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文档简介
三角形的重心
高中数学毛维ABCDEOF播种行为,收获习惯!三角形的重心高中数学毛维ABCDEOF播种行为,收获习1主要内容:一、三角形重心的定义二、重心的五个重要性质三、三角形的五“心”简介主要内容:2连接AD,BE,交于点O,O点即为△ABC的重心.如图所示:在△ABC中,
点D、E分别是BC、AC的中点.ABCDEO重心的定义三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心.连接AD,BE,交于点O,O点即为△ABC的重心.3重心分中线之比为2:1.即AO:OD=2:1
ABCDEOH取EC中点H,连接DH可证AO:OD=2:1重心性质1重心分中线之比为2:1.即AO:OD=2:1ABCDE4重心性质2ABCDEOF连接CO并延长,交AB于F根据性质1,可以证明G过点D作DG//CF,交AB于G三角形的三中线必然交于一点.此点恰是重心.故F为AB中点.AF:FG=2:1FG:GB=1:1重心性质2ABCDEOF连接CO并延长,交AB于F根据性质15BCOADEF分别延长中线,可交对边的中点.易知:S△AOB=2S△BOD=S△BOC重心性质3BCOADEF分别延长中线,可交对边的中点.易知:S△AOB6BCOABCODP由中线向量的性质:∵∴D?如果O为△ABC的重心,那么重心性质4BCOABCODP由中线向量的性质:∵∴D?如果O为△ABC7BCOADEF重心向量常见变化形式:(2)(3)中线AD上的点P满足:(1)BCOADEF重心向量常见变化形式:(2)(3)中线AD上的8
BCOANM连接AO,因为M、O、N三点共线可得所以重心性质5,则
.,,设直线l过重心O,交AB、AC于点M、N,BCOANM连接AO,因为M、O、N三点共线可得所以重心性9
BCANM
它的逆命题也成立!则直线l必过△ABC的重心设直线l交AB、AC于点M、N,且满足BCANM它的逆命题也成立!则直线l必过△ABC的重心设10C【友情链接】1.(2010年湖北卷)已知△ABC和点M满足,若存在实数m使得成立,则()A.2 B.C.3D.6
解析:BCMAC【友情链接】1.(2010年湖北卷)已知△ABC和点M满11【补充内容】三角形“五心”向量形式的充要条件:
设O为△ABC所在平面内一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为重心
(三条中线的交点)BCOA【补充内容】三角形“五心”向量形式的充要条件:设O12(2)O为垂心(三条垂线的交点)
BCOA(2)O为垂心(三条垂线的交点)BCOA13(3)O为外心(中垂线交点,外接圆圆心)
BCOA(3)O为外心(中垂线交点,外接圆圆心)BCOA14(4)O为内心(角平分线交点,内切圆圆心)
(5)O为∠A旁心(旁切圆圆心,∠A平分线与两外角平分线交点)
☺(1)(2)(3)常考;☺(4)(5)只作了解.(4)O为内心(角平分线交点,内切圆圆心)(5)O为∠15【友情链接】2.(2009•宁夏海南卷)已知O,N,P在△ABC所在平面内,且,,,则O,N,P依次是△ABC的A.重心
外心垂心C.外心
重心垂心D.外心
重心内心B.重心
外心内心答案:(C)BCNABCPABCOA解析:【友情链接】,则O,N,P依次是△ABC的A.重心外心16提示:连GA
【课后思考】:1.设G为△ABC的重心,M、N分别为AB、CA的中点,求证:四边形GMAN和△GBC的面积相等.GBCAMN△AMG的面积=△GBM的面积,△GAN的面积=△GNC的面积,
提示:连GA【课后思考】:1.设G为△ABC的重心,17【课后思考】2.已知A,B,C三点不共线,且点O满足,下列结论正确的是()A.C.D.B.提示:【课后思考】,下列结论正确的是()A.C.D.B.提示18小结1.重心的定义2.重心五个性质及其变化形式3.“五心”的认识及其向量的基本形式4.友情链接高考试题聪明由于积累,天才出于勤奋。小结1.重心的定义2.重心五个性质及其变化形式3.“五心”的19三角形的重心
