材料力学第七章课件3

1§7-6强度理论及其相当应力

材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。（拉压）（正应力强度条件）（剪切）（扭转）（切应力强度条件）（弯曲）1§7-6强度理论及其相当应力材料在单向应力状态下2如何建立复杂应力状态下的强度条件？解决这一问题的思路

难点之一：应力状态的多样性难点之二：实验的复杂性与不可能性不可能逐一通过试验建立失效准则；（1）利用简单拉伸实验结果作为许用应力；（2）从某个失效形式出发寻找失效原因；（3）从失效原因导出强度计算公式。2如何建立复杂应力状态下的强度条件？解决这一问题的思路难点3材料的强度破坏有两种类型；

Ⅰ.

在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；

Ⅱ.

产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。强度理论--利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。3材料的强度破坏有两种类型；工程中常用的强度理论按上述两种破4强度理论关于断裂的理论关于屈服的理论最大拉应力理论最大拉应变理论最大切应力理论畸变能密度理论4强度理论关于断裂的理论关于屈服的理论最大拉应力理论最大拉应5(1)最大拉应力理论(第一强度理论)受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为而相应的强度条件则是其中，[s]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[s]＝su/n，而n为安全因数。5(1)最大拉应力理论(第一强度理论)6局限性：（1）没有考虑另外二个主应力的影响；（2）无法应用于没有拉应力的应力状态；（3）无法解释塑性材料的破坏；（4）无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。实验表明：该理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结果与实验相符合，如铸铁受拉伸、扭转。6局限性：（1）没有考虑另外二个主应力的影响；实验表明：该理7

(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为7(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)从大理石8对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu，如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由单轴压缩试验测定的(例如对石料和混凝土等非金属材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂)，则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。8对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu，9亦即而相应的强度条件为

如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：9亦即而相应的强度条件为如果eu是在单轴拉伸而发生脆10局限性：（1）第一强度理论不能解释的问题，未能解决；（2）在二向或三向受拉时，似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。由于该理论只与少数材料相符，已经很少采用。实验表明：该理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。10局限性：（1）第一强度理论不能解释的问题，未能解决；似乎11

(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45˚

斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力tmax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tu＝ss/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为即11(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在12实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释，并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：（1）未考虑σ2

的影响，试验证实最大影响达15%（2）不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象（3）不适用于脆性材料的破坏12实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到局限性：（13于是，第四强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料，注意到试验中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相应的形状改变能密度的极限值为故屈服判据可写为

(4)形状改变能密度理论(第四强度理论)注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。13于是，第四强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈14此式中，s1、s2、s3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为

这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即14此式中，s1、s2、s3是构成危险点处的三个主应力，相应15(5)强度理论的相当应力

上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：式中，sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件s≤[s]中的拉应力s，通常称sr为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。15(5)强度理论的相当应力上述四个强度理论所建立16相当应力表达式强度理论名称及类型

第一类强度理论(脆性断裂的理论)第二类强度理论(塑性屈服的理论)第一强度理论──最大拉应力理论第二强度理论──最大伸长线应变理论第三强度理论──最大切应力理论第四强度理论──形状改变能密度理论表7-1四个强度理论的相当应力表达式16相当应力表达式强度理论名称及类型第一类强度理论(脆17§7-8各种强度理论的应用

前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接近于均匀,连续和各向同性。

需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。17§7-8各种强度理论的应用前述各种强度理论是根18

带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。18带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材19

圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。19圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时20纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下

低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力[s]按第三或第四强度理论推算许用切应力[t]。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见亦即20纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下21按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见

在大部分钢结构设计规范中就是按[t]=0.577[s]然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规定[s]＝170MPa，而[t]＝100MPa。亦即21按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见22

铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉伸许用应力[st]按第一或第二强度理论推算许用切应力[t]。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见22铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸23按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为因铸铁的泊松比n≈0.25，于是有可见亦即23按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为因铸铁的泊松24选用强度理论时要注意：1、破坏原因与破坏形式的一致性，理论计算与试验结果要接近，一般：第一（第二）强度理论适用于脆性材料（拉断）第三、第四强度理论适用于塑性材料（屈服、剪断）2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、温度有关.同一种材料在不同情况下，破坏形式不同,强度理论也应不同.例如：24选用强度理论时要注意：1、破坏原因与破坏形式的一致性，理25铸铁单向受拉时，脆性拉断第一、第二强度理论铸铁三向均压时，产生屈服破坏第三、第四强度理论3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力学中的脆性断裂准则进行计算。低碳钢单向受拉时，产生塑性变形第一、第二强度理论低碳钢三向均拉时，产生断裂破坏第三、第四强度理论25铸铁单向受拉时，脆性拉断第一、第二铸铁三向均压时，产生屈26

试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁的横截面对于中性轴z的惯性矩为

Iz=88×106mm4；半个横截面对于中性轴z的静矩为S*z,max=338×103mm3；梁的材料为Q235钢，其许用应力为[s]＝170MPa，[t]＝100MPa。y例题7-526试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁的27

由FS和M图可见，C偏左截面为危险截面，其应力分布如图d所示，smax在横截面的上、下边缘处，tmax在中性轴处，a点处的sa、ta也比较大，且该点处于平面应力状态。该梁应当进行正应力校核、切应力校核，还应对a点用强度理论进行校核。(b)(c)yza(e)sasmaxtmaxta(d)(a)例题7-527由FS和M图可见，C偏左截面为危险截面，其应力分281.

按正应力强度条件校核

弯矩图如图c所示，可知最大弯矩为Mmax＝80kN·m。最大正应力为故该梁满足正应力强度条件。(c)例题7-5281.按正应力强度条件校核弯矩图如图c所示，可知最292.

按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图b，最大剪力为FS,max=200kN。梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处：它小于许用切应力[t],满足切应力强度条件。(b)例题7-5292.按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图b，最大剪力303.用强度理论校核a点的强度a点的单元体如图f所示，a点的正应力和切应力分别为sataa(f)y例题7-5303.用强度理论校核a点的强度sataa(f)y例题7-31

由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强度。

所以a点的强度也是安全的。例题7-531由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四321.在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述方法对a点进行强度校核只是一种实用计算方法。对工字型钢不需要对腹板和翼缘交界处的点用强度理论进行强度校核。因为该处有圆弧过度，增加了该处截面的厚度。例题7-5sataa(f)y321.在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述方332.图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，其主应力分别为将它们分别代入sr3=s1-s3及后，得在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。例题7-5332.图示平面应力状态为工程中常见的应力状态34

图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为p。试按第四强度理论写出圆筒内壁的相当应力表达式。例题7-634图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为35图示受内压力作用得圆筒形薄壁容器，由于两端得内压力作用使圆筒产生轴向拉伸，所以其横截面上有均匀分布的拉应力s'；由于径向内压力的作用使圆筒的周长增加，因此其径向截面上有均匀分布的拉应力s''；由于径向内压力为轴对称荷载，所以径向截面上无切应力，圆筒外壁上任一点的单元体如图所示。s''s'a例题7-635图示受内压力作用得圆筒s''s'a例题7-6361.

求圆筒横截面上的正应力s'

根据圆筒本身及其受力的对称性，圆筒产生轴向拉伸变形，于是得圆筒横截面上的正应力为式中，为端部分布内压力的合力，其方向沿圆筒的轴线。例题7-6解:361.求圆筒横截面上的正应力s'根据圆筒本身及37

在单位长度圆筒上以纵截面取的分离体如图所示。根据该分离体及与之对应的下半部的对称性可以判定圆筒径向截面上无切应力。2.求圆筒径向截面径向上的正应力s''

图中所示径向截面上的法向力FN由正应力s构成，即

FN＝s

×d×1。D例题7-637在单位长度圆筒上以纵截面取的分离体如图所示。根据38

作用于图示分离体内壁上的分布压力

p的合力在y轴上的投影为Fp，它们的关系曾在例题2-3中导出，

Fp＝pD。于是由平衡方程亦即得出圆筒纵截面上的正应力：D例题7-638作用于图示分离体内壁上的分布压力p的393.

