大学物理第07章波动课件

1

第7章波动

(Wave)7.1行波7.2简谐波7.3物体的弹性形变7.4弹性介质中的波速7.5波的能量7.6惠更斯原理与波的反射和折射1第7章波动7.1行波7.8声波7.9地震波7.10水波7.11多普勒效应7.12行波的叠加和群速度7.13孤子7.7波的叠加驻波7.8声波7.9地震波7.10水波7.11多普一定的扰动的传播称为波动，简称波。机械波：机械扰动在介质中的传播。电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播。

具有一定的传播速度、都具有能量，伴随着能量的传播产生反射、折射、干涉和衍射等现象。两类波共有的特征和规律一定的扰动的传播称为波动，简称波。机械波：机械扰动在介质4

7.1

行波

(TravelingWave

)

扰动的传播叫行波。抖动一次的扰动叫脉冲，脉冲的传播叫脉冲波图7.2脉冲纵横波的传播图7.1脉冲波横波的传播47.1行波5

7.2

简谐波

(SimpleHarmonicWave

)所传播的扰动形式是简谐运动的波，叫简谐波图7.3

横波图7.3

纵波12345678910111213141516171812345678910111213141516171857.2简谐波所传播的扰动形6

各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化的数学表达式叫做简谐波的波函数。

如图7.3和图7.4，沿棒各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化的数学表达式叫做简谐波的波函数。原点质元的振动表达式：xxp波沿x轴正向传播(7.1)u图7.4简谐波的波形曲线6各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化的7t时刻位于x处的质元的位移为简谐波的振幅简谐波的角频率上式就是简谐波的波函数:为在x处的质点在t时刻的相(或位相)。对于某一个给定的相有(7.2)7t时刻位于x处的质元的位移为简谐波的振幅简谐波的角频率8它的移动速度为

波速u就是振动的相的传播速度，这一速度又叫相速度。简谐波具有时间上的周期性。简谐运动的周期为简谐波的频率为(7.3)(7.4)8它的移动速度为波速u就是振动的相的传播速度，这9

简谐波还具有空间上的周期性。两个相邻的同相质元之间的距离为简谐波的波长

波长等于一个周期内任一给定的相所传播的距离。简谐波的相速度等于其波长与频率的乘积。(7.5)(7.6)9简谐波还具有空间上的周期性。两个相邻的同相质元10当t=t0时，式(7.2)给出(7.7)(7.7)式表明各质元的位移随它们平衡位置的坐标做正弦变化，它给出t0时刻波形的“照相”。与之对应的y-x曲线叫做波形曲线。

横波的波形直接反映了横波中各质元的位移。

纵波的波形曲线是把位移转到y轴方向标出，就连成了与横波波形相似的曲线。10当t=t0时，式(7.2)给出(7.7)11

用来表示简谐波特征的又一物理量——波数k。它等于在2的长度内含有的“完整波”的数目。(7.8)(7.9)沿x轴正向传播的简谐波还写成以下两种形式

(7.10)

沿x轴负向传播的简谐波要将7.2、7.9、7.10

式中的负号改为正号。便是相应的波函数。11用来表示简谐波特征的又一物理量——波数k。它12右图为平面波与球面波的示意图图7.6球面波图7.5平面波波线

波面

波线：波的传播方向的直线。同相面（波面）：同相振动的点组成的面。同相面是平面的波叫平面简谐波。12右图为平面波与球面波的示意图图7.6球面波图7.5平面13

例7.1

一列平面简谐波以波速u沿x轴正向传播，波长为。已知在x0=

/4处的质元的振动表达式为y0=Acost。试写出波函数，并在同一张坐标图中画出t=T和t=5T/4时的波形图解P点的振动表达式为（就是所求的波函数）或13例7.1解P点的振动表达式为（就是所求的波函数14t=0时的波形图为下式

t=T时的波形图向右平移一个波长，t=5T/4时的波形曲线向x正向平移/4。yx0u14t=0时的波形图为下式t=T时的波形图向右平移一个波长15

例7.2

一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐横波向左传播，波速为20m/s。在t=0时的波形曲线如图所示

（1）求波的振幅、波长和波的周期y/10-2mx/m0.10.3024u

（2）按图设x轴方向写出波函数

（3）写出质点振动速度表达式解（1）由图得A=4.010-2m，=0.4m15例7.2（1）求波的振幅、波长和波的周期y/116y/10-2mx/m0.10.3024u

（2）原点O处质元的振动为表达式波函数为16y/10-2mx/m0.10.3024u（2）原17代入A，T和的值代入，可得

（3）位于x处的介质质元的振动速度为

注意：区别振动速度和波速17代入A，T和的值代入，可得（3）位于x处的介质18

7.3

物体的弹性形变

(Elesticdeformationofmatter)

