线电流,公式不适用例2.圆电流在轴线上产生的磁场.2.1毕奥–萨伐尔定律r=a/sin(π–θ)=a/sinθdB=μ0Ia(a/s=μ0Isinθdθ/(4πa)方向沿z轴负向.(以后步骤略)得出与叉乘法相同的结果.讨论①导线无线长:

θ1=0,θ2=πB=μ0I/(2πa)方向与电流成右手螺旋,大拇指电流方向,四指磁场方向IB②P在延长线:dlⅡr,dl×r=0,B=0③a=0,此时电流不是线电流,公式不适用例2.圆电流在轴线上产生的磁场.2.1毕奥–萨伐尔定律方向沿轴线,与I成右手螺旋.写成矢量式=[μ0Idl/(4πr2)]sinθdBIRxP解:取电流元IdlIdl由于Idl⊥r,r有dB=μ0Idlsinθ4πr2=μ0Idl/(4πr2)各电流元Idl

的dB

构成一圆锥面,故要把dB

矢量进行分解,才能积分dB=dBcosθdBdB∥θ考虑对称性,有dB=0dBⅡ=[μ0Idl/(4πr2)]sinθB=dBⅡ=[μ0I2πR/(4πr2)]R/r=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]动画=μ0Isinθdθ/(4πa)方向沿z轴负向.(以后步骤略方向沿轴线,与I成右手螺旋.四.载流线圈的磁矩当载流线圈极小时,就称磁偶极子,故磁矩也称磁偶极矩.与电偶极子的电矩对应.定义:的电流,面积和法向单位量,n与I满足右手螺旋关系.m=ISnpm=ISnnSI式中I,S,n分别为线圈写成矢量式B=nμ0IπR2/[2π(x2+R2)3/2]=μ0pm/[2π(x2+R2)3/2]①x=0(圆心):B=μ0I/(2R)②x>>RB=[μ0/(4π

)]2pm/x3对应于电偶极子在延长线上E=2p/(4πε0x3)激发的电场说明微小载流线圈等效磁偶极子.讨论=[μ0Idl/(4πr2)]sinθdBIRxP解:取电流元IdlIdl由于Idl⊥r,r有dB=μ0Idlsinθ4πr2=μ0Idl/(4πr2)各电流元Idl

的dB

构成一圆锥面,故要把dB

矢量进行分解,才能积分dB=dBcosθdBdB∥θ考虑对称性,有dB=0dBⅡ=[μ0Idl/(4πr2)]sinθB=dBⅡ=[μ0I2πR/(4πr2)]R/r=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]动画2.1毕奥–萨伐尔定律方向沿轴线,与I成右手螺旋.四.载流线圈的磁矩当载流线圈极四.载流线圈的磁矩当载流线圈极小时,就称磁偶极子,故磁矩也称磁偶极矩.与电偶极子的电矩对应.定义:的电流,面积和法向单位量,n与I满足右手螺旋关系.m=ISnpm=ISnnSI式中I,S,n分别为线圈B=nμ0IπR2/[2π(x2+R2)3/2]=μ0pm/[2π(x2+R2)3/2]①x=0(圆心):B=μ0I/(2R)②x>>RB=[μ0/(4π

)]2pm/x3对应于电偶极子在延长线上E=2p/(4πε0x3)激发的电场说明微小载流线圈等效磁偶极子.讨论或2.1毕奥–萨伐尔定律例3.求半径为R

圆心角为θ的圆弧电流在圆心O激发的磁感应强度.IθRO解:取电流元IdlrIdl由于Idl⊥r,有dB=μ0Idl/(4πR2)方向垂直纸面向外dB

⊙各电流元产生dB方向均同,所以B=∫dB=∫l

μ0Idl/(4πR2)=[μ0I/(2R)][θ/(2π)]圆弧电流在圆心激发磁场等于圆电流在圆心激发磁场的θ/(2π)倍.例4.如图,宽为2a的无限长导体薄片,沿长度方向的电流I

在导体薄片上均匀分布.求中心轴线OO上方距导体薄片为a处的磁感强度.四.载流线圈的磁矩当载流线圈极小时,就称磁偶定义:的电流,例3.求半径为R

圆心角为θ的圆弧电流在圆心O激发的磁感应强度.IθRO解:取电流元IdlrIdl由于Idl⊥r,有dB=μ0Idl/(4πR2)方向垂直纸面向外dB

⊙各电流元产生dB方向均同,所以B=∫dB=∫l

μ0Idl/(4πR2)=[μ0I/(2R)][θ/(2π)]圆弧电流在圆心激发磁场等于圆电流在圆心激发磁场的θ/(2π)倍.例4.如图,宽为2a的无限长导体薄片,沿长度方向的电流I

