研究生入学考试第八章第二节偏导数及其在经济分课件

第二节偏导数及其在经济分析中的应用高阶偏导数偏导数的定义、几何意义及计算方法第八章多元函数微分学偏导数在经济分析中的应用小结偏导数存在与连续的关系内容回顾第二节偏导数及其在经济分析中的应用高阶偏导数偏导数的2.多元函数极限的概念（求极限）3.多元函数连续的概念4.闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）1.多元函数的定义（定义域）内容回顾化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，无穷小的性质，重要极限，代入法2.多元函数极限的概念（求极限）3.多元函数连续的概念4.闭一元函数变化率概念多元函数的偏导数是指这个函数对其中一个自变量的变化率,而其它自变量保持不变.一元函数变化率概念多元函数的偏导数是指这个函数对其中一个偏增量一、偏导数的定义、几何意义及计算法对其中一个自变量的变化率,而其它自变量保持不变.1.偏导数的定义及其计算法偏增量一、偏导数的定义、几何意义及计算法对其中一个自变量的变比较:一元函数的导数定义比较:一元函数的导数定义偏导函数定义偏导函数定义有关偏导数的几点说明：1.2.求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；与一元函数类似,多元分段函数在分段点处的导数,需用定义求,这属于基本微分法.解有关偏导数的几点说明：1.2.求分段点、不连续点处的偏导数要求解3.计算方法同一元函数的导数有关偏导数的几点说明：(请自己写出)4.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处求解3.计算方法同一元函数的导数有关偏导数的几点说明：(请自解法一同一元函数的求导方法完全相同

解法二解法一同一元函数的求导方法完全相同解法二解例2

求函数的偏导数解例2求函数证偏导数记号是一个说明:不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,证偏导数记号是一个说明:不能看作分子与分母的商!此例表明,2.偏导数的几何意义如图这是一条平面曲线的方程2.偏导数的几何意义如图这是一条平面曲线的方程几何意义:几何意义:二、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，为什么不连续?二、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存不一定结论:多元函数的偏导数与连续之间没有必然联系.反之，例如，连续偏导数存在.不一定结论:反之，例如，连续偏导数存在.纯偏导混合偏导定义1

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为纯偏导混合偏导定义1二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导解求高阶偏导数的方法逐次求导法解求高阶偏导数的方法逐次求导法解解练习

求函数解注意:前几例均有这一结论总成立吗???的二阶偏导数及练习求函数解注意:前几例均有这一结论总成立吗???的二阶偏例如,

对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等例如,对三元函数u=f(x,y,z),说证利用对称性,有例6

证明函数满足拉普拉斯方程证利用对称性,有例6证明函数满足拉普拉斯方程解例7解例7在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率,这些概念也可以推广到多元函数微分学中去,并被赋予了丰富的经济含义.四、偏导数在经济分析中的应用实例某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略.即该品牌电视机的销量是它的价格和其他品牌电视机价格的函数.通过分析其边际及可知道,随着及变化而变化的规律.——偏边际与偏弹性在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分1.需求函数的边际分析1.需求函数的边际分析[研究生入学考试]第八章第二节偏导数及其在经济分课件[研究生入学考试]第八章第二节偏导数及其在经济分课件2.需求函数的偏弹性2.需求函数的偏弹性交叉偏弹性解:

例8交叉偏弹性解:例8解：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性：当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品.解：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性：当交叉弹性大例10解：例10解：例10例101.偏导数的概念及有关结论

定义（偏增量比的极限）；记号；几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义小结3.高阶偏导数的定义与求法（逐次求导法）4.偏边际，偏弹性1.偏导数的概念及有关结论定义（偏增量比的极限）；记号；作业P311T1(偶数)，T2，T4(2),T5,T6预习：第三节第八章多元函数微分学作业P311T1(偶数)，T2，T4(2),T5,第二节偏导数及其在经济分析中的应用高阶偏导数偏导数的定义、几何意义及计算方法第八章多元函数微分学偏导数在经济分析中的应用小结偏导数存在与连续的关系内容回顾第二节偏导数及其在经济分析中的应用高阶偏导数偏导数的2.多元函数极限的概念（求极限）3.多元函数连续的概念4.闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）1.多元函数的定义（定义域）内容回顾化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，无穷小的性质，重要极限，代入法2.多元函数极限的概念（求极限）3.多元函数连续的概念4.闭一元函数变化率概念多元函数的偏导数是指这个函数对其中一个自变量的变化率,而其它自变量保持不变.一元函数变化率概念多元函数的偏导数是指这个函数对其中一个偏增量一、偏导数的定义、几何意义及计算法对其中一个自变量的变化率,而其它自变量保持不变.1.偏导数的定义及其计算法偏增量一、偏导数的定义、几何意义及计算法对其中一个自变量的变比较:一元函数的导数定义比较:一元函数的导数定义偏导函数定义偏导函数定义有关偏导数的几点说明：1.2.求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；与一元函数类似,多元分段函数在分段点处的导数,需用定义求,这属于基本微分法.解有关偏导数的几点说明：1.2.求分段点、不连续点处的偏导数要求解3.计算方法同一元函数的导数有关偏导数的几点说明：(请自己写出)4.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处求解3.计算方法同一元函数的导数有关偏导数的几点说明：(请自解法一同一元函数的求导方法完全相同

解法二解法一同一元函数的求导方法完全相同解法二解例2

求函数的偏导数解例2求函数证偏导数记号是一个说明:不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,证偏导数记号是一个说明:不能看作分子与分母的商!此例表明,2.偏导数的几何意义如图这是一条平面曲线的方程2.偏导数的几何意义如图这是一条平面曲线的方程几何意义:几何意义:二、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，为什么不连续?二、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存不一定结论:多元函数的偏导数与连续之间没有必然联系.反之，例如，连续偏导数存在.不一定结论:反之，例如，连续偏导数存在.纯偏导混合偏导定义1

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为纯偏导混合偏导定义1二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导解求高阶偏导数的方法逐次求导法解求高阶偏导数的方法逐次求导法解解练习

求函数解注意:前几例均有这一结论总成立吗???的二阶偏导数及练习求函数解注意:前几例均有这一结论总成立吗???的二阶偏例如,

对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等例如,对三元函数u=f(x,y,z),说证利用对称性,有例6

证明函数满足拉普拉斯方程证利用对称性,有例6证明函数满足拉普拉斯方程解例7解例7在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率,这些概念也可以推广到多元函数微分学中去,并被赋予了丰富的经济含义.四、偏导数在经济分析中的应用实例某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略.即该品牌电视机的销量是它的价格和其他品牌电视机价格的函数.通过分析其边际及可知道,随着及变化而变化的规律.——偏边际与偏弹性在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分1.需求函数的边际分析1.需求函数的边际分析[研究生入学考试]第八章第二节偏导数及其在经济分课件[研究生入学考试]第八章第二节偏导数及其在经济分课件2.需求函数的偏弹性2.需求函数的偏弹性交叉偏弹性解:

例8交叉偏弹性解:例8解：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性：当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品.解：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性：当交叉弹性大例10解：例10解：例10例101.偏导数的概念及有关结论