固体、液体和气体，在受到外力作用时，形状和体积会发生或大或小的变化。这种变化称为形变。当外力不太大因而引起的形变也不太大时，去掉外力，形状或体积仍能复原。这个外力的限度叫弹性限度。在弹性限度内地形变叫弹性形变，它和外力具有简单的关系。187.3物体的弹性形变

1.线变

一段固体棒，当在其两端沿轴的方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变，称为线变。F/S叫应力l/l叫线应变应力和线应变成正比——胡克定律(7.11)E叫杨氏模量FFllS图7.7线变1.线变一段固体棒，当在其两端沿轴的方向相反大20(7.12)将(7.11)式改写成k称为劲度系数，简称劲度。类比弹簧的弹性势能公式，可得弹性势能为20(7.12)将(7.11)式改写成k称为劲度系数，简称劲21则单位体积内的弹性势能为(7.13)

2.剪切形变一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，形状将发生改变，如图所示，这种形变称为剪切形变，也简称剪切。图7.8剪切形变21则单位体积内的弹性势能为(7.13)2.剪切形变F/S叫剪应力=d/D叫剪应变(7.14)在弹性限度内剪应力和剪应变成正比，即G：剪切模量。是由材料性质决定的常量。式(7.14)即用于剪切形变的胡克定律公式。(7.15)F/S叫剪应力=d/D叫剪应变(7.14)在弹性限度内剪23

3.体变一块物质周围受到压强改变时，其体积也会发生改变，如图所示。p表示压强度改变，V/V表示相应的体积的相对变化即体应变，则胡克定律表示为(7.16)K：弹性模量。其大小随物质种类的不同而不同。式中负号表示压强的增大总导致体积的缩小。图7.9体变233.体变一块物质周围受到压强改变24

体弹性模量的倒数叫压缩率。以表示压缩率，则有(7.17)

体弹性势能有24体弹性模量的倒数叫压缩率。以表示压缩率25

7.4

弹性介质中的波速

(WavevelocityofElasticmedium)弹性介质中的波是靠介质各质元间弹性力作用而形成的。因此弹性越强大介质，在其中形成的波动传播速度就会越大；或者说，弹性模量越大的介质中，波动传播速度就越大。257.4弹性介质中的波速

m=

Sx，其中为棒材的质量密度。

d=dy，D=dx图7.10推导波的速度用图m=Sx，其中为棒材的质量密度。d=dy27

这一质元受到合力为(7.18)27这一质元受到合力为(7.18)28(7.19)等式两边消去Sx，得(7.20)将式(7.2)代入式(7.20)中的y，即可得28(7.19)等式两边消去Sx，得(7.20)将29于是弹性棒中横波的波速为(7.21)用类似的方法可以导出棒中纵波的波速为(7.22)

同种材料的G总小于其E，因此在同一种介质中，横波的波速比纵波的波速要小一些。29于是弹性棒中横波的波速为(7.21)用类似的方法可以30同种固体中，既可以传播横波，也可以传播纵波。在液体和气体中只能传播纵波，其波速公式为(7.23)

K:介质的体弹模量；：密度绳子中的横波波速公式为(7.24)

F:绳中的张力；l：质量线密度30同种固体中，既可以传播横波，也可以传播31气体中的纵波波速公式为(7.25)31气体中的纵波波速公式为(7.25)32

7.5

波动能量

(Energyofwave)在弹性介质中有波传播时，介质的各质元由于运动而具有动能。同时又由于产生了形变，所以还具有弹性势能。平面简谐波设一质元密度为，体积为V，其中心的平衡位置坐标为x。327.5波动能量在33质元的振动速度为它在此时刻振动动能为(7.26)33质元的振动速度为它在此时34此质元的应变为根据式（7.15），它的弹性势能为34此质元的应变为根据式（735由式（7.21）可知u2=G/，它的弹性势能又可以写为(7.27)和式(7.26)比较，在平面简谐波中，每一质元的动能和弹性势能相同。35由式（7.21）可知u2=G/，它的弹性势能又可以写36质元的总机械能为(7.28)波在传播时，介质单位体内的能量叫波的能量密度，为(7.29)36质元的总机械能为(7.28)37在一个周期内的能量密度的平均值叫平均能量密度(7.30)

----对于各种弹性波均使用图7.11波的强度的计算37在一个周期内的能量密度的平均值叫平均能量密度(7.30)38

通过垂直于波的传播方向的单位面积的能流的时间平均值，称为波的强度，用I表示(7.32)对于波来说，更重要的是它的传播本领。单位时间内通过垂直于波的传播方向的面积S的能量叫能流用P表示(7.31)38通过垂直于波的传播方向的单位面积的能流的对于平面波有(7.33)S1

