中考数学第一轮复习(全套)讲义精选(二)

..学习特训营中考数学高分专题精讲精品讲义、第一高分专题《数与式》第一关：考点精讲考点1有理数、实数的概念[知识要点]实数的分类：有理数,无理数。实数和数轴上的点是___________对应的,每一个实数都可以用数轴上的________来表示,反过来,数轴上的点都表示一个________。______________________叫做无理数。一般说来,凡开方开不尽的数是无理数,但要注意,用根号形式表示的数并不都是无理数〔如,也不是所有的无理数都可以写成根号的形式〔如。[典型考题]把下列各数填入相应的集合内：有理数集{},无理数集{}正实数集{}在实数中,共有_______个无理数在中,无理数的个数是_______写出一个无理数________,使它与的积是有理数[复习指导]解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。考点2数轴、倒数、相反数、绝对值[知识要点]若,则它的相反数是______,它的倒数是______。0的相反数是________。一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0的绝对值是__________。一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。[典型考题]1、___________的倒数是；0.28的相反数是_________。如图1,数轴上的点M所表示的数的相反数为_________-10-10123图1,则的值为________已知,且,则的值等于________-2-101-2-1012图23①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________。②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是_______,如果|AB|=2,那么[复习指导]若互为相反数,则；反之也成立。若互为倒数,则；反之也成立。关于绝对值的化简绝对值的化简,应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或0,然后再根据定义把绝对值符号去掉。已知,求时,要注意考点3平方根与算术平方根[知识要点]若,则叫做的_________,记作______；正数的__________叫做算术平方根,0的算术平方根是____。当时,的算术平方根记作__________。非负数是指__________,常见的非负数有〔1绝对值；〔2实数的平方；〔3算术平方根。如果是实数,且满足,则有[典型考题]1、下列说法中,正确的是〔A.3的平方根是B.7的算术平方根是C.的平方根是D.的算术平方根是9的算术平方根是______等于_____,则考点4近似数和科学计数法[知识要点]精确位：四舍五入到哪一位。有效数字：从左起_______________到最后的所有数字。科学计数法：正数：_________________负数：_________________[典型考题]据生物学统计,一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个,用科学计算法可以表示为___________由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是______,精确度是_______用小数表示：＝_____________考点5实数大小的比较[知识要点]正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小；在数轴上,右边的数总大于左边的数；作差法：[典型考题]比较大小：。应用计算器比较的大小是____________比较的大小关系：__________________已知中,最大的数是___________考点6实数的运算[知识要点]1、。今年我市二月份某一天的最低温度为,最高气温为,那么这一天的最高气温比最低气温高___________如图1,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为-1时,则输出的数值为____________输入x输入x输出计算〔1〔2考点7乘法公式与整式的运算[知识要点]判别同类项的标准,一是__________；二是________________。幂的运算法则：〔以下的是正整数；；；；乘法公式：；；去括号、添括号的法则是_________________[典型考题]1、下列计算正确的是〔A.B.C.D.下列不是同类项的是〔A.B.C.D计算：计算：考点8因式分解[知识要点]因式分解的方法：提公因式：公式法：[典型考题]分解因式,分解因式考点9：分式[知识要点]分式的判别：〔1分子分母都是整式,〔2分母含有字母；分式的基本性质：分式的值为0的条件：___________________分式有意义的条件：_____________________最简分式的判定：_____________________分式的运算：通分,约分[典型考题]当x_______时,分式有意义当x_______时,分式的值为零下列分式是最简分式的是〔A.B.C.D下列各式是分式的是〔A.B.C.D计算：计算：考点10二次根式[知识要点]二次根式：如二次根式的主要性质：〔1〔2〔3〔4二次根式的乘除法分母有理化：最简二次根式：同类二次根式：化简到最简二次根式后,根号内的数或式子相同的二次根式二次根式有意义,根号内的式子必须大于或等于零[典型考题]1、下列各式是最简二次根式的是〔A.B.C.D.下列根式与是同类二次根式的是〔A.B.C.D.二次根式有意义,则x的取值范围_________若,则x＝__________计算：计算：计算：数a、b在数轴上的位置如图所示,化简：.数与式考点分析及复习研究〔答案考点1有理数、实数的概念有理数集{}无理数集{}正实数集{}22答案不唯一。如〔考点2数轴、倒数、相反数、绝对值..1、,C3,4；,..考点3平方根与算术平方根..B36..考点4近似数和科学计数法1、4,万分位0.00007考点5实数大小的比较..1、<,<..考点6实数的运算1、1〔1解：原式＝4＋〔2解：原式＝1＋2＋＝4＝3＋考点7乘法公式与整式的运算CB解：原式＝===解：原式＝＝考点8因式分解1、考点9：分式..1、DA..解：原式＝＝＝解：原式＝＝＝＝考点10二次根式..BA..解：原式＝＝解：原式＝＝＝解：原式＝＝＝●第二关：难题透视例1根据下表中的规律,从左到右的空格中应依次填写的数字是000110010111001111A．100,011B．011,100C．011,101D．101,110[考点要求]本题考查以计算机语言为背景,用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字0和1,要求能实现符号与数字的相互转化．[思路点拨]通过观察,不难发现两个并排的短横表示0,而一条长横表示1,所表示的数是从上往下看,因而表格中的两个空格中所填的数这011和100．[答案]选B．[方法点拨]部分学生不能够读懂题意,无法做出正确选择,往往会随便猜出一个答案．突破方法：根据表格中所提供的信息,找出规律,容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字．解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析,理解其表示的意义．