圆筒内壁上沿半径方向的正应力为D例题7-6393.圆筒内壁上沿半径方向的正应力为D例题7-6404.圆筒内壁上各点的应力状态如图所示，它们都是主应力，且

由于p与

(pD/2d)和

(pD/4d)相比很小，故可认为s3＝0。例题7-6404.圆筒内壁上各点的应力状态如图所示415.

按第四强度理论写出的相当应力表达式为例题7-6415.按第四强度理论写出的相当应力表达式为例题7-642练习1已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力[t]=30MPa。试校核该点的强度。【解】首先根据材料和应力状态确定破坏形式，选择强度理论。r1=max=1[t]脆性断裂，最大拉应力理论101123单位：MPa其次确定主应力42练习1已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力43结论：该点的强度足够。101123单位：MPa43结论：该点的强度足够。101123单位：MPa44练习2图示工字截面梁，已知F=80kN，q=10kN/m，许用应力[σ]=120MPa。试对梁的强度作全面校核。BDF1m1mF2mCA2mEq12615300zy944练习2图示工字截面梁，已知F=80kN，q=10kN45BDF1m1mF2mCA2mEq【解】（1）求支座反力（2）作剪力图、弯矩图（3）确定危险截面危险截面可能是C左或D右

FAFB7558520FS（kN）756520M（kNm）45BDF1m1mF2mCA2mEq【解】（1）求支座反力（4612615300zy9（4）确定几何性质对于翼缘和腹板交界处的a点:a4612615300zy9（4）确定几何性质对于翼缘和腹板交4712615300zy9c对于中性轴上的c点4712615300zy9c对于中性轴上的c点48（5）校核C截面强度仍在工程容许范围内,故认为是安全的。12615300zy9ab最大正应力在b点但是a点的正应力和切应力分别为48（5）校核C截面强度仍在工程容许范围内,故认为是安全的。4912615300zy9aba点的正应力和切应力分别为a点的应力状态如图所示aτσ由第三或第四强度理论所以C截面强度足够4912615300zy9aba点的正应力和切应力分别为a点50（6）校核D截面强度12615300zy9aba点的正应力和切应力分别为50（6）校核D截面强度12615300zy9aba点的正应51（6）校核D截面强度12615300zy9aba点的正应力和切应力分别为由第三或第四强度理论a点的应力状态如图所示aτσ51（6）校核D截面强度12615300zy9aba点的正应52（6）校核D截面强度12615300zy9ab对于c点c点的应力状态如图所示cτc52（6）校核D截面强度12615300zy9ab对于c点c53（6）校核D截面强度12615300zy9abccτ由第三或第四强度理论所以，D截面强度足够解后分析：1、可能的危险截面：剪力、弯矩最大处；2、可能的危险点：中性轴、离中性轴最远处以及剪力和弯矩都较大处；3、危险点的应力状态。53（6）校核D截面强度12615300zy9abccτ由第54第七章结束54第七章结束55§7-6强度理论及其相当应力

材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。（拉压）（正应力强度条件）（剪切）（扭转）（切应力强度条件）（弯曲）1§7-6强度理论及其相当应力材料在单向应力状态下56如何建立复杂应力状态下的强度条件？解决这一问题的思路

难点之一：应力状态的多样性难点之二：实验的复杂性与不可能性不可能逐一通过试验建立失效准则；（1）利用简单拉伸实验结果作为许用应力；（2）从某个失效形式出发寻找失效原因；（3）从失效原因导出强度计算公式。2如何建立复杂应力状态下的强度条件？解决这一问题的思路难点57材料的强度破坏有两种类型；

Ⅰ.

