一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件

13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质一一致收敛函数列的性质

二函数项级数的性质13.2一致收敛函数列与一一致收敛函数列的性质二1问题的提出问题:问题的提出问题:2函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题??函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算3??2.求导运算与无限求和运算交换次序问题??2.求导运算与无限求和运算交换次序问题4??3.极限运算与无限求和运算交换次序问题??3.极限运算与无限求和运算交换次序问题5

定理13.8

设函数列{fn}在(a,x0)∪(x0,b)上一致收敛于

f，且则即

一、一致收敛函数列的性质这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．定理13.8设函数列{fn}6

证

先证数列{an}收敛．因为{fn}一致收敛，故对任给的ε>0,存在

N>0,当

n>N

时，对任何正整数

p，对一切

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–fn+p(x)|<ε从而即由柯西准则知数列{an}收敛．证先证数列{an}收敛．因7设下面证明：因为{fn}一致收敛于

f，数列{an}收敛于

A，因此对任给的ε>0,存在

N>0,当

n>N

时，对任何

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–f(x)|<ε/3和|an–A|<ε/3同时成立．特别取

n=N+1，有|fN+1(x)–f(x)|<ε/3和|aN+1–A|<ε/3设下面证明：因为{fn}一致收敛于f，数列{a8又所以存在δ>0,当0<|x–x0|<δ时，|fN+1(x)–aN+1|<ε/3这样当0<|x–x0|<δ时，所以又所以存在δ>0,当0<|x–x0|9利用两个极限交换定理可以得到下列判别法利用两个极限交换定理可以得到下列判别法10

定理13.9（连续性）设函数列{fn}在区间

I

上一致收敛于

f，且

fn(n=1,2,...)在

I

上连续，则

f在

I

上也连续．证要证：对任何

x0

∈I,由定理13.8，定理13.9（连续性）设函数列{fn11注：若各项为连续函数的函数列在区间I上极限函数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛例如：函数列的各项在上都是连续的,但其极限函数在时不连续，从而推得在上不一致收敛

注：若各项为连续函数的函数列在区间I上极限函数不连续，则此函12

定理13.10（可积性）设函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于

f，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上连续，则

f

在[a,b]上可积，且证由定理13.9，f

在[a,b]上连续，从而

f

在[a,b]上可积．定理13.10（可积性）设函数列{fn}13因为函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于

f，所以对任给的ε>0,存在

N>0,当

n>N

时，对一切

x

∈[a,b]，都有|fn(x)－f(x)|<ε于是当

n>N

时有证毕．注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序因为函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f14注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，15一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件16一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件17注3注318

定理13.11（可微性）设

x0∈[a,b]为{fn}的收敛点，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上有连续的导数，{fn'}在[a,b]上一致收敛，则

证设由题设及定理13.9知，g

在[a,b]连续．定理13.11（可微性）设x0∈[a,b]19先证：{fn}在[a,b]收敛．对任何

x

∈[a,b]，由牛顿-莱布尼兹公式，总有因为

fn'(x)在[a,b]上连续，由定理13.10，得所以极限存在，设先证：{fn}在[a,b]收敛．对任何x20于是由于

g

在[a,b]上连续，再由微积分基本定理，得即证毕．于是由于g在[a,b]上连续，再由微积分基本定理21注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注3：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件例2设函数列

注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：在导函22Dini定理Dini定理23练习设有函数列证明：这两个函数在[0,1]上都不一致收敛；逐项可积性对(1)不成立，但对(2)成立练习设有函数列证明：这两个函数在[0,1]上都不一致收敛；逐24二函数项级数的性质1.逐项求极限定理二函数项级数的性质1.逐项求极限定理252.连续性定理定理13.12证2.连续性定理定理13.12证26(1)(2)同样有(1)(2)同样有27(3)由(1)、(2)、(3)可见,(3)由(1)、(2)、(3)可见,28定理13.13(4)3.逐项求积定理定理13.13(4)3.逐项求积定理29证证30根据极限定义，有即根据极限定义，有即31定理13.14(5)4.逐项求导定理定理13.14(5)4.逐项求导定理32注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导．注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导33例3设证明函数项级数∑un(x)[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性，可积性与可微性．证明：对每一个，易见

为上增函数，

故有

又当时，有不等式所以[0,1]上一致收敛例3设证明函数项级数∑un(x)[0,1]上一致收敛34由于每一个在上连续,根据定理13.12与定理13.13,的和函数

在上连续且可积.又由

推得也在上一致收敛.