在导体薄片上均匀分布.求中心轴线OO上方距导体薄片为a处的磁感强度.解:取宽为dx的无限长电流元OOIxyzP2aaxyP

IdBdxrdI=Idx/(2a)dB=0dI/(2r)=0Idx/(4ar)dBx=dBcosdBy=dBsindBx=[0Idx/(4ar)](a/r)=0Idx/(4r2)=0Idx/[4(x2+a2)]dBy=0Ixdx/[4a(x2+a2)]Bx={0Idx/[4(x2+a2)]}=[0I/(4)](1/a)arctan(x/a)=0I/(8a)2.1毕奥–萨伐尔定律例3.求半径为R圆心角为θ的圆弧电流在圆心O激发的磁感应强解:取宽为dx的无限长电流元OOIxyzP2aaxyP

IdBdxrdI=Idx/(2a)dB=0dI/(2r)=0Idx/(4ar)dBx=dBcosdBy=dBsindBx=[0Idx/(4ar)](a/r)=0Idx/(4r2)=0Idx/[4(x2+a2)]dBy=0Ixdx/[4a(x2+a2)]Bx={0Idx/[4(x2+a2)]}=[0I/(4)](1/a)arctan(x/a)=0I/(8a)2.1毕奥–萨伐尔定律By={0Ixdx/[4a(x2+a2)]}=[0I/(8a)]ln(x2+a2)=0B=Bx=0I/(8a)

解:取轴线为x轴(与电流成右手螺旋),场点P为原点.例5.载流密绕直螺线管轴线上的磁场.管长为l,半径为R,单位长度的匝数为n,电流为I.RPlx圈在P产生磁场方向沿x轴,每匝线取微元螺线管dx,匝数为ndx大小为B=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]dxθθ2θ1解:取宽为dx的无限长电流元OOIxyzP2aaxyPBy={0Ixdx/[4a(x2+a2)]}=[0I/(8a)]ln(x2+a2)=0B=Bx=0I/(8a)

解:取轴线为x轴(与电流成右手螺旋),场点P为原点.它在P点的磁感强度dB为例5.载流密绕直螺线管轴线上的磁场.管长为l,半径为R,单位长度的匝数为n,电流为I.RPlx圈在P产生磁场方向沿x轴,每匝线取微元螺线管dx,匝数为ndx大小为B=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]dxθθ2θ1dB={μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]}ndx由图知x=Rcotθ,dx=–Rdθ/sin2θ,R2+x2=R2/sin2θcosθ1=x1/(x12+R2)1/2cosθ2=x2/(x22+R2)1/2dB=μ0IR2n(–Rdθ/sin2θ)2(R/sinθ)3=(–1/2)μ0nIsinθdθdB方向都沿x轴,故P点磁场：B=∫dB=–μ0nIsinθdθ/2=μ0nI

(cosθ2–cosθ1)/22.1毕奥–萨伐尔定律By={0Ixdx/[4a(x2+a2)]}=[0它在P点的磁感强度dB为dB={μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]}ndx由图知x=Rcotθ,dx=–Rdθ/sin2θ,R2+x2=R2/sin2θcosθ1=x1/(x12+R2)1/2cosθ2=x2/(x22+R2)1/2dB=μ0IR2n(–Rdθ/sin2θ)2(R/sinθ)3=(–1/2)μ0nIsinθdθdB方向都沿x轴,故P点磁场：B=∫dB=–μ0nIsinθdθ/2=μ0nI

(cosθ2–cosθ1)/22.1毕奥–萨伐尔定律方向沿x轴,即与I成右手螺旋.①P点在中部,B=μ0nI讨论:②P点在端点,当l

>>Rθ2~0,θ1=π/2θ=π/2,θ1~πB=μ0nI/2有θ2~0,θ1~πB中部=2B端点xBμ0nIl>>Rμ0nI/2例6.半径为R

的电荷面密度为的均匀带电薄圆盘,以角速率绕通过盘心垂直盘面的O轴转动,求盘中心处的磁感强度.解:用运动电荷激发磁场计算:它在P点的磁感强度dB为dB={μ0IR2/[2(x2+R2方向沿x轴,即与I成右手螺旋.①P点在中部,B=μ0nI讨论:②P点在端点,当l