=

S2因而有A1

=

A2图7.12平面波中能量的计算对于平面波有(7.33)S1=S2因而有A1=A2图40对于球面波有或(7.34)所以球面波函数为(7.35)其中A1为离波源单位长度处的振幅图7.13球面波中能量的传播40对于球面波有或(7.34)所以球面波函数为(7.35)其4141液体中声振动的振幅其实极小，但比水分子间距（10-10m）大得多。[解]

所以例7.2用聚焦超声波的方法，可以在水中产生强达I=120kW/cm2

的超声波，设波源作简谐振动，频率为=500kHz，液体的密度为=103kg/m3

声速为u=1500m/s，求这时液体质元振动的振幅。4141液体中声振动的振幅其实极小，但比水分42

7.6

惠更斯原理与波的反射与折射

(HuygensPrinciple)42球面波平面波

介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面-----惠更斯原理。O图7.14用惠更斯作图法球新波振面（左）平面波；(右)球面波427.6惠更斯原理与波的反射与折射42球面43平面波传播时遇到有缝的障碍物，波能绕过缝的边界向障碍物的几何阴影内传播，这就是波的衍射现象。图7.15波的衍射图7.16波的反射平面波入射到两种介质的分界面上，入射角等于反射角即波的反射定律。43平面波传播时遇到有缝的障碍物，波能绕过缝44图7.17波的折射波的折射定律：平面波入射到两种介质的分界面上，如果波能进入第二种介质，且波在两种介质中的传播速度不同。在分界面上要发生折射现象。入射角的正弦与折射角的正弦之比等于常数。(7.36)44图7.17波的折射波的折射定律：平面45

7.7波的叠加驻波

(SuperpositionPrincipleofWaveStandingWaves)在几列波相遇或叠加区域内，任一点点位移，为各个波单独在该点产生的唯一的合成——波的独立性或叠加原理。在同一介质中两列频率、振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时所形成的叠加即为驻波。457.7波的叠加驻波在几列设有两列简谐波，分别沿x轴正方向和负方向传播，它们的表达式为其合成波为(7.38)——各质点仍作简谐振动，但各质点的振幅是x的函数。设有两列简谐波，分别沿x轴正方向和负方向传播47：表示简谐运动，

:是简谐运动的振幅。47：表示简谐运动，:是简谐运动的振幅。48481)当x

满足的各点，振幅最大;波腹

(k=0,

1,2,…)2)当x

满足的各点，振幅为零.波节

(k=0,1,2,…)3)相邻波节或相邻波腹之间的距离均为。48481)当x满足49驻波的特点1).各处振幅不同，出现了波腹和波节2).波节之间质点振动相位相同；波节两边质点振动相位始终相反；3).无振动状态的逐点传播，也无能量的单向传播。49驻波的特点1).各处振幅不同，出现了波腹和波节50图7.18驻波的形成50图7.18驻波的形成5151反射点处的半波损失

反射点为一固定点时，驻波在此形成波节，说明反射波与入射波在该处是反相的(

的相位突变)，又称半波损失。图7.19入射波在反射时的相跃变5151反射点处的半波损失反射点为一固定点时5252

在弹性波垂直入射到两种介质的分界面而反射时：若1u1

2u2(波疏介质波密介质)反射波有半波损失。若1u1

2u2(波密介质波疏介质)反射波无半波损失。图7.20绳上的驻波5252在弹性波垂直入射到两种介质的分界面而5353驻波的应用弦(管)乐器的振动都遵从驻波规律。

两端固定的弦线上(7.39)

相应的频率为(7.40)5353驻波的应用弦(管)乐器的振动都遵从驻波规律。两端固54

为基频，称为二次、三次谐频(声驻波则称基音、泛音)，每一允许频率(简正频率）所对应的驻波称为一种简正模式。图7.21两端固定弦的几种简正模式54为基频，图7.22二维驻波（a）鼓皮以某一模式振动时，才能在其上的碎屑聚集在不振动的地方，显示出二维驻波的“节线”的形状（R.Resnick）（b）钟以某一模式振动时“节线”的分布（左图）和该模式的全息照相（右图），其中白线对应于“节线”（T.D.Rossing

）图7.22二维驻波56例7.4一只二胡的“千斤”（弦上方固定点）和“码子”（弦下方固定点）之间的距离是L=0.3m。其上一根弦的质量线密度为l=3.8×10-4kg/m，拉紧它的张力F=9.4N。求此弦所发的声音的基频是多少？此弦的三次谐频振动的节点在何处？图7.23二胡解：此弦中所产生的驻波的基频为56例7.4一只二胡的“千斤”（弦上方固定点）和“码子三次谐频振动时，整个弦长为的3倍。位置从“千斤”算起0，10，20，30cm处。

图7.23二胡三次谐频振动时，整个弦长为的3倍。位置从58

7.8声波

(SoundWave)声振动在介质中形成的纵波——声波。

超声波：

为次声波：

为声波：为可引起听觉；

介质中有声波传播时，某点附近的压力与无声时的静压力差——声压以P表示，声压的振幅为：(7.41)587.8声波声振动在介质中形成的纵波——声波。59声强，即声波的能流密度

