四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析课件

(四)高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析指大于二阶精度的格式要求准确模拟小扰动量长时间、远距离传播的速度和幅值用于计算噪声、DNS等有传统高精度差分和紧致差分两种1(四)高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析指大于二阶精4.1模型方程及半离散方程K=1K=224.1模型方程及半离散方程K=1K=22模型方程及半离散方程(cont.)3模型方程及半离散方程(cont.)3半离散方程的精确解4半离散方程的精确解44.2高精度差分格式特别适用于光滑问题减少网格点数应用于湍流等多尺度问题54.2高精度差分格式特别适用于光滑问题54.2.1传统型差分格式直接由网格点的函数值线性组合N阶精度至少需要N+1个网格点

Taylor展开确定系数64.2.1传统型差分格式直接由网格点的函数值线性组合6传统型差分格式(cont)JJ-2J-3J-1J+1J+2J+1J-1J-2JJ+2J+37传统型差分格式(cont)JJ-2J-3J-1J+1J+2传统型差分格式(cont)8传统型差分格式(cont)8传统型差分对模型方程的逼近特性所有中心型差分：无耗散迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散可从差分格式的精确解分析色散和耗散9传统型差分对模型方程的逼近特性所有中心型差分：无耗散9传统型差分格式(cont.)二阶导数的差分逼近10传统型差分格式(cont.)二阶导数的差分逼近104.2.2紧致差分格式同样的精度比传统差分的基架点少截断误差的系数较小二阶导数的(中心型)紧致差分一阶导数的对称紧致差分一阶导数的迎风紧致差分114.2.2紧致差分格式同样的精度比传统差分的基架点少11二阶导数的紧致差分传统型差分的截断误差项的再次离散四阶紧致：若边界点S0和SN已知，可用解三对角矩阵方程得到所有网格点上的差分

12二阶导数的紧致差分传统型差分的截断误差项的再次离散12二阶导数的紧致差分(cont.)一般形式获得S需要求解矩阵方程组13二阶导数的紧致差分(cont.)一般形式13二阶导数的紧致差分(cont.)5点六阶紧致：14二阶导数的紧致差分(cont.)5点六阶紧致：14一阶导数的对称型紧致差分一般形式:获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过315一阶导数的对称型紧致差分一般形式:15一阶导数的对称型紧致差分(cont.)四阶精度:也可从传统的二阶中心差分的截断误差的再次离散16一阶导数的对称型紧致差分(cont.)四阶精度:16一阶导数的对称型紧致差分(cont.)六阶精度:17一阶导数的对称型紧致差分(cont.)六阶精度:17一阶导数的迎风紧致差分有数值耗散，抑制高频振荡一般形式：三阶迎风紧致格式(3点）：18一阶导数的迎风紧致差分有数值耗散，抑制高频振荡18一阶导数的迎风紧致差分(cont.)五阶迎风紧致格式(5点）：F+按j增加的方向求解,F-按j减少的方向求解19一阶导数的迎风紧致差分(cont.)五阶迎风紧致格式(5点）非等距网格上的格式计算精度比要高。三阶迎风紧致：20非等距网格上的格式计算精度比一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式的截断误差：对模型方程的逼近程度：21一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式的截断误一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式对模型方程的逼近程度：22一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式对模型方4.3格式的精度及分辨率234.3格式的精度及分辨率23耗散误差和色散误差的行为耗散：影响振幅色散：产生振荡24耗散误差和色散误差的行为24物理上的高波数(K很大）它使首项误差，甚至更高阶项误差被放大：25物理上的高波数(K很大）它使首项误差，甚至更高阶项误差被放模拟高波数问题对差分格式的要求26模拟高波数问题对差分格式的要求264.4数值解中的耗散效应和色散效应所有中心型格式都是无耗散的负耗散型格式数值上是不稳定的强迎风格式（点全在上风区）可能是负耗散274.4数值解中的耗散效应和色散效应所有中心型格式都是无耗散耗散效应28耗散效应28色散效应29色散效应29群速度正弦波：30群速度正弦波：30群速度(cont)两个正弦波叠加：叠加后看作一个简单的正弦波，其振幅为该振幅本身也是一个波（虚线所示），其相速度为31群速度(cont)两个正弦波叠加：31数值解的群速度32数值解的群速度324.6时间离散的耗散和色散效应一阶隐式：正耗散二阶：色散和耗散，色散占主导。334.6时间离散的耗散和色散效应一阶隐式：正耗散33第四次课阅读提示傅《计算流体力学》第四章全部。34第四次课阅读提示傅《计算流体力学》第四章全部。34第四次课后作业傅德薰《书》习题4-2傅德薰《书》习题4-4傅德薰《书》习题4-5.35第四次课后作业傅德薰《书》习题4-235(四)高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析指大于二阶精度的格式要求准确模拟小扰动量长时间、远距离传播的速度和幅值用于计算噪声、DNS等有传统高精度差分和紧致差分两种36(四)高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析指大于二阶精4.1模型方程及半离散方程K=1K=2374.1模型方程及半离散方程K=1K=22模型方程及半离散方程(cont.)38模型方程及半离散方程(cont.)3半离散方程的精确解39半离散方程的精确解44.2高精度差分格式特别适用于光滑问题减少网格点数应用于湍流等多尺度问题404.2高精度差分格式特别适用于光滑问题54.2.1传统型差分格式直接由网格点的函数值线性组合N阶精度至少需要N+1个网格点