>>Rθ2~0,θ1=π/2θ=π/2,θ1~πB=μ0nI/2有θ2~0,θ1~πB中部=2B端点xBμ0nIl>>Rμ0nI/2RωO例6.半径为R

的电荷面密度为的均匀带电薄圆盘,以角速率绕通过盘心垂直盘面的O轴转动,求盘中心处的磁感强度.解:用运动电荷激发磁场计算:取电荷元rdrdθdq=rdθdrdB=μ0dqv/(4πr2)dB均向外,故中心的磁场为B=∫dBμ0σωR2=方向向外,即B与同向.用圆电流中心磁场公式计算取微元细环带dq=2rdr4πμ0qv×rr3B=2.1毕奥–萨伐尔定律方向沿x轴,即与I成右手螺旋.①P点在中部,B=μ0nIRωO取电荷元rdrdθdq=rdθdrdB=μ0dqv/(4πr2)dB均向外,故中心的磁场为B=∫dBμ0σωR2=方向向外,即B与同向.用圆电流中心磁场公式计算取微元细环带dq=2rdr4πμ0qv×rr3B=2.1毕奥–萨伐尔定律B圆盘每转时间T=2π/ω等效圆电流dI=dq/T=σωrdr它在中心产生的磁场为dB=μ0dI/(2r)=μ0σωdr/2中心和磁场为μ0σωR2=方向垂直纸面向外,即B与旋转方向成右手螺旋.例7.如图,半径R的木球上绕有密集细导线,线圈平面彼此平行,且以单层覆盖半球面.设线圈总匝数为N,通过线圈电流I.求球心O的磁感强度.RωO取电荷元rdrdθdq=rdθdrdB均向外,故中心B圆盘每转时间T=2π/ω等效圆电流dI=dq/T=σωrdr它在中心产生的磁场为dB=μ0dI/(2r)=μ0σωdr/2中心和磁场为μ0σωR2=方向垂直纸面向外,即B与旋转方向成右手螺旋.例7.如图,半径R的木球上绕有密集细导线,线圈平面彼此平行,且以单层覆盖半球面.设线圈总匝数为N,通过线圈电流I.求球心O的磁感强度.ORxdIdB解:取宽为dl细圆环电流,

dI=Jdl=[NI/(R/2)]Rd=(2IN/)ddB=0dIr2/[2(r2+x2)3/2]r=Rsinx=RcosdB=0NIsin2d/(R)=0NI/(4R)={0NIsin2d/(R)}B=dB方向沿x轴,即I与成右手螺旋.2.

2磁场的高斯定理2.1毕奥–萨伐尔定律B圆盘每转时间T=2π/ω等效圆电流dI=ORxdIdB解:取宽为dl细圆环电流,

dI=Jdl=[NI/(R/2)]Rd=(2IN/)ddB=0dIr2/[2(r2+x2)3/2]r=Rsinx=RcosdB=0NIsin2d/(R)=0NI/(4R)={0NIsin2d/(R)}B=dB方向沿x轴,即I与成右手螺旋.2.

2磁场的高斯定理2.1毕奥–萨伐尔定律磁感线数密度d/dS

E=d/dS

一.磁感线1.定义其上每点切线都与该点磁场方向重合的一条有指向的曲线.B2.磁场的图示法方向:沿切线正向;大小:用疏密表示.密,E大;dSndS'疏,E小.dS⊥B,即dS

∥B.3.几种特殊磁场的磁感线ORxdIdB解:取宽为dl细圆环电流,=0NI/(4磁感线数密度d/dS

E=d/dS

一.磁感线1.定义其上每点切线都与该点磁场方向重合的一条有指向的曲线.B2.磁场的图示法方向:沿切线正向;大小:用疏密表示.密,E大;dSndS'疏,E小.dS⊥B,即dS

∥B.3.几种特殊磁场的磁感线直线电流的磁感线圆电流的磁感线通电螺线管的磁力线IIII2.2磁场的高斯定理磁感线数密度d/dSE=d/dS一.磁感线1.直线电流的磁感线圆电流的磁感线通电螺线管的磁力线IIII2.2磁场的高斯定理韦伯(Wb)4.磁感线的性质(1)与电流套合的无头无尾的闭合曲线;(2)连续,不相交.二.磁通量

1.定义通过磁场中一给定曲面的磁感线的总条数.2.表达式3.讨论(1)磁通量是标量,不是矢量;(2)计算磁通量时要对面选取法线方向(闭合曲面的法线指向面外).求磁通量大小时一般让n与B的夹角小于π/2.4.单位:1Wb=1T·m2解:直线电流的圆电流的通电螺线管的磁力线IIII2.2磁场的韦伯(Wb)4.磁感线的性质(1)与电流套合的无头无尾的闭合曲线;(2)连续,不相交.二.磁通量

1.定义通过磁场中一给定曲面的磁感线的总条数.2.表达式3.讨论(1)磁通量是标量,不是矢量;(2)计算磁通量时要对面选取法线方向(闭合曲面的法线指向面外).求磁通量大小时一般让n与B的夹角小于π/2.三.高斯定理4.单位:1Wb=1T·m21.表达式过闭合曲面的磁通量由于磁感线是闭合曲线,因此解:进入闭合曲面的磁感线必然穿出该闭合曲面.即通过任意闭合曲面的磁通量为零.

E·dS=02.磁场的一个性质磁场是无源场.例1.在均匀磁场B=3i+2j(SI)中,过yz平面内面积为S的磁通量.=(3i+2j)·(Si)=3S(SI)2.2磁场的高斯定理韦伯(Wb)4.磁感线的性质(1)与电流套合的无头无尾的(2三.高斯定理1.表达式过闭合曲面的磁通量由于磁感线是闭合曲线,因此进入闭合曲面的磁感线必然穿出该闭合曲面.即通过任意闭合曲面的磁通量为零.