()(7.42)炮声的声强约为用聚焦的方法获得的超声波最大声强可达能引起听觉的声强范围，一般正常人为：（痛觉阈）（听觉阈）59声强，即声波的能流密度(6060单位为bel(贝尔)，而1B=10dB，这样

以最低的声强作为测定声强的标准，并用常用对数标度作为声级L的量度，声级为：保护环境减少污染物理污染：噪声、电磁辐射(7.43)(7.44)6060单位为bel(贝尔)，而1B=10dB，这样61例7.5

《三国演义》中有大将张飞喝断当阳桥的故事。设张飞大喝一声声级为140dB，频率为400Hz。问：

（1）张飞喝声的声压和振幅各是多少？

（2）如果一个士兵的喝声声级为90dB，张飞喝相当于多少士兵同时大喝一声？解（1）由（7.44）得61例7.5《三国演义》中有大将张飞喝断当阳桥的故事。设张由（7.42）式张飞喝声的声压幅为由（7.32）式空气质元的振幅为（2）由（7.44）式，每一个士兵喝声的声强为由（7.42）式张飞喝声的声压幅为由（7.32）式空气质元的63而即张飞一喝相当于10万士兵同时齐声大喝！63而即张飞一喝相当于10万士兵同时齐声大喝！64

7.9地震波

(EarthquakeWave)7.24地震波的记录地震是一种严重的自然灾害。震源一般在地表下几千米到几百米的地方，震源正上方的那一点叫震中。647.9地震波7.24地震波的记录657.25候风地动仪纵切面图7.26地震波与地球内部结构657.25候风地动仪纵切面图7.26地震波与地球内66一次释放的能量E通常用里氏地震级M表示，它们之间的关系是(7.45)一次用里氏7地震级释放的能量约为1015J，相当于百万吨级氢弹爆炸所释放出的能量。66一次释放的能量E通常用里氏地震级M表示，67

7.10水波

(WaterWave)水面形成的细波主要是表面张力作用的结果。这种波叫表面张力波。其波速为(7.46)：水的表面张力系数：水的密度巨浪振荡所形成的波叫重力波。潜水面上水波波速u只有深度决定，其波速为(7.47)677.10水波水面形成的细波主68对于深水，h>>的情况，其波速为(7.48)7.27水波中水的质元的运动68对于深水，h>>的情况，其波速为(7.697.28海面波的波形(a)浪高较小(b)浪高较大697.28海面波的波形70

7.11多普勒效应

(DopplerEffect)接收器接收到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，表多普勒效应。设

vS：波源相对于介质运动的速度

vR：接收器相对于介质运动的速度

u：波速

S：波源的频率

R：接收器接收到的频率

：波的频率707.11多普勒效应接收器接收711.vs=0，接收器以速度vR运动

在单位时间内，接收器收到的完整的波数等于分布在u+

R距离内完整波的数目（即，所接收到的波的频率）7.29波源静止时的多普勒效应711.vs=0，接收器以速度vR运动72当接收器向着静止波源运动时(7.50)当接收器离开波源运动时(7.51)72当接收器向着静止波源运动时(7.50)当接收器离开波源运2.vR=0，波源以速度vs运动7.30波源运动时的多普勒效应波长变短2.vR=0，波源以速度vs运动7.30波源运动时的74当波源远离接收器运动时(7.52)频率为当波源向着接收器运动时(7.53)74当波源远离接收器运动时(7.52)频率为当波源向着接收器753.vs0

，vR0当波源和接收器相向运动时，接收器接收到的频率为当波源和接收器彼此离开时，接收器接收到的频率为(7.55)(7.54)753.vs0，vR0当波源和接收器相向运动76电磁波（如光）也有多普勒现象

电磁波的传播不依赖于弹性介质，从任一惯性系来看，光在真空中的传播速度都相同。

因此，波源与观察者之间的相对运动速度v

决定了所接收到的频率。76电磁波（如光）也有多普勒现象电磁波的传播7777当光源和接收器在同一直线上运动，且二者相互接近，则频率为(7.56)若二者相互远离，则频率为(7.57)光源远离接收器运动时，接收到的频率变小，因而波长变长，这种现象叫“红移”。7777当光源和接收器在同一直线上运动，且二78当波源的速度超过波的传播速度时，波源发出的波到达的前沿形成了一个圆锥面叫马赫锥。其半顶角为(7.58)7.31冲击波的产生78当波源的速度超过波的传播速度时，波源发出79例7.6一警笛发出频率为1500Hz的声波，并以22m/s的速度向某方向运动，一个人以6m/s的速度跟踪其后，求他听到的警笛发出声音的频率以及在警笛后方空气中声波的波长。设没有风，空气中声速为u=330m/s。解已知vS=1500Hz,S=22m/s,R=6m/s，则此人听到的警笛发出声音的频率为79例7.6一警笛发出频率为1500Hz的声波，并以22m/80警笛后方空气中声波的频率相应的空气中声波的波长为80警笛后方空气中声波的频率相应的空气中声波的波长为817.12行波的的叠加和群速度

