2021-2022学年贵州省六盘水市高二年级下册学期期末质量监测数学（理）试题【含答案】

2021-2022学年贵州省六盘水市高二下学期期末质量监测数学（理）试题一、单选题1．已知复数z满足，则（

）A． B．9 C． D．13【答案】D【分析】先求出，进而求出.【详解】因为，所以，所以.故选：D2．为评估某种新型水稻的种植效果，选择了n块面积相等的试验稻田.这n块稻田的亩产量（单位：kg）分别为a1，a2，…an，下列统计量中，能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是（

）A．样本a1，a2，…an的标准差 B．样本a1，a2，…an的中位数C．样本a1，a2，…an的众数 D．样本a1，a2，…an的平均数【答案】A【分析】根据标准差的含义判断即可.【详解】标准差刻画了数据的离散程度，故A正确.故选：A.3．设全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程得到集合，然后求并集和补集即可.【详解】由题意得，所以，.故选：C.4．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（

）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】根据等比中项的性质求解即可.【详解】若成等比数列，则，即，当时，满足，成等比数列，故使得成等比数列的充要条件的b值为.故选：B5．已知函数在定义域内满足，且在上是增函数，则函数的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得为偶函数，则可选在上递增，且为偶函数的选项.【详解】由可得为偶函数，故A，D错误.又在上单调递减，故B错误.而时，在上单调递增，则C正确.故选：C6．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由导数的几何意义与点斜式方程求解即可【详解】因为，所以，则当时，，故曲线在处的切线方程为，整理得，故选：B7．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②BM与CE垂直③CE与平面ABCD所成角的正切值为④CN与BM所成角为以上四个命题中，正确命题的序号是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根据展开图还原正方体，设其棱长为1，建立空间直角坐标系，即可判断异面直线的位置关系，计算出夹角，以及CE与平面ABCD所成角的正弦值，进而求出正切值.【详解】解：根据平面展开图，还原正方体，并建立空间直角坐标系，如下图所示，设正方体棱长为1，则，，，，，，①BM与ED平行，由图可看出BM与ED不平行，错误；②BM与CE垂直，，，即，正确；③CE与平面ABCD所成角的正切值为，由图可知为平面ABCD的一个法向量，且，设CE与平面ABCD所成的角为，则，，，错误；④CN与BM所成角为，设CN与BM所成角为，，，，，正确；故选：C.8．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，根据侧面积得到，，再根据体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即.故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为.故圆锥的体积为.故选：B9．与棱长为2的正四面体的所有棱都相切的球的直径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把正四面体补成正方体，转化为正方体的内切球求解即可.【详解】如图，棱长为2的正四面体的6条棱为正方体的面对角线，因为球与正四面体的所有棱都相切，所以球与正方体的所有面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，设正方体棱长为，则，所以，则内切球的直径为，故选:B.10．已知双曲线：（，）的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式及计算可得；【详解】解：∵双曲线：的一条渐近线为，∵到的距离为，∴，即．∴，即．∴，∵，∴，故选：A．11．函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数图象求得解析式，结合周期性求得正确答案.【详解】由图可知，，由，，所以.结合对称性以及解析式可知：，，所以，，结合周期性可知：.故选：A12．判断中最大的数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用导数研究函数的单调性，再结合指数函数与幂函数的单调性即可求解【详解】令，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，在单调递减；因为，所以，即，所以，，，所以，，，所以，，，又在都单调递增，所以，所以中最大的数为，故选：D二、填空题13．已知正三角形ABC的边长为1，则_________.【答案】##-0.5【分析】根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案.【详解】.故答案为：.14．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.【答案】8【分析】求出直线的方程，设、，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由焦点弦长公式可得结论．【详解】抛物线的焦点坐标为，直线方程为，设、，则由抛物线焦点弦长公式得：，又、是抛物线与直线的交点，由得，则，∴.故答案为：8.【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线的焦点为，是其过焦点的弦，，则（1）．（2）．（3），．15．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙、丙三位同学均只能体验其中一门课程，则恰有3门课程没有被这三位同学选中的概率为______.【答案】【分析】根据题意先求出三人选择课程的种数，再算出恰有3门课程没有被这三位同学选中的种数，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题意知：三人之间选择体验课程没有影响，故三人选择课程方案为种，恰有3门课程没有被这三位同学选中，说明三人选择的课程互不相同，共有种，所以恰有3门课程没有被这三位同学选中的概率为，故答案为：.三、双空题16．梅花山索道位于贵州省六盘水市钟山区梅花山旅游景区，索高高差620m，最高运速为6m/s，全长9.91km，为世界上最长同路径山地索道，2019年7月31日通过世界纪录认证机构认证.游客从景区的景点A处到C处有两条路径，一条是从A处沿直线步行到C处；另一条是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1min后，再从B处匀速步行到C处.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，，则索道AB的长为_________（单位：m）；当乙出发_________（单位：min）后，乙在缆车上与甲的距离最短.【答案】