E·dS=02.磁场的一个性质磁场是无源场.例1.在均匀磁场B=3i+2j(SI)中,过yz平面内面积为S的磁通量.=(3i+2j)·(Si)=3S(SI)2.2磁场的高斯定理例2.无限长载流导线放在真空中,电流为I,旁有一矩形平面,如图.求过该平面的磁通量.dabI1以下是几种错误解法①取面积微元dS=bdrdrdB=[μ0I/(2πr)]drdΦ=SdB=ab[μ0I/(2πr)]drμ0Iab2πrdrΦ=μ0Iab2πd+adln=②取面积微元dS=bdrdB=[μ0I/(2πr)]drμ0I2πrdrB=μ0I2πd+adln=Φ=BSμ0Iab2πd+adln=三.高斯定理1.表达式过闭合曲面的磁通量由于磁感线是闭合曲线例2.无限长载流导线放在真空中,电流为I,旁有一矩形平面,如图.求过该平面的磁通量.dabI1以下是几种错误解法①取面积微元dS=bdrdrdB=[μ0I/(2πr)]drdΦ=SdB=ab[μ0I/(2πr)]drμ0Iab2πrdrΦ=μ0Iab2πd+adln=②取面积微元dS=bdrdB=[μ0I/(2πr)]drμ0I2πrdrB=μ0I2πd+adln=Φ=BSμ0Iab2πd+adln=③取面积微元dS=bdr解:取面积微元dS=bdrB=μ0I/[2π(d+r)]μ0Ib2πrdrΦ=μ0Ib2πd+adln=dΦ=B·dS={μ0I/[2π(d+r)]}bdrμ0Iab2π(d+r)drΦ=μ0Ib2π2d+a2dln=以下是正确解法B=μ0I/(2πr)dΦ=B·dS=[μ0I/(2πr)]bdr例3.相距d=40cm的两根平行长直2.2磁场的高斯定理例2.无限长载流导线放在真空中,电流为I,旁有一矩形平③取面积微元dS=bdr解:取面积微元dS=bdrB=μ0I/[2π(d+r)]μ0Ib2πrdrΦ=μ0Ib2πd+adln=dΦ=B·dS={μ0I/[2π(d+r)]}bdrμ0Iab2π(d+r)drΦ=μ0Ib2π2d+a2dln=以下是正确解法B=μ0I/(2πr)dΦ=B·dS=[μ0I/(2πr)]bdr例3.相距d=40cm的两根平行长直2.2磁场的高斯定理载流导线1,2放在真空中,电流为I1=I2=I=20A,如图所示.求过图中所示面积的磁通量(r1=r3=r=10cm,r2=20cm,l=25cm.)I2r1r2r3lI1d解:取如图的r坐标;取面积微元dS=bdrrdrB=μ0I/(2πr)+μ0I/[2π(d–r)]dΦ=B·dS={μ0I/(2πr)+μ0I/[2π(d–r)]}ldrμ0Il2πdrΦ=1r1d–r+μ0Il2πd–r3r1ln=d–(d–r3)d–r1ln–③取面积微元dS=bdr解:取面积微元dS=bdrB=μ0I载流导线1,2放在真空中,电流为I1=I2=I=20A,如图所示.求过图中所示面积的磁通量(r1=r3=r=10cm,r2=20cm,l=25cm.)I2r1r2r3lI1d解:取如图的r坐标;取面积微元dS=bdrrdrB=μ0I/(2πr)+μ0I/[2π(d–r)]dΦ=B·dS={μ0I/(2πr)+μ0I/[2π(d–r)]}ldrμ0Il2πdrΦ=1r1d–r+μ0Il2πd–r3r1ln=d–(d–r3)d–r1ln–μ0Ilπd–rrln==2.2×10–6Wb2.3安培环路定理讨论对磁场的环路积分(环流)以无限长直载流导线的磁场为例一.安培环路定理的表述B=μ0I/(2πr)方向与电流成右手螺旋磁感线为以电流为轴一组同心圆.I2.3安培环路定理载流导线1,2放在真空中,电流为I1=I2=I=20A,如图μ0Ilπd–rrln==2.2×10–6Wb2.3安培环路定理讨论对磁场的环路积分(环流)以无限长直载流导线的磁场为例一.安培环路定理的表述B=μ0I/(2πr)方向与电流成右手螺旋磁感线为以电流为轴一组同心圆.I2.3安培环路定理Il环路上B大小等方向与环路同B·dl=[μ0I/(2πr)]dl=μ0I②与电流成反右手螺旋l上B大小等,方向与环路反1.闭合回路包围电流(1)回路是以电流为轴的圆(即与一磁感线重合)①与电流成右手螺旋=–μ0IB·dlμ0Ilπd–rrln==2.2×10–6Wb2.3安培环路Il①与电流成右手螺旋=[μ0I/(2πr)]dl=[μ0I/(2πr)]dlcosθ

=[μ0I/(2π)]dα=μ0I②与电流成反右手螺旋IlBθdαdlIlBdαdlθIl环路上B大小等方向与环路同B·dl=[μ0I/(2πr)]dl=μ0I②与电流成反右手螺旋l上B大小等,方向与环路反B·dlB·dlB·dl=[μ0I/(2πr)]dl=[μ0I/(2πr)]dlcosθ