由定理13.14,得在上可微.由于每一个在上连续,根据定理13.12与定理13.13,35练习练习36一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件37一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件3813.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质一一致收敛函数列的性质

二函数项级数的性质13.2一致收敛函数列与一一致收敛函数列的性质二39问题的提出问题:问题的提出问题:40函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题??函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算41??2.求导运算与无限求和运算交换次序问题??2.求导运算与无限求和运算交换次序问题42??3.极限运算与无限求和运算交换次序问题??3.极限运算与无限求和运算交换次序问题43

定理13.8

设函数列{fn}在(a,x0)∪(x0,b)上一致收敛于

f，且则即

一、一致收敛函数列的性质这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．定理13.8设函数列{fn}44

证

先证数列{an}收敛．因为{fn}一致收敛，故对任给的ε>0,存在

N>0,当

n>N

时，对任何正整数

p，对一切

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–fn+p(x)|<ε从而即由柯西准则知数列{an}收敛．证先证数列{an}收敛．因45设下面证明：因为{fn}一致收敛于

f，数列{an}收敛于

A，因此对任给的ε>0,存在

N>0,当

n>N

时，对任何

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–f(x)|<ε/3和|an–A|<ε/3同时成立．特别取

n=N+1，有|fN+1(x)–f(x)|<ε/3和|aN+1–A|<ε/3设下面证明：因为{fn}一致收敛于f，数列{a46又所以存在δ>0,当0<|x–x0|<δ时，|fN+1(x)–aN+1|<ε/3这样当0<|x–x0|<δ时，所以又所以存在δ>0,当0<|x–x0|47利用两个极限交换定理可以得到下列判别法利用两个极限交换定理可以得到下列判别法48

定理13.9（连续性）设函数列{fn}在区间

I

上一致收敛于

f，且

fn(n=1,2,...)在

I

上连续，则

f在

I

上也连续．证要证：对任何

x0

∈I,由定理13.8，定理13.9（连续性）设函数列{fn49注：若各项为连续函数的函数列在区间I上极限函数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛例如：函数列的各项在上都是连续的,但其极限函数在时不连续，从而推得在上不一致收敛

注：若各项为连续函数的函数列在区间I上极限函数不连续，则此函50

定理13.10（可积性）设函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于

f，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上连续，则

f

在[a,b]上可积，且证由定理13.9，f

在[a,b]上连续，从而

f

在[a,b]上可积．定理13.10（可积性）设函数列{fn}51因为函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于

f，所以对任给的ε>0,存在

N>0,当

n>N

时，对一切

x

∈[a,b]，都有|fn(x)－f(x)|<ε于是当

n>N

时有证毕．注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序因为函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f52注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，53一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件54一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件55注3注356

定理13.11（可微性）设

x0∈[a,b]为{fn}的收敛点，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上有连续的导数，{fn'}在[a,b]上一致收敛，则

证设由题设及定理13.9知，g

在[a,b]连续．定理13.11（可微性）设x0∈[a,b]57先证：{fn}在[a,b]收敛．对任何

x

∈[a,b]，由牛顿-莱布尼兹公式，总有因为

fn'(x)在[a,b]上连续，由定理13.10，得所以极限存在，设先证：{fn}在[a,b]收敛．对任何x58于是由于

g

在[a,b]上连续，再由微积分基本定理，得即证毕．于是由于g在[a,b]上连续，再由微积分基本定理59注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注3：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件例2设函数列

注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：在导函60Dini定理Dini定理61练习设有函数列证明：这两个函数在[0,1]上都不一致收敛；逐项可积性对(1)不成