在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；

Ⅱ.

产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。强度理论--利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。3材料的强度破坏有两种类型；工程中常用的强度理论按上述两种破58强度理论关于断裂的理论关于屈服的理论最大拉应力理论最大拉应变理论最大切应力理论畸变能密度理论4强度理论关于断裂的理论关于屈服的理论最大拉应力理论最大拉应59(1)最大拉应力理论(第一强度理论)受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为而相应的强度条件则是其中，[s]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[s]＝su/n，而n为安全因数。5(1)最大拉应力理论(第一强度理论)60局限性：（1）没有考虑另外二个主应力的影响；（2）无法应用于没有拉应力的应力状态；（3）无法解释塑性材料的破坏；（4）无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。实验表明：该理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结果与实验相符合，如铸铁受拉伸、扭转。6局限性：（1）没有考虑另外二个主应力的影响；实验表明：该理61

(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为7(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)从大理石62对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu，如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由单轴压缩试验测定的(例如对石料和混凝土等非金属材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂)，则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。8对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu，63亦即而相应的强度条件为

如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：9亦即而相应的强度条件为如果eu是在单轴拉伸而发生脆64局限性：（1）第一强度理论不能解释的问题，未能解决；（2）在二向或三向受拉时，似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。由于该理论只与少数材料相符，已经很少采用。实验表明：该理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。10局限性：（1）第一强度理论不能解释的问题，未能解决；似乎65

(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45˚

斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力tmax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tu＝ss/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为即11(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在66实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释，并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：（1）未考虑σ2

的影响，试验证实最大影响达15%（2）不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象（3）不适用于脆性材料的破坏12实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到局限性：（67于是，第四强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料，注意到试验中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相应的形状改变能密度的极限值为故屈服判据可写为

(4)形状改变能密度理论(第四强度理论)注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。13于是，第四强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈68此式中，s1、s2、s3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为

这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即14此式中，s1、s2、s3是构成危险点处的三个主应力，相应69(5)强度理论的相当应力

上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：式中，sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件s≤[s]中的拉应力s，通常称sr为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。15(5)强度理论的相当应力上述四个强度理论所建立70相当应力表达式强度理论名称及类型

第一类强度理论(脆性断裂的理论)第二类强度理论(塑性屈服的理论)第一强度理论──最大拉应力理论第二强度理论──最大伸长线应变理论第三强度理论──最大切应力理论第四强度理论──形状改变能密度理论表7-1四个强度理论的相当应力表达式16相当应力表达式强度理论名称及类型第一类强度理论(脆71§7-8各种强度理论的应用

前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接近于均匀,连续和各向同性。

需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。17§7-8各种强度理论的应用前述各种强度理论是根72

带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。18带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材73

圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。19圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时74纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下

低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力[s]按第三或第四强度理论推算许用切应力[t]。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见亦即20纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下75按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见

在大部分钢结构设计规范中就是按[t]=0.577[s]然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规定[s]＝170MPa，而[t]＝100MPa。亦即21按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见76

铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉伸许用应力[st]按第一或第二强度理论推算许用切应力[t]。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见22铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸77按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为因铸铁的泊松比n≈0.25，于是有可见亦即23按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为因铸铁的泊松78选用强度理论时要注意：1、破坏原因与破坏形式的一致性，理论计算与试验结果要接近，一般：第一（第二）强度理论适用于脆性材料（拉断）第三、第四强度理论适用于塑性材料（屈服、剪断）2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、温度有关.同一种材料在不同情况下，破坏形式不同,强度理论也应不同.例如：24选用强度理论时要注意：1、破坏原因与破坏形式的一致性，理79铸铁单向受拉时，脆性拉断第一、第二强度理论铸铁三向均压时，产生屈服破坏第三、第四强度理论3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力学中的脆性断裂准则进行计算。低碳钢单向受拉时，产生塑性变形第一、第二强度理论低碳钢三向均拉时，产生断裂破坏第三、第四强度理论25铸铁单向受拉时，脆性拉断第一、第二铸铁三向均压时，产生屈80