=–[μ0I/(2π)]dα1.闭合回路包围电流(1)回路是以电流为轴的圆(即与一磁感线重合)①与电流成右手螺旋=–μ0I(2)回路在与垂直电流的平面内,形状任意B·dl2.3安培环路定理Il①与电流成右手螺旋=[μ0I/(2πr)]dl=[μ0IIIllBθdαdl①与电流成右手螺旋=[μ0I/(2πr)]dl=[μ0I/(2πr)]dlcosθ

=[μ0I/(2π)]dα=μ0I②与电流成反右手螺旋IlBdαdlθB·dlB·dlB·dl=[μ0I/(2πr)]dl=[μ0I/(2πr)]dlcosθ

=–[μ0I/(2π)]dα(2)回路在与垂直电流的平面内,形状任意2.3安培环路定理+B·dlB·dl=–μ0I2.闭合回路不包围电流IΔαl1l2abB·dl=B·dl=03.闭合回路包围多条直电流B·dl=(B1+B2+B3+⋯)·dl=B1·dl+B2·dl+B3·dl+⋯当电流Ii被环路l所包围,且与l成右手螺旋时,我们称Ii>0,则积分Bi·dl=μ0Ii故IIllBθdαdl①与电流成右手螺旋=[μ0I/(2πr)+B·dlB·dl=–μ0I2.闭合回路不包围电流IΔαl1l2abB·dl=B·dl=03.闭合回路包围多条直电流B·dl=(B1+B2+B3+⋯)·dl=B1·dl+B2·dl+B3·dl+⋯当电流Ii被环路l所包围,且与l成右手螺旋时,我们称Ii>0,则积分Bi·dl=μ0Ii当电流Ii被环路l所包围,且与l成反右手螺旋时,我们称Ii<0,则积分Bi·dl=–μ0|Ii|故=μ0Ii所以当电流Ii不被环路l所包围时,我们称Ii=0,则积分Bi·dl=0=μ0IiB·dl=μ0ΣIint4.推广(安培环路定理的表述)无限长直电流在无限远闭合,对其磁场的环路积分实际上对闭合电流磁场的环路积分.可以证明:对任意闭合电流I的磁场沿任意环路l的积分为2.3安培环路定理+B·dlB·dl=–μ0I2.闭合回路不包围电流I当电流Ii被环路l所包围,且与l成反右手螺旋时,我们称Ii<0,则积分Bi·dl=–μ0|Ii|=μ0Ii所以当电流Ii不被环路l所包围时,我们称Ii=0,则积分Bi·dl=0=μ0IiB·dl=μ0ΣIint4.推广(安培环路定理的表述)无限长直电流在无限远闭合,对其磁场的环路积分实际上对闭合电流磁场的环路积分.可以证明:对任意闭合电流I的磁场沿任意环路l的积分为2.3安培环路定理①I与l套合,成右手螺旋,I>0;②I与l套合,成左手螺旋,I<0;③I与l不套合,即I在l外或进入l后又穿出l时,I=0.B·dl=μ0IB·dl=μ0ΣIint对磁场B的环路积分等于环路内所包围电流的代数和.5.讨论(1)环路l中的电流必须闭合:①I与l套合,成右手螺旋,I>0;②I与l套合,成左手螺旋,I<0;③I在l外,或进出l时,I=0.(2)B是环路内外所有电流激发当电流Ii被环路l所包围,且与lBi·dl=–μ0|Ii|①I与l套合,成右手螺旋,I>0;②I与l套合,成左手螺旋,I<0;③I与l不套合,即I在l外或进入l后又穿出l时,I=0.B·dl=μ0IB·dl=μ0ΣIint对磁场B的环路积分等于环路内所包围电流的代数和.5.讨论(3)B沿环路积分只与环路内电流有关.(4)如环路积分为零,只能说:ΣIint=0;不能说B=0,ΣI=0(1)环路l中的电流必须闭合:6.磁场的又一性质磁场B是非保守场,是涡旋场.二.安培环路定理的应用定理揭示磁场是涡旋场的物理实质,适用于任何情况.这里用其计算对称性磁场分布.①I与l套合,成右手螺旋,I>0;②I与l套合,成左手螺旋,I<0;③I在l外,或进出l时,I=0.(2)B是环路内外所有电流激发例1.求半径为R电流为I的无限长均匀载流圆柱体激发的磁场.解:电流柱对称,故B柱对称.距轴r等处B大小等,Il2.3安培环路定理①I与l套合,成右手螺旋,I>0;B·dl=μ0IB·dl(3)B沿环路积分只与环路内电流有关.(4)如环路积分为零,只能说:ΣIint=0;不能说B=0,ΣI=06.磁场的又一性质磁场B是非保守场,是涡旋场.二.安培环路定理的应用定理揭示磁场是涡旋场的物理实质,适用于任何情况.这里用其计算对称性磁场分布.例1.求半径为R电流为I的无限长均匀载流圆柱体激发的磁场.解:电流柱对称,故B柱对称.距轴r等处B大小等,Il2.3安培环路定理方向沿切向,与电流成右手螺旋.过场点作与柱电流同轴圆环路(如图).有B·dl=μ0ΣIint2πrB=μ0ΣIint当r<R:ΣIint=[I/(πR2)]πr2=Ir2/R2B=μ0Ir/(2πR2)ΣIint=IB=μ0I/(2π