(Superpositionoftravelingwaveandgroupvelocity

)不同频率的简谐波叠加后，一般比较复杂，故称为复波。7.32频率为3:1的两列简谐波的合成817.12行波的的叠加和群速度不同频率82：两列波的波数设有两列沿x轴正向传播的简谐波，其波函数分别为：两列波的相速度82：两列波的波数设有两列沿x轴正向传播的简谐波83这两列波的合成为波(7.59)令83这两列波的合成为波(7.59)令84则(7.59)可写为(7.60)——可看成是振幅为Ag以频率g缓慢变化着而质元以频率迅速振动的波。84则(7.59)可写为(7.60)——可看成是振幅为Ag以857.33频率相近的两列余弦波的合成(7.61)波的相速度为857.33频率相近的两列余弦波的合成(7.61)波的相86由于振幅的变化，合成波显现为一团一团振动向前传播。这样的一团叫一个波群或波包。波群的运动速度叫群速度。(7.62)(7.63)还可以把上式改写为86由于振幅的变化，合成波显现为一团一团振动87例7.7根据7.1节关于水面波的波速公式计算各种水面波的群速度。解公式（7.48）代入公式（7.63），可得深海波浪的群速度为用式（7.47）可得浅海波浪的群速度为用式（7.46）可得涟漪波的群速度为87例7.7根据7.1节关于水面波的波速公式计算各种水面波的88

7.13孤子

(Soliton

)在线性介质中传播的波包，一般并不稳定，会在传播过程中逐渐弥散消失。如果介质是非线性的，则可能形成一种不弥散的波包——孤立波。介质中波动方程为(7.64)887.13孤子在线性介质中传播89这一方程现在就叫KdV方程，它的一个特解是(7.65)7.34孤立波的形成7.35两个孤子的碰撞89这一方程现在就叫KdV方程，它的一个特解是(7.65)790

第7章波动

(Wave)7.1行波7.2简谐波7.3物体的弹性形变7.4弹性介质中的波速7.5波的能量7.6惠更斯原理与波的反射和折射1第7章波动7.1行波7.8声波7.9地震波7.10水波7.11多普勒效应7.12行波的叠加和群速度7.13孤子7.7波的叠加驻波7.8声波7.9地震波7.10水波7.11多普一定的扰动的传播称为波动，简称波。机械波：机械扰动在介质中的传播。电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播。

具有一定的传播速度、都具有能量，伴随着能量的传播产生反射、折射、干涉和衍射等现象。两类波共有的特征和规律一定的扰动的传播称为波动，简称波。机械波：机械扰动在介质93

7.1

行波

(TravelingWave

)

扰动的传播叫行波。抖动一次的扰动叫脉冲，脉冲的传播叫脉冲波图7.2脉冲纵横波的传播图7.1脉冲波横波的传播47.1行波94

7.2

简谐波

(SimpleHarmonicWave

)所传播的扰动形式是简谐运动的波，叫简谐波图7.3

横波图7.3

纵波12345678910111213141516171812345678910111213141516171857.2简谐波所传播的扰动形95

各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化的数学表达式叫做简谐波的波函数。

如图7.3和图7.4，沿棒各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化的数学表达式叫做简谐波的波函数。原点质元的振动表达式：xxp波沿x轴正向传播(7.1)u图7.4简谐波的波形曲线6各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化的96t时刻位于x处的质元的位移为简谐波的振幅简谐波的角频率上式就是简谐波的波函数:为在x处的质点在t时刻的相(或位相)。对于某一个给定的相有(7.2)7t时刻位于x处的质元的位移为简谐波的振幅简谐波的角频率97它的移动速度为

波速u就是振动的相的传播速度，这一速度又叫相速度。简谐波具有时间上的周期性。简谐运动的周期为简谐波的频率为(7.3)(7.4)8它的移动速度为波速u就是振动的相的传播速度，这98

简谐波还具有空间上的周期性。两个相邻的同相质元之间的距离为简谐波的波长

波长等于一个周期内任一给定的相所传播的距离。简谐波的相速度等于其波长与频率的乘积。(7.5)(7.6)9简谐波还具有空间上的周期性。两个相邻的同相质元99当t=t0时，式(7.2)给出(7.7)(7.7)式表明各质元的位移随它们平衡位置的坐标做正弦变化，它给出t0时刻波形的“照相”。与之对应的y-x曲线叫做波形曲线。