试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁的横截面对于中性轴z的惯性矩为

Iz=88×106mm4；半个横截面对于中性轴z的静矩为S*z,max=338×103mm3；梁的材料为Q235钢，其许用应力为[s]＝170MPa，[t]＝100MPa。y例题7-526试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁的81

由FS和M图可见，C偏左截面为危险截面，其应力分布如图d所示，smax在横截面的上、下边缘处，tmax在中性轴处，a点处的sa、ta也比较大，且该点处于平面应力状态。该梁应当进行正应力校核、切应力校核，还应对a点用强度理论进行校核。(b)(c)yza(e)sasmaxtmaxta(d)(a)例题7-527由FS和M图可见，C偏左截面为危险截面，其应力分821.

按正应力强度条件校核

弯矩图如图c所示，可知最大弯矩为Mmax＝80kN·m。最大正应力为故该梁满足正应力强度条件。(c)例题7-5281.按正应力强度条件校核弯矩图如图c所示，可知最832.

按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图b，最大剪力为FS,max=200kN。梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处：它小于许用切应力[t],满足切应力强度条件。(b)例题7-5292.按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图b，最大剪力843.用强度理论校核a点的强度a点的单元体如图f所示，a点的正应力和切应力分别为sataa(f)y例题7-5303.用强度理论校核a点的强度sataa(f)y例题7-85

由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强度。

所以a点的强度也是安全的。例题7-531由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四861.在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述方法对a点进行强度校核只是一种实用计算方法。对工字型钢不需要对腹板和翼缘交界处的点用强度理论进行强度校核。因为该处有圆弧过度，增加了该处截面的厚度。例题7-5sataa(f)y321.在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述方872.图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，其主应力分别为将它们分别代入sr3=s1-s3及后，得在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。例题7-5332.图示平面应力状态为工程中常见的应力状态88

图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为p。试按第四强度理论写出圆筒内壁的相当应力表达式。例题7-634图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为89图示受内压力作用得圆筒形薄壁容器，由于两端得内压力作用使圆筒产生轴向拉伸，所以其横截面上有均匀分布的拉应力s'；由于径向内压力的作用使圆筒的周长增加，因此其径向截面上有均匀分布的拉应力s''；由于径向内压力为轴对称荷载，所以径向截面上无切应力，圆筒外壁上任一点的单元体如图所示。s''s'a例题7-635图示受内压力作用得圆筒s''s'a例题7-6901.

求圆筒横截面上的正应力s'

根据圆筒本身及其受力的对称性，圆筒产生轴向拉伸变形，于是得圆筒横截面上的正应力为式中，为端部分布内压力的合力，其方向沿圆筒的轴线。例题7-6解:361.求圆筒横截面上的正应力s'根据圆筒本身及91

在单位长度圆筒上以纵截面取的分离体如图所示。根据该分离体及与之对应的下半部的对称性可以判定圆筒径向截面上无切应力。2.求圆筒径向截面径向上的正应力s''

图中所示径向截面上的法向力FN由正应力s构成，即

FN＝s

×d×1。D例题7-637在单位长度圆筒上以纵截面取的分离体如图所示。根据92

作用于图示分离体内壁上的分布压力

p的合力在y轴上的投影为Fp，它们的关系曾在例题2-3中导出，

Fp＝pD。于是由平衡方程亦即得出圆筒纵截面上的正应力：D例题7-638作用于图示分离体内壁上的分布压力p的933.

圆筒内壁上沿半径方向的正应力为D例题7-6393.圆筒内壁上沿半径方向的正应力为D例题7-6