r)方向垂直轴线,沿切向,并与电流成右手螺旋.ORrμ0I2π

R1/r用安培环路定理求磁场的步骤:(1)分析电流与磁场的对称性;(2)选取合适安培环路(3)B沿环路积分只与环路6.磁场的又一性质磁场B是非保守方向沿切向,与电流成右手螺旋.过场点作与柱电流同轴圆环路(如图).有B·dl=μ0ΣIint2πrB=μ0ΣIint当r<R:ΣIint=[I/(πR2)]πr2=Ir2/R2B=μ0Ir/(2πR2)ΣIint=IB=μ0I/(2π

r)方向垂直轴线,沿切向,并与电流成右手螺旋.ORrμ0I2π

R1/r用安培环路定理求磁场的步骤:(1)分析电流与磁场的对称性;(2)选取合适安培环路(其目的能将写成Bl);(3)用安培环路定理列方程,解方程,指出场的方向.对称性与对应安培环路:柱对称:无限长柱电流载流密绕螺绕环圆形安培环路安培环路上的B:①大小处处等,选dlB;②大小处处不等,选dlB.面对称:无限大面电流矩形安培环路解:已知轴线上磁场例2.求单位长度匝数为n,载流为I的密绕长直螺线管管内外的磁场.B0=μ0nI因是载流密绕长直螺线管,任2.3安培环路定理方向沿切向,与电流成右手B·dl=μ0ΣIint2π的能将写成Bl);(3)用安培环路定理列方程,解方程,指出场的方向.对称性与对应安培环路:柱对称:无限长柱电流载流密绕螺绕环圆形安培环路安培环路上的B:①大小处处等,选dlB;②大小处处不等,选dlB.面对称:无限大面电流矩形安培环路解:已知轴线上磁场例2.求单位长度匝数为n,载流为I的密绕长直螺线管管内外的磁场.B0=μ0nI因是载流密绕长直螺线管,任2.3安培环路定理一点可认为在管的中部,故距轴线等距处磁场相等,管内外的磁感线平行轴线.设B方向与轴线B方向相同,分别在管内及管内外作一边在轴上的矩形安培环路L1,L2(如图).有L1L2(1)管内B1ΔlB0–ΔlB1=0B·dl=μ0ΣIintB1=B0=μ0nI(2)管外B2B·dl=μ0ΣIintΔlB0–ΔlB2=μ0nIΔlB2=B0–μ0nI=0的能将写成Bl);(3)用安培环路一点可认为在管的中部,故距轴线等距处磁场相等,管内外的磁感线平行轴线.设B方向与轴线B方向相同,分别在管内及管内外作一边在轴上的矩形安培环路L1,L2(如图).有L1L2(1)管内B1ΔlB0–ΔlB1=0B·dl=μ0ΣIintB1=B0=μ0nI(2)管外B2B·dl=μ0ΣIintΔlB0–ΔlB2=μ0nIΔlB2=B0–μ0nI=0即载流密绕长直螺线管管外B=0;管内为B=μ0nI均匀磁场,方向与I成右手螺旋.例3.求如图所示总匝数为N,电流为I的密绕圆螺绕环的磁场分布.解:因是载流密绕螺绕环,磁场轴对称.距轴线等r处磁场大小等,方向沿切线.作同轴圆形环路L(如图).rLIR2R12.3安培环路定理即载流密绕长直螺线管管外B=0;管内为B=μ0nI均匀磁场,方向与I成右手螺旋.例3.求如图所示总匝数为N,电流为I的密绕圆螺绕环的磁场分布.解:因是载流密绕螺绕环,磁场轴对称.距轴线等r处磁场大小等,方向沿切线.作同轴圆形环路L(如图).rLIR2R12.3安培环路定理B·dl=μ0ΣIint2πrB=μ0ΣIint(1)L环在管内ΣIint=NI环管内磁场B=μ0NI/(2πr)(2)L环在管内ΣIint=0环管外磁场B=0载流密绕螺绕环环管外B=0;环管内磁场为=μ0NI/(2πr),方向与I成右手螺旋.磁感线在环管内为一组同轴的圆.当环管截面尺寸远小于环管轴线圆半径R时,r~R.有B=μ0NI/(2πR)=μ0nI例3.如图,一根半径为R的无限长载流直导体,其电流I沿轴即载流密绕长直螺线管管外例3.求如图所示总匝数为N,电流解B·dl=μ0ΣIint2πrB=μ0ΣIint(1)L环在管内ΣIint=NI环管内磁场B=μ0NI/(2πr)(2)L环在管内ΣIint=0环管外磁场B=0载流密绕螺绕环环管外B=0;环管内磁场为=μ0NI/(2πr),方向与I成右手螺旋.磁感线在环管内为一组同轴的圆.当环管截面尺寸远小于环管轴线圆半径R时,r~R.有B=μ0NI/(2πR)=μ0nI向流过，并均匀分布在横截面上.导体内有一半径为R的圆柱形空腔,其轴与直导体轴平行,两轴相距为d.试求空腔中任意一点的磁感强度.O2RdORI解:此电流可认为由半径R的无限长圆柱电流I1和同密度反方向半径为R的无限长圆柱电流I2组成.OORRdI⊗r1θ1θ1B1r2θ2θ2B2yx例3.如图,一根半径为R的无限长载流直导体,其电流I沿轴2.3安培环路定理B·dl=μ0ΣIint2πrB=μ0ΣIint(1)L环在向流过，并均匀分布在横截面上.导体内有一半径为R的圆柱形空腔,其轴与直导体轴平行,两轴相距为d.试求空腔中任意一点的磁感强度.O2RdORI解:此电流可认为由半径R的无限长圆柱电流I1和同密度反方向半径为R的无限长圆柱电流I2组成.OORRdI⊗r1θ1θ1B1r2θ2θ2B2yx2.3安培环路定理J=I/[(R2R2)]I1=JR2I2=JR2它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1=μ0I1r1/(2πR12)=0r1J/2B2=μ0I2r2/(2πR22)=0r2J/2方向如图.Bx=B2sin2B1sin1=(0J/2)(r2sin2r1sin1)=0By=B2cos2+B1cos1=(0J/2)(r2cos2+r1cos1)=(0J/2)d所以B=By=0Id/[2(R2–R2)]方向沿y轴正向.向流过，并均匀分布在横截面O2RdORI解:此电流J=I/[(R2R2)]I1=JR2I2=JR2它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1=μ0I1r1/(2πR12)=0r1J/2B2=μ0I2r2/(2πR22)=0r2J/2方向如图.Bx=B2sin2B1sin1=(0J/2)(r2sin2r1sin1)=0By=B2cos2+B1cos1=(0J/2)(r2cos2+r1cos1)=(0J/2)d所以B=By=0Id/[2(R2–R2)]方向沿y轴正向.2.3安培环路定理2.4洛仑兹力一.运动电荷受力1.电场力与速度无关的力Fe=qE只与带电粒子的电荷有关(纵使v=0也存在)2.磁场力与速度有关的力Fm=qv×B不仅与带电粒子的电荷有关,还与速度有关.3洛伦兹力(广义)F=qE+qv×BBv×Bv+⃝θFJ=I/[(R2R2)]I1=JR2I2=JR狭义洛伦兹力Fm=qv×B大小F=qvBsinθ方向先定v×B方向再定F方向q>0,F与v×B同向;q<0,F与v×B反向.Bv×Bvθ⃝–F二.带电粒子在均匀磁场中的运动因Fv,故洛伦兹力只改变v的方向,不改变v的大小带电粒子不受力,作匀速直线运动.1.速度v