横波的波形直接反映了横波中各质元的位移。

纵波的波形曲线是把位移转到y轴方向标出，就连成了与横波波形相似的曲线。10当t=t0时，式(7.2)给出(7.7)100

用来表示简谐波特征的又一物理量——波数k。它等于在2的长度内含有的“完整波”的数目。(7.8)(7.9)沿x轴正向传播的简谐波还写成以下两种形式

(7.10)

沿x轴负向传播的简谐波要将7.2、7.9、7.10

式中的负号改为正号。便是相应的波函数。11用来表示简谐波特征的又一物理量——波数k。它101右图为平面波与球面波的示意图图7.6球面波图7.5平面波波线

波面

波线：波的传播方向的直线。同相面（波面）：同相振动的点组成的面。同相面是平面的波叫平面简谐波。12右图为平面波与球面波的示意图图7.6球面波图7.5平面102

例7.1

一列平面简谐波以波速u沿x轴正向传播，波长为。已知在x0=

/4处的质元的振动表达式为y0=Acost。试写出波函数，并在同一张坐标图中画出t=T和t=5T/4时的波形图解P点的振动表达式为（就是所求的波函数）或13例7.1解P点的振动表达式为（就是所求的波函数103t=0时的波形图为下式

t=T时的波形图向右平移一个波长，t=5T/4时的波形曲线向x正向平移/4。yx0u14t=0时的波形图为下式t=T时的波形图向右平移一个波长104

例7.2

一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐横波向左传播，波速为20m/s。在t=0时的波形曲线如图所示

（1）求波的振幅、波长和波的周期y/10-2mx/m0.10.3024u

（2）按图设x轴方向写出波函数

（3）写出质点振动速度表达式解（1）由图得A=4.010-2m，=0.4m15例7.2（1）求波的振幅、波长和波的周期y/1105y/10-2mx/m0.10.3024u

（2）原点O处质元的振动为表达式波函数为16y/10-2mx/m0.10.3024u（2）原106代入A，T和的值代入，可得

（3）位于x处的介质质元的振动速度为

注意：区别振动速度和波速17代入A，T和的值代入，可得（3）位于x处的介质107

7.3

物体的弹性形变

(Elesticdeformationofmatter)

固体、液体和气体，在受到外力作用时，形状和体积会发生或大或小的变化。这种变化称为形变。当外力不太大因而引起的形变也不太大时，去掉外力，形状或体积仍能复原。这个外力的限度叫弹性限度。在弹性限度内地形变叫弹性形变，它和外力具有简单的关系。187.3物体的弹性形变

1.线变

一段固体棒，当在其两端沿轴的方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变，称为线变。F/S叫应力l/l叫线应变应力和线应变成正比——胡克定律(7.11)E叫杨氏模量FFllS图7.7线变1.线变一段固体棒，当在其两端沿轴的方向相反大109(7.12)将(7.11)式改写成k称为劲度系数，简称劲度。类比弹簧的弹性势能公式，可得弹性势能为20(7.12)将(7.11)式改写成k称为劲度系数，简称劲110则单位体积内的弹性势能为(7.13)

2.剪切形变一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，形状将发生改变，如图所示，这种形变称为剪切形变，也简称剪切。图7.8剪切形变21则单位体积内的弹性势能为(7.13)2.剪切形变F/S叫剪应力=d/D叫剪应变(7.14)在弹性限度内剪应力和剪应变成正比，即G：剪切模量。是由材料性质决定的常量。式(7.14)即用于剪切形变的胡克定律公式。(7.15)F/S叫剪应力=d/D叫剪应变(7.14)在弹性限度内剪112

3.体变一块物质周围受到压强改变时，其体积也会发生改变，如图所示。p表示压强度改变，V/V表示相应的体积的相对变化即体应变，则胡克定律表示为(7.16)K：弹性模量。其大小随物质种类的不同而不同。式中负号表示压强的增大总导致体积的缩小。图7.9体变233.体变一块物质周围受到压强改变113

体弹性模量的倒数叫压缩率。以表示压缩率，则有(7.17)

体弹性势能有24体弹性模量的倒数叫压缩率。以表示压缩率114

7.4

弹性介质中的波速

(WavevelocityofElasticmedium)弹性介质中的波是靠介质各质元间弹性力作用而形成的。因此弹性越强大介质，在其中形成的波动传播速度就会越大；或者说，弹性模量越大的介质中，波动传播速度就越大。257.4弹性介质中的波速

m=

Sx，其中为棒材的质量密度。

d=dy，D=dx图7.10推导波的速度用图m=Sx，其中为棒材的质量密度。d=dy116

这一质元受到合力为(7.18)27这一质元受到合力为(7.18)117(7.19)等式两边消去Sx，得(7.20)将式(7.2)代入式(7.20)中的y，即可得28(7.19)等式两边消去Sx，得(7.20)将118于是弹性棒中横波的波速为(7.21)用类似的方法可以导出棒中纵波的波速为(7.22)