高中数学毛维ABCDEOF播种行为,收获习惯!三角形的重心高中数学毛维ABCDEOF播种行为,收获习20主要内容:一、三角形重心的定义二、重心的五个重要性质三、三角形的五“心”简介主要内容:21连接AD,BE,交于点O,O点即为△ABC的重心.如图所示:在△ABC中,
点D、E分别是BC、AC的中点.ABCDEO重心的定义三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心.连接AD,BE,交于点O,O点即为△ABC的重心.22重心分中线之比为2:1.即AO:OD=2:1
ABCDEOH取EC中点H,连接DH可证AO:OD=2:1重心性质1重心分中线之比为2:1.即AO:OD=2:1ABCDE23重心性质2ABCDEOF连接CO并延长,交AB于F根据性质1,可以证明G过点D作DG//CF,交AB于G三角形的三中线必然交于一点.此点恰是重心.故F为AB中点.AF:FG=2:1FG:GB=1:1重心性质2ABCDEOF连接CO并延长,交AB于F根据性质124BCOADEF分别延长中线,可交对边的中点.易知:S△AOB=2S△BOD=S△BOC重心性质3BCOADEF分别延长中线,可交对边的中点.易知:S△AOB25BCOABCODP由中线向量的性质:∵∴D?如果O为△ABC的重心,那么重心性质4BCOABCODP由中线向量的性质:∵∴D?如果O为△ABC26BCOADEF重心向量常见变化形式:(2)(3)中线AD上的点P满足:(1)BCOADEF重心向量常见变化形式:(2)(3)中线AD上的27
BCOANM连接AO,因为M、O、N三点共线可得所以重心性质5,则
.,,设直线l过重心O,交AB、AC于点M、N,BCOANM连接AO,因为M、O、N三点共线可得所以重心性28
BCANM
它的逆命题也成立!则直线l必过△ABC的重心设直线l交AB、AC于点M、N,且满足BCANM它的逆命题也成立!则直线l必过△ABC的重心设29C【友情链接】1.(2010年湖北卷)已知△ABC和点M满足,若存在实数m使得成立,则()A.2 B.C.3D.6
解析:BCMAC【友情链接】1.(2010年湖北卷)已知△ABC和点M满30【补充内容】三角形“五心”向量形式的充要条件:
设O为△ABC所在平面内一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为重心
(三条中线的交点)BCOA【补充内容】三角形“五心”向量形式的充要条件:设O31(2)O为垂心(三条垂线的交点)
BCOA(2)O为垂心(三条垂线的交点)BCOA32(3)O为外心(中垂线交点,外接圆圆心)
BCOA(3)O为外心(中垂线交点,外接圆圆心)BCOA33(4)O为内心(角平分线交点,内切圆圆心)
(5)O为∠A旁心(旁切圆圆心,∠A平分线与两外角平分线交点)
☺(1)(2)(3)常考;☺(4)(5)只作了解.(4)O为内心(角平分线交点,内切圆圆心)(5)O为∠34【友情链接】2.(2009•宁夏海南卷)已知O,N,P在△ABC所在平面内,且,,,则O,N,P依次是△ABC的A.重心
外心垂心C.外心
重心垂心D.外心
重心内心B.重心
外心内心答案:(C)BCNABCPABCOA解析:【友情链接】,则O,N,P依次是△ABC的A.重心外心35提示:连GA
【课后思考】:1.设G为△ABC的重心,M、N分别为AB、CA的中点,求证:四边形GMAN和△GBC的面积相等.GBCAMN△AMG的面积=△GBM的面积,△GAN的面积=△GNC的面积,
提示:连
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