与磁场B

平行θ=0或θ=πF=qvBsinθ=0Bv+⃝2.4洛仑兹力狭义洛伦兹力Fm=qv×B大小F=qvBsinθ方向先定v×狭义洛伦兹力Fm=qv×B大小F=qvBsinθ方向先定v×B方向再定F方向q>0,F与v×B同向;q<0,F与v×B反向.Bv×Bvθ⃝–F二.带电粒子在均匀磁场中的运动因Fv,故洛伦兹力只改变v的方向,不改变v的大小带电粒子不受力,作匀速直线运动.1.速度v

与磁场B

平行θ=0或θ=πF=qvBsinθ=0Bv+⃝2.4洛仑兹力××××××××××××××××××××××××××××××××××××B2.速度v

与磁场B

垂直θ=π/2F=qvBsin(π/2)=qvB带电粒子作匀速率圆周运动.T=2πR/v=2πm/(qB)

(1)回转半径F=qvB=mv2/RR=mv/(qB)(2)回旋周期回旋周期与粒子的运动速度无关,FRv+⃝狭义洛伦兹力Fm=qv×B大小F=qvBsinθ方向先定v×××××××××××××××××××××××××××××××××××××B2.速度v

与磁场B

垂直θ=π/2F=qvBsin(π/2)=qvB带电粒子作匀速率圆周运动.T=2πR/v=2πm/(qB)

(1)回转半径F=qvB=mv2/RR=mv/(qB)(2)回旋周期回旋周期与粒子的运动速度无关,FRv+⃝叠加上热运动,纵向速度基本相同,横向速度不同.粒子束平行进入磁场后,散开,经一螺距后汇聚.三.带电粒子在非均匀磁场中的运动BB大,h小.说明向B