同种材料的G总小于其E，因此在同一种介质中，横波的波速比纵波的波速要小一些。29于是弹性棒中横波的波速为(7.21)用类似的方法可以119同种固体中，既可以传播横波，也可以传播纵波。在液体和气体中只能传播纵波，其波速公式为(7.23)

K:介质的体弹模量；：密度绳子中的横波波速公式为(7.24)

F:绳中的张力；l：质量线密度30同种固体中，既可以传播横波，也可以传播120气体中的纵波波速公式为(7.25)31气体中的纵波波速公式为(7.25)121

7.5

波动能量

(Energyofwave)在弹性介质中有波传播时，介质的各质元由于运动而具有动能。同时又由于产生了形变，所以还具有弹性势能。平面简谐波设一质元密度为，体积为V，其中心的平衡位置坐标为x。327.5波动能量在122质元的振动速度为它在此时刻振动动能为(7.26)33质元的振动速度为它在此时123此质元的应变为根据式（7.15），它的弹性势能为34此质元的应变为根据式（7124由式（7.21）可知u2=G/，它的弹性势能又可以写为(7.27)和式(7.26)比较，在平面简谐波中，每一质元的动能和弹性势能相同。35由式（7.21）可知u2=G/，它的弹性势能又可以写125质元的总机械能为(7.28)波在传播时，介质单位体内的能量叫波的能量密度，为(7.29)36质元的总机械能为(7.28)126在一个周期内的能量密度的平均值叫平均能量密度(7.30)

----对于各种弹性波均使用图7.11波的强度的计算37在一个周期内的能量密度的平均值叫平均能量密度(7.30)127

通过垂直于波的传播方向的单位面积的能流的时间平均值，称为波的强度，用I表示(7.32)对于波来说，更重要的是它的传播本领。单位时间内通过垂直于波的传播方向的面积S的能量叫能流用P表示(7.31)38通过垂直于波的传播方向的单位面积的能流的对于平面波有(7.33)S1

=

S2因而有A1

=

A2图7.12平面波中能量的计算对于平面波有(7.33)S1=S2因而有A1=A2图129对于球面波有或(7.34)所以球面波函数为(7.35)其中A1为离波源单位长度处的振幅图7.13球面波中能量的传播40对于球面波有或(7.34)所以球面波函数为(7.35)其130130液体中声振动的振幅其实极小，但比水分子间距（10-10m）大得多。[解]

所以例7.2用聚焦超声波的方法，可以在水中产生强达I=120kW/cm2

的超声波，设波源作简谐振动，频率为=500kHz，液体的密度为=103kg/m3

声速为u=1500m/s，求这时液体质元振动的振幅。4141液体中声振动的振幅其实极小，但比水分131

7.6

惠更斯原理与波的反射与折射

(HuygensPrinciple)131球面波平面波

介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面-----惠更斯原理。O图7.14用惠更斯作图法球新波振面（左）平面波；(右)球面波427.6惠更斯原理与波的反射与折射42球面132平面波传播时遇到有缝的障碍物，波能绕过缝的边界向障碍物的几何阴影内传播，这就是波的衍射现象。图7.15波的衍射图7.16波的反射平面波入射到两种介质的分界面上，入射角等于反射角即波的反射定律。43平面波传播时遇到有缝的障碍物，波能绕过缝133图7.17波的折射波的折射定律：平面波入射到两种介质的分界面上，如果波能进入第二种介质，且波在两种介质中的传播速度不同。在分界面上要发生折射现象。入射角的正弦与折射角的正弦之比等于常数。(7.36)44图7.17波的折射波的折射定律：平面134

7.7波的叠加驻波

(SuperpositionPrincipleofWaveStandingWaves)在几列波相遇或叠加区域内，任一点点位移，为各个波单独在该点产生的唯一的合成——波的独立性或叠加原理。在同一介质中两列频率、振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时所形成的叠加即为驻波。457.7波的叠加驻波在几列设有两列简谐波，分别沿x轴正方向和负方向传播，它们的表达式为其合成波为(7.38)——各质点仍作简谐振动，但各质点的振幅是x的函数。设有两列简谐波，分别沿x轴正方向和负方向传播136：表示简谐运动，

:是简谐运动的振幅。47：表示简谐运动，:是简谐运动的振幅。1371371)当x

满足的各点，振幅最大;波腹

(k=0,

1,2,…)2)当x

满足的各点，振幅为零.波节

(k=0,1,2,…)3)相邻波节或相邻波腹之间的距离均为。48481)当x满足138驻波的特点1).各处振幅不同，出现了波腹和波节2).波节之间质点振动相位相同；波节两边质点振动相位始终相反；3).无振动状态的逐点传播，也无能量的单向传播。49驻波的特点1).各处振幅不同，出现了波腹和波节139图7.18驻波的形成50图7.18驻波的形成140140反射点处的半波损失