【分析】由正弦定理即可确定的长；乙出发后，甲乙两游客距离为，此时甲行走了，乙距离处，由余弦定理确定即可【详解】在中，因为，，所以，，从而，由正弦定理，得；假设乙出发后，甲乙两游客距离为，此时甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得：，因为，即，所以当时，甲乙两游客距离最短；故答案为：；四、解答题17．在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.问题：已知为等差数列的前n项和，若.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①由与的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可【详解】（1）若选①：在等差数列中，，当时，，也符合，∴；若选②：在等差数列中，，，解得；若选③：在等差数列中，，解得；（2）由（1）得，所以18．为迎接年月日至月日在六盘水市举行的贵州省第十一届运动会，运动员们正艰苦训练，积极备战.某运动员射击一次所得环数的分布列如下：现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(1)求此人两次命中环数相同的概率；(2)求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）分别计算此人连续两次命中环的概率，加和即可得到结果；（2）首先确定所有可能的取值，根据独立事件概率乘法公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望.【详解】（1）此人连续两次命中环的概率为；连续两次命中环的概率为；连续两次命中环的概率为；此人两次命中环数相同的概率为.（2）由题意可知：所有可能的取值为，；；；的分布列为：则数学期望.19．如图所示的多面体，其正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为PA的中点.(1)求证：平面EBD；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可求解.（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角的余弦值．【详解】（1）证明：由三视图可知：平面平面，底面为正方形，连接交于点，连接，由已知得，又平面，平面平面；（2）设的中点为，则平面，建立如图所示的坐标系，由三视图可知,所以由于轴平面,所以平面的法向量为设平面的法向量为由，可得，可取，设二面角的平面角为，由图形可知为锐角，二面角的余弦值20．已知椭圆的离心率为，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的左、右焦点分别为，，经过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据椭圆离心率及四边形面积列出方程求解即可；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程可得一元二次方程，由根与系数的关系及建立方程可求解，即可得解.【详解】（1）依题意可得：解得，，所以椭圆的方程为.（2）由题可知：直线的斜率存在且不为零，故设直线的方程为，设，，由（1）可知：，，则，，因为，所以，，，化简得，所以，，得.联立消去得，，由得，，，则，解得或，故的方程为或.21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性；（2）先确定，不等式变形，只需证明，且得到，接下来证明对数平均不等式，得到，从而得到，所以，.【详解】（1）的定义域为，且，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，要想有两个不相同的零点，则，解得：，，故要证，即证，即证：，因为在上单调递增，所以只需证，不妨设，两式相减得：，变形为，下面证明在上成立，只需证，即，令，即证，构造，，则恒成立，故在上单调递增，故，所以，，故，即，所以，，证毕.【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明.22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程及的直角坐标方程；(2)判断曲线，的位置关系，并说明理由.【答案】(1)；(2)相交，理由见解析.【详解】（1）由已知，曲线的参数方程为（t为参数）