Taylor展开确定系数414.2.1传统型差分格式直接由网格点的函数值线性组合6传统型差分格式(cont)JJ-2J-3J-1J+1J+2J+1J-1J-2JJ+2J+342传统型差分格式(cont)JJ-2J-3J-1J+1J+2传统型差分格式(cont)43传统型差分格式(cont)8传统型差分对模型方程的逼近特性所有中心型差分：无耗散迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散可从差分格式的精确解分析色散和耗散44传统型差分对模型方程的逼近特性所有中心型差分：无耗散9传统型差分格式(cont.)二阶导数的差分逼近45传统型差分格式(cont.)二阶导数的差分逼近104.2.2紧致差分格式同样的精度比传统差分的基架点少截断误差的系数较小二阶导数的(中心型)紧致差分一阶导数的对称紧致差分一阶导数的迎风紧致差分464.2.2紧致差分格式同样的精度比传统差分的基架点少11二阶导数的紧致差分传统型差分的截断误差项的再次离散四阶紧致：若边界点S0和SN已知，可用解三对角矩阵方程得到所有网格点上的差分

47二阶导数的紧致差分传统型差分的截断误差项的再次离散12二阶导数的紧致差分(cont.)一般形式获得S需要求解矩阵方程组48二阶导数的紧致差分(cont.)一般形式13二阶导数的紧致差分(cont.)5点六阶紧致：49二阶导数的紧致差分(cont.)5点六阶紧致：14一阶导数的对称型紧致差分一般形式:获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过350一阶导数的对称型紧致差分一般形式:15一阶导数的对称型紧致差分(cont.)四阶精度:也可从传统的二阶中心差分的截断误差的再次离散51一阶导数的对称型紧致差分(cont.)四阶精度:16一阶导数的对称型紧致差分(cont.)六阶精度:52一阶导数的对称型紧致差分(cont.)六阶精度:17一阶导数的迎风紧致差分有数值耗散，抑制高频振荡一般形式：三阶迎风紧致格式(3点）：53一阶导数的迎风紧致差分有数值耗散，抑制高频振荡18一阶导数的迎风紧致差分(cont.)五阶迎风紧致格式(5点）：F+按j增加的方向求解,F-按j减少的方向求解54一阶导数的迎风紧致差分(cont.)五阶迎风紧致格式(5点）非等距网格上的格式计算精度比要高。三阶迎风紧致：55非等距网格上的格式计算精度比一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式的截断误差：对模型方程的逼近程度：56一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式的截断误一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式对模型方程的逼近程度：57一阶导数的迎风紧致差分(cont.)三阶迎风紧致格式对模型方4.3格式的精度及分辨率584.3格式的精度及分辨率23耗散误差和色散误差的行为耗散：影响振幅色散：产生振荡59耗散误差和色散误差的行为24物理上的高波数(K很大）它使首项误差，甚至更高阶项误差被放大：60物理上的高波数(K很大）它使首项误差，甚至更高阶项误差被放模拟高波数问题对差分格式的要求61模拟高波数问题对差分格式的要求264.4数值解中的耗散效应和色散效应所有中心型格式都是无耗散的负耗散型格式数值上是不稳定的强迎风格式（点全在上风区）可能是负耗散624.4数值解中的耗散效应和色散效应所有中心型格式都是无耗散耗散效应63耗散效应28色散效应64色散效应29群速度正弦波：65群速度正弦波：30群速度(cont)两个正弦波叠加：叠加后看作一个简单的正弦波，其振幅为该振幅本身也是一个波（虚线所示），其相速度为66群速度(cont)两个正