反射点为一固定点时，驻波在此形成波节，说明反射波与入射波在该处是反相的(

的相位突变)，又称半波损失。图7.19入射波在反射时的相跃变5151反射点处的半波损失反射点为一固定点时141141

在弹性波垂直入射到两种介质的分界面而反射时：若1u1

2u2(波疏介质波密介质)反射波有半波损失。若1u1

2u2(波密介质波疏介质)反射波无半波损失。图7.20绳上的驻波5252在弹性波垂直入射到两种介质的分界面而142142驻波的应用弦(管)乐器的振动都遵从驻波规律。

两端固定的弦线上(7.39)

相应的频率为(7.40)5353驻波的应用弦(管)乐器的振动都遵从驻波规律。两端固143

为基频，称为二次、三次谐频(声驻波则称基音、泛音)，每一允许频率(简正频率）所对应的驻波称为一种简正模式。图7.21两端固定弦的几种简正模式54为基频，图7.22二维驻波（a）鼓皮以某一模式振动时，才能在其上的碎屑聚集在不振动的地方，显示出二维驻波的“节线”的形状（R.Resnick）（b）钟以某一模式振动时“节线”的分布（左图）和该模式的全息照相（右图），其中白线对应于“节线”（T.D.Rossing

）图7.22二维驻波145例7.4一只二胡的“千斤”（弦上方固定点）和“码子”（弦下方固定点）之间的距离是L=0.3m。其上一根弦的质量线密度为l=3.8×10-4kg/m，拉紧它的张力F=9.4N。求此弦所发的声音的基频是多少？此弦的三次谐频振动的节点在何处？图7.23二胡解：此弦中所产生的驻波的基频为56例7.4一只二胡的“千斤”（弦上方固定点）和“码子三次谐频振动时，整个弦长为的3倍。位置从“千斤”算起0，10，20，30cm处。

图7.23二胡三次谐频振动时，整个弦长为的3倍。位置从147

7.8声波

(SoundWave)声振动在介质中形成的纵波——声波。

超声波：

为次声波：

为声波：为可引起听觉；

介质中有声波传播时，某点附近的压力与无声时的静压力差——声压以P表示，声压的振幅为：(7.41)587.8声波声振动在介质中形成的纵波——声波。148声强，即声波的能流密度

()(7.42)炮声的声强约为用聚焦的方法获得的超声波最大声强可达能引起听觉的声强范围，一般正常人为：（痛觉阈）（听觉阈）59声强，即声波的能流密度(149149单位为bel(贝尔)，而1B=10dB，这样

以最低的声强作为测定声强的标准，并用常用对数标度作为声级L的量度，声级为：保护环境减少污染物理污染：噪声、电磁辐射(7.43)(7.44)6060单位为bel(贝尔)，而1B=10dB，这样150例7.5

《三国演义》中有大将张飞喝断当阳桥的故事。设张飞大喝一声声级为140dB，频率为400Hz。问：

（1）张飞喝声的声压和振幅各是多少？

（2）如果一个士兵的喝声声级为90dB，张飞喝相当于多少士兵同时大喝一声？解（1）由（7.44）得61例7.5《三国演义》中有大将张飞喝断当阳桥的故事。设张由（7.42）式张飞喝声的声压幅为由（7.32）式空气质元的振幅为（2）由（7.44）式，每一个士兵喝声的声强为由（7.42）式张飞喝声的声压幅为由（7.32）式空气质元的152而即张飞一喝相当于10万士兵同时齐声大喝！63而即张飞一喝相当于10万士兵同时齐声大喝！153

7.9地震波

(EarthquakeWave)7.24地震波的记录地震是一种严重的自然灾害。震源一般在地表下几千米到几百米的地方，震源正上方的那一点叫震中。647.9地震波7.24地震波的记录1547.25候风地动仪纵切面图7.26地震波与地球内部结构657.25候风地动仪纵切面图7.26地震波与地球内155一次释放的能量E通常用里氏地震级M表示，它们之间的关系是(7.45)一次用里氏7地震级释放的能量约为1015J，相当于百万吨级氢弹爆炸所释放出的能量。66一次释放的能量E通常用里氏地震级M表示，156

7.10水波

(WaterWave)水面形成的细波主要是表面张力作用的结果。这种波叫表面张力波。其波速为(7.46)：水的表面张力系数：水的密度巨浪振荡所形成的波叫重力波。潜水面上水波波速u只有深度决定，其波速为(7.47)677.10水波水面形成的细波主157对于深水，h>>的情况，其波速为(7.48)7.27水波中水的质元的运动68对于深水，h>>的情况，其波速为(7.1587.28海面波的波形(a)浪高较小(b)浪高较