强方向分速度变小,粒子受力指向B弱处.1.粒子受力指向B

弱处v+⃝F2.作变螺距的螺旋运动带电粒子受磁场力只改变v方向,不改变v大小,故带电粒子一般作变螺距的螺旋运动.2.4洛仑兹力×××××××××××叠加上热运动,纵向速度基本相同,横向速度不同.粒子束平行进入磁场后,散开,经一螺距后汇聚.三.带电粒子在非均匀磁场中的运动BB大,h小.说明向B

强方向分速度变小,粒子受力指向B弱处.1.粒子受力指向B

弱处v+⃝F2.作变螺距的螺旋运动带电粒子受磁场力只改变v方向,不改变v大小,故带电粒子一般作变螺距的螺旋运动.粒子约束其间.3.磁约束磁瓶(纺锤状磁场)两端B强,中间××××××××××B四.带电粒子在电磁场空间中的运动1.速度选择器FeFm+⃝v(1)装置BE,vE,vB,使得v×B与E反向.(2)原理F=q(E+v×B)=0因v×B与E反向,如Fe=qE,Fm=qv×B.则通过极板空间粒子速率为v=E/B叠加上热运动,纵向速度基本三.带电粒子在非均匀BB大,h小粒子约束其间.3.磁约束磁瓶(纺锤状磁场)两端B强,中间××××××××××B四.带电粒子在电磁场空间中的运动1.速度选择器FeFm+⃝v(1)装置BE,vE,vB,使得v×B与E反向.(2)原理F=q(E+v×B)=0因v×B与E反向,如Fe=qE,Fm=qv×B.则通过极板空间粒子速率为v=E/B当vE/B时粒子偏转,打到电极板上,不能通过极板空间.2.回旋加速器带电粒子源(1)装置电磁铁产生强大磁场;D形真空盒接高频交变电压,引出加速器使粒子旋转加速~偏转电极偏转电极把粒子(2)原理磁场使粒子拐弯R=mv/(qB)=v/[(q/m)B]2.4洛仑兹力粒子约束其间.3.磁约束磁瓶(纺锤状磁场)两端B强,中间×当vE/B时粒子偏转,打到电极板上,不能通过极板空间.2.回旋加速器带电粒子源(1)装置电磁铁产生强大磁场;D形真空盒接高频交变电压,引出加速器使粒子旋转加速~偏转电极偏转电极把粒子(2)原理磁场使粒子拐弯R=mv/(qB)=v/[(q/m)B]2.4洛仑兹力D形盒电磁铁电磁铁q/m:带电粒子比荷半周期T/2=πm/(qB)

电场给粒子加速电场变化的频率ν=1/T=qB/(2πm)

引出粒子的速率和动能v=RB(q/m)Ek=mv2/2=R2B2q2/(2m)R:粒子旋转半径(3)相对论效应的影响因粒子旋转周期与质量有关m=m0/(1–v2/c2)1/2随着粒子运动速度的变大,粒子质量变大,周期变大,使粒子旋转周当vE/B时粒子偏转,打到电2.回旋加速器带(1)装置电磁D形盒电磁铁电磁铁q/m:带电粒子比荷半周期T/2=πm/(qB)

电场给粒子加速电场变化的频率ν=1/T=qB/(2πm)

引出粒子的速率和动能v=RB(q/m)Ek=mv2/2=R2B2q2/(2m)R:粒子旋转半径(3)相对论效应的影响因粒子旋转周期与质量有关m=m0/(1–v2/c2)1/2随着粒子运动速度的变大,粒子质量变大,周期变大,使粒子旋转周期与电场变化频率不匹配,达不到加速的效果.采用变频频率ν=1/T=qB/(2πm)

=qB(1–v2/c2)1/2/(2πm0)

的同步回旋加速器可使粒子的动能达到几千亿电子伏特.例1(P2227.9)一台用来加速氘核的回旋加速器的D形盒直径为75cm两磁极可产生1.5T的均匀磁场.氘核的质量为3.34×10–27kg,电量是质子电量.求:(1)交流电源的频率;(2)出射氘核动能为多少MeV.ν=qB/(2πm)解:(1)=eB/(2πm)=1.144×107Hz(2)Ek=R2B2e2/(2m)=7.58MeV2.4洛仑兹力D形盒电磁铁电磁铁q/m:带电粒子比荷半周期T/2=πm/(期与电场变化频率不匹配,达不到加速的效果.采用变频频率ν=1/T=qB/(2πm)

=qB(1–v2/c2)1/2/(2πm0)

的同步回旋加速器可使粒子的动能达到几千亿电子伏特.例1(P2227.9)一台用来加速氘核的回旋加速器的D形盒直径为75cm两磁极可产生1.5T的均匀磁场.氘核的质量为3.34×10–27kg,电量是质子电量.求:(1)交流电源的频率;(2)出射氘核动能为多少MeV.ν=qB/(2πm)解:(1)=eB/(2πm)=1.144×107HzEk=R2B2e2/(2m)=7.58MeV2.4洛仑兹力五.霍耳效应1.霍耳现象薄片通有电流时,在两边出现