2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题1

2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题TOC\o"1-5"\h\zA．0B．1C．2D．3.圆C:x2+y2=1的面积是（）A.:B.?C.nD.2n24.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（）A.—B.—C.—D.1323.要得到函数y=1+sinx的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度.已知数歹U｛叫满足^1=1,4m=2an，则a4=（）TOC\o"1-5"\h\zA.4B.8C.16D.32fx+2,x<0.已知函数f（xX，，若火0）=a,则f（a）=（）[\:'x,x>0A.4B.2C.<2D.0.函数f（x）=2sinxcosx的最小正周期是（）A.:B.兀C.2兀D.4兀2.用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（A．3cm2A．3cm2B．6cm2C．9cm2D．12cm2.已知定义在［-3,3］上的函数y=f(x)的图象如图所示.下述四个结论:①函数y=f(x)的值域为［-2,2］②函数y=f(X)的单调递减区间为［-1,1］③函数y=f(X)仅有两个零点④存在实数a满足f(a)+f(-a)=0其中所有正确结论的编号是()A.①②B.②③C.③④D.②④二、填空题.已知集合A=｛xIx=1｝，B=｛xIx2=a｝，若A7B，则a=.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为.已知直线11：y=x,12:y=kx.若11±12，贝Uk=..已知等差数列｛aj满足a1=1,a2=2，U｛a〃｝的前5项和邑=..已知角a的终边经过点(3,4),则cosa=.三、解答题16．2020年春季,受疫情的影响,学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”,鼓励学生在家学习,复课后,某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时),随机调查了部分学生,根据他们学习的周均时长,得到如图所示的频率分布直方图.

0.0400.0100.0050.0250.0400.0100.0050.0250.020(1)求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率..如图所示，△ABC中，AB=AC=2,BC=2<3.(1)求内角B的大小；(2)设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值..如图所示，三棱锥P-ABC中，PA，平面ABC,AB±AC,且E,F分别为BC,PC的中点.(1)求证:EF//平面PAB;(2)已知AB=AC=4,PA=6,求三棱锥F-AEC的体积..已知函数f(x)=ax,g(x)=a-x，其中a>0，且a丰1.(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若不等式f(x)>g(x)对xeR都成立，求a的取值范围；(3)设f(1)=2，直线y=t1与y=f(x)的图象交于A,B两点，直线y=12与了二g(x)的图象交于C，D两点，得到四边形ABCD.证明:存在实数tjt2，使四边形ABCD为正方形.参考答案1．D【分析】分析几何体的结构，可得出合适的选项.【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.故选：D.【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题.2．B【分析】根据平面向量的坐标运算可求得%的值.【详解】已知向量a=(2,1),b=(—11),则Z+弓=(1,2)=(九2)，因此，%=1.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值,考查计算能力,属于基础题.3．C【分析】根据圆的方程即可知圆的半径,由圆的面积公式即可求其面积.【详解】由圆的方程知：圆C的半径为1,所以面积S=兀r2二兀，故选：C【点睛】本题考查了圆的标准方程,由圆的方程求面积,属于简单题.4．A【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3个,其中1个白球,所以从中随机取出i个球，取到白球的概率是3,故选：A【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题5．A【分析】由函数图象平移原则即可知如何平移y=sin%的图象得到y=1+sin%的图象.【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数尸sin%的图象向上平移1个单位可得y=1+sin%的图象，故选：A.【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题.6．B【分析】由已知可得通项公式a『1，即可求a4的值.【详解】由题意a角=2an可知，数歹U{an}是首项为1,公比为2的等比数列，故可得数列的通项公式为a=2«-i,n：.a=23=8,4故选：B.【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.7．C【分析】先由f(0)=a，可得a=2，从而可求出f(a)的值【详解】解：因为f(0)=a，代入分段函数中可得0+2=a，得a=2,所以f(a)=f(2)=<2,故选：C【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题8．B【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数fG)的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】・.・/(x)=2sinxcosx=sin2x，所以，函数fG)的最小正周期为T=生=兀.2故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．C【分析】由已知可得x+y=6,而矩形的面积S=xv，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为羽y的，则有2(x+y)=12，即x+y=6,・・,矩形的面积S=冲,.・・S=孙＜(x+y)2=9cm2,当且仅当x=y=3时等号成立，4故选：C【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.10．D【分析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x轴交点的个数可得其零点的个数，当a=1时，可得f(a)+f(-a)=0【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2,最小值小于-2，所以①错误；由图像可知函数y=f(x)的单调递减区间为［-1,1］，所以②正确；由图像可知其图像与x轴交点的个数为3,所以函数有3个零点，所以③错误；当a=1时，有f(a)+f(-a)=f(1)+f(-1)=-2+2=0，所以④正确，故选：D【点睛】此题考查函数图像的应用,考查函数的零点,单调性,考查数形结合的思想,属于基础题1【分析】由AcB，得到1是方程x2=a是方程的根，代入即可求解.【详解】由题意，集合A={xIx=1},B={xIx2=a}，因为AcB，所以1£B，即1是方程x2=a是方程的根，解得a=1，当a=1，可得集合b={-1,1},此时满足AcB，所以a=1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.一2【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人，所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为15=1,故答案为：1【点睛】

