高中数学高考 2020-2021学年下学期高三5月月考卷 理科数学（A卷）-学生版

此卷只装订不密封此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号理科数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，则集合（）A． B． C． D．2．已知，复数（为虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部是（）A． B． C． D．3．设是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知甲、乙两名同学在高三的六次模考中数学成绩统计如图，则下列说法错误的是（）A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差B．第5次模考甲的数学成绩比乙高C．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则D．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则5．已知，其中为常数，若，则（）A． B．32 C．64 D．6．函数的图象大致是（）A． B．C． D．7．已知向量满足，，与夹角的大小为，则（）A．0 B． C．2 D．8．已知函数，则的值为（）A．1 B．2 C．2020 D．20219．已知函数的图象的一条对称轴为，且，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为（）A． B． C． D．11．已知定义在上的偶函数，当时，，若函数恰有六个零点，且分别记为，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在中，内角，，所对的边分别为，，．下列各组条件中使得有两解的是___________．(填入所有符合的条件的序号)①，，；②，，；③，，；④，，．14．甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，比赛采取局胜制，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果互不影响．若第一局乙胜，则本次比赛甲胜的概率为__________．15．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则________．16．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知平面四边形中，．（1）若，，求的面积；（2）若，，，求t的最大值．18．（12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．19．（12分）甲､乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲､乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立．（1）设每场比赛甲赢的概率为，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；（2）规定：若随机事件发生的概率小于，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场､乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．20．（12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若在轨迹上，过点作轨迹的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线是过点且倾斜角为的直线，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（2）设曲线交于A，B两点，求当最大时，曲线的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数．（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数､满足，求证：．2020-2021学年下学期高三5月月考卷理科数学（A）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由，，∴，故选C．2．【答案】B【解析】因为是纯虚数，所以，解得，即，，其虚部为，故选B．3．【答案】A【解析】由可得，然后可得，即，当，时，满足，但不满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．4．【答案】D【解析】甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值分别为，，甲、乙两组数据的方差分别为，，则由折线图得：在A中，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，故A正确；在B中，第5次模考甲的数学成绩比乙高，故B正确；在C中，，故C正确；在D中，，故D错误，故选D．5．【答案】A【解析】由多项式乘法知，第一个因式中乘以展开式中的项得一个项，第一个因式中的常数乘以展开式中的项得另一个项，两项合并同类项得系数即为，所以，解得，再令，得，故选A．6．【答案】A【解析】由题意，函数，当时，可得，可排除B项；当时，可得，可排除C项；当时，可得，可排除D项，故选A．7．【答案】A【解析】因为，，所以，因为与夹角的大小为，所以，又，所以，两边平方整理可得，所以或．当时，，，此时与夹角的大小为，与已知矛盾，舍去；当，，，此时与夹角的大小为，符合条件，综上可得，故选A．8．【答案】C【解析】函数，设，则有，所以，所以当时，，令，所以，故，故选C．9．【答案】A【解析】是的一条对称轴，，即，解得，当时，，满足一条对称轴为，，，，可设，，，，，，故选A．10．【答案】B【解析】设，，因为，，所以，所以，故选B．11．【答案】C【解析】根据题目条件，作出函数在上的图象，如图所示：设的六个零点，自左到右为，则，由对称性知：，，，又，，则，故，易知，则，故选C．12．【答案】A【解析】依题意知，是边长为1的等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理易得，是腰长为1的等腰三角形，同理可得其外接圆半径．在三棱锥中，分别过和的外心、作它们的垂线，二者交于点，则是三棱锥的外接球的球心．取的中点为，连接，，由平面平面可知，四边形为矩形．在直角中，，，所以，所以，在直角中，，所以，故三棱锥的外接球的表面积，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】③④【解析】对于①，由余弦定理，可得，即，方程无解，可得无解，故错误；对于②，由余弦定理，可得，即，解得，可得有一个解，故错误；对于③，由余弦定理，可得，即，解得或，可得有两个解，故正确；对于④，由余弦定理，可得，即，解得或，可得有两个解，故正确，故答案为③④．14．【答案】【解析】设第一局乙获胜为事件，本次比赛甲获胜为事件，则，故答案为．15．【答案】63【解析】∵，，，，∴按照以上规律，可得，故答案为．16．【答案】【解析】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立．设，则对任意恒成立，，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增，当时，，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以．令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）由正弦定理可得，∴，，∴．（2），中，由余弦定理得，，∴，∴，∴，时，t的最大值是2．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取中点，连接，，由题知，为的平分线，，，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上，连接，则平面，平面平面，平面平面，平面，，平面，，和平面所成的角为，即，，又，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．（2）以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，取平面的法向量为，设平面与平面所夹角为，则，平面与平面所夹角余弦值为．19．【答案】（1）分布列见解析；（2）乙不可能赢得全部奖金，理由见解析．【解析】（1）因为进行了5场比赛，所以甲､乙之间的输赢情况有以下四种情况：甲赢4场，乙赢1场；甲赢3场，乙赢2场；甲赢2场，乙赢3场；甲赢1场，乙赢4场．5场比赛不同的输赢情况有种，即28种．①若甲赢4场，乙赢1场；甲获得全部奖金8000元；②若甲赢3场，乙赢2场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得6000元奖金；③若甲赢2场，乙赢3场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得2000元奖金；④甲赢1场，乙赢4场，甲没有获得奖金．设甲可能获得的奖金为x元，则甲获得奖金的所有可能取值为8000，6000，2000，0，；；；，∴甲获得奖金数的分布列：8000600020000（2）设比赛继续进行场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢，当时，乙以贏，；当时，乙以贏，；所以，乙赢得全部奖金的概率为，设，，因为，所以，所以在上单调递减，于是．故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件，所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金．20．【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点．【解析】（1）设动圆圆心，由题可知，当不在轴上时，过作交于，则是的中点，所以，化简得，当在轴上时，动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，所以与原点重合，即点也满足方程，综上，动圆圆心的轨迹的方程为．（2）因为在上，所以，设直线的方程为，，．联立，得，由，得，，．因为，所以，所以，又因为，，所以，所以或，所以或，所以或．因为恒成立，所以，所以直线的方程，所以直线过定点．21．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），，令，即，．①当时，即时，，∴在为减函数；②当时，即时，得，．（i）当时，，，∴，；，，∴在为增，为减．（ii）当时，，，∴，；，，∴在和为减函数，为增函数．综上所述，时，在为减函数；当时，在为增函数，为减函数；当时，在和为减函数，为增函数．（2）由已知得需证，∵，，∴，当时，不等式显然成立．当时，，所以只需证，即证，令，，令，，∴，；，，在为增函数，为减函数．所以，令，，则，；，，∴在为减函数，为增函数，，所以，但两边取等的条件不相等，即证得，