此题考查分层抽样的应用，属于基础题13．-1【分析】由两直线垂直有斜率之积为-1,即可求k值.【详解】由11±12，知：此题考查分层抽样的应用，属于基础题13．-1【分析】由两直线垂直有斜率之积为-1,即可求k值.【详解】由11±12，知：k=-1,故答案为：-1.【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率,属于简单题.14．15【分析】「n(a+a)由题意可得等差数列通项公式a=n，结合S==一nn2可得前n项和公式，进而求S5即可.【详解】由等差数列U{an}满足a1=1,a2=2,知：公差d=1,・•・{an}是首项为1,公差为1的等差数列，故通项公式为a=a+(n-1)d=n1・•・由等差数列前n项和公式S=nn(a+a)n(n+1)。5x(5+1)y即可得S=一=15,52故答案为：15.【点睛】本题考查了求等差数列前n项和，属于简单题.3155【分析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可【详解】解：因为角a的终边经过点(3,4),

x33所以cosa=7二:=7r332+425故答案：【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题16．（1）25小时；（2）0.3.【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有［30,40）、［40,50），它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，20+30.・•・由频率最大区间为［20,30），则众数为=25；（2）由图知：不少于30小时的区间有［30,40）、［40,50），・•・该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率P=0.03x10=0.3.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.冗兀17.（1）B=-,（2）f%）的最大值为2,此时x=-+2k兀,keZ63【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC中，AB=AC=2,BC=2J3.所以cosB=AB2+BC2—AC所以cosB=AB2+BC2—AC2

2AB-BC2x2x2,/32在因为Be（0,兀），所以B=-,6TOC\o"1-5"\h\z,兀(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+—),6兀兀兀所以当x+-=-+2k兀,kgZ时，f(x)取最大值2,即x=-+2k兀,kgZ623【点睛】此题考查余弦定理的应用,考查正弦函数的性质的应用,属于基础题18．(1)证明见解析；(2)4.【分析】(1)连接EF有中位线EF//PB，结合EF,PB与面PAB的关系，由线面平行的判定即可证EF//面PAB；(2)过F作FG//PA交AC于G易知FG是三棱锥F-AEC的高，结°S合已知有SA=^ABC即可求三棱锥F-AEC的体积.AEC2【详解】(1)连接EF，在△PBC中EF为中位线，故EF//PB,•・•EFa面PAB,PBU面PAB・,.EF//面PAB；(2)过F作FG//PA交AC于G，如下图示:・,•/G,平面A5C,即/G是三棱锥RA石。的高，又尸为尸。的中点，PA：.由PA=6,则FG=---=3,乙S4x4XAB=AC=4,5为5C的中点且A5LAC,知：£=^4^=——=4,aaec24・••三棱锥产-A石。的体积V=；•/G・S.=4.3aec【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.19.(1)偶函数，理由见解析；(2)a>l；(3)证明见解析【分析】(1)利用函数的奇偶性做出判断；(2)可求出〃的范围(3)由/(1)=2,求出〃=2,由已知A5=BC得到2x=2%—2-%,求得"=1得证.012【详解】〃%)是偶函数・・・/(%)=^U,f(-x)=a-JQX=/(x),「•/(%)是偶函数,//(x)=J,g(x)=/(x)>g(x)=qU2当。〉1时|x户一同n|x户OnxwA满足题意，当O<〃<1时因2—