例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图1-1方式铺地板,则第〔3个图形中有黑色瓷砖块,第个图形中需要黑色瓷砖块〔用含的代数式表示．〔2〔2〔3……图1-1[考点要求]本题考查数形结合、整理信息,将图形转化为数据,猜想规律、探求结论．[思路点拨]根据图形可得出以下数据：第1个图形,黑色瓷砖4块；第2个图形,黑色瓷砖7块；第3个图形,黑色瓷砖10块……不难看出,每幅图形中的黑色瓷砖依次增加3块,如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为1＋3,则第2个图形中的黑色瓷砖可表示为1＋3×2……所以第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．[答案]黑色瓷砖10块,第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．[方法点拨]部分学生缺乏一定的图形鉴别能力,不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律,结合图形,观察其变化规律．例3下列运算中,计算结果正确的是〔A.B.C.D.[考点要求]本题考查整式运算公式．[思路点拨]同底数幂的乘法法则是底数,不变指数相加,而除法可能转化为乘法进行,幂的乘方是底数不变,指数相乘．A项结果应等于,C项结果应等于,而D项无法运算．[答案]选B．[方法点拨]部分学生对幂运算公式掌握不够熟练,容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习,熟悉乘法公式．例4我国自行研制的"神舟6号飞船"载人飞船于20XX10月12日成功发射,并以每秒约7.820185公里的速度,在距地面343公里的轨道上绕地球一圈只需90分钟,飞行距离约42229000km．请将这一数字用科学记数法表示为________km．<要求保留两位有效数字>．[考点要求]本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识．[思路点拨]用科学记数法表示绝对值较大的数时,关键是10的指数,可归纳为指数n等于原数整数部分的位数减一．所以这一数字可表示为4.2×107．[答案]4.2×107．[方法点拨]部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时,对于10的指数容易弄错．突破方法：掌握规律,记住幂的指数的确定方法．解题关键：科学记数法中,a是整数数位只有一位的数,10的指数是由小数点移动的位数决定的,也可以简单的记作用原数的数位减去1所得到的数值．例5分解因式：=．[考点要求]本题考查多项式的因式分解．[思路点拨]本题是四项,应采用分组分解法,分组分解法主要有两种,一是二二分组,另一种是一三分组,本题应采用一三分组法进行分解．原式．[答案]填[规律总结]部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公式进行因式分解时,往往还会进行分组分解．解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的,常见的有两种分组方法：二二分组,一三分组,有时还需要对原式的各项进行必要的交换．例6有一道题"先化简,再求值：,其中．"小玲做题时把""错抄成了"",但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？[考点要求]本题考查的是分式的化简求值,同时也考查了学生辨析正误的学习能力．[思路点拨]把原式化简,可得．因为,所以无论是""或"",代入化简后的式子中,所求得的值都是相等的．因而即使代错数值,结果仍然是正确的．[方法点拨]部分学生不熟悉这种题型,因而不知如何下手,举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累,熟悉各种不同形式的问题,同时要能有一定创新思维,能应对新问题．解题关键：解这类问题时,先按常规方法正确求解,再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因．例7已知,化简的结果是〔A．6B．2m－8C．2mD．－2m[考点要求]本题考查多项式的求值运算,不仅考查了学生整式乘法运算,同时还要求具备整体思想,这也是数学解题中常用的一种技巧．[思路点拨]原式按多项式乘法运算后为,再将代入,可得－2m．[答案]选D．[方法点拨]部分学生想通过由已知条件求出a、b的值,然后再代入求值,一种情况是无法解得结果,另一种是会用含m的式子表示a、b,但解题过程较繁琐,且容易出错．突破方法：运用整体思想解题,能发现原式乘开后可用含和的式子表示,再将已知条件代入即可．解题关键：许多类似的求代数式值的问题,往往不是直接将字母的值代入,而是利用整体代入求值．图1-2例8如图1-2,时钟的钟面上标有1,2,3…12共计12个数,一条直线把钟面分成了两部分,请你再用一条直线分割钟面,使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等,则其中的两个部分所包含的几个数分别是图1-2[考点要求]本题考查对数字的观察及推理能力．[思路点拨]钟面上的数字之和为78,依题意,三部分之和相等,则每部分之和只能为78÷3=26,而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26,所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方,即过4和5,8和9之间画直线．[答案]3、4、9、10,5、6、7、8．[误区警示]本题部分学生不知从何处入手,或者漫无目标的尝试去画,这样费时较多,而且容易达到目标．突破方法：仔细阅读,认真分析,理清题意可减少尝试分割的次数．例9我们把分子为1的分数叫做单位分数．如,,…,任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和,如,,,…〔1根据对上述式子的观察,你会发现,请写出□,○所表示的数；〔2进一步思考,单位分数〔n是不小于2的正整数＝,请写出△,⊙所表示的式,并加以验证．[考点要求]本题考查学生对新信息的理解与运用．[思路点拨]通过对三组式子的观察,不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加1,第二个分母是前两个分母的乘积,如果设左边的分母为n,则右边第一个分母为〔n＋1,第二个分母为n〔n＋1．所以问题〔1中,□表示的数为6,○表示的数为30；问题〔2中,△表示的式为,⊙表示的式为．验证：,所以上述结论成立．[答案]〔1□表示的数为6,○表示的数为30；〔2△表示的式为,⊙表示的式为．[方法点拨]部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子,进行比较分析,可以看出每个等式中的各个分子都是1,而分母也特殊关系,得到这些信息后,完成解题不再困难．解题关键：当题中有一组并列条件时,往往将它们放在一起进行观察、比较、分析,从中发现重要信息．例10阅读下面的材料,回答问题：点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1-3,；当A、B两点都不在原点时：〔1如图1-4,点A、B都在原点的右边,；O〔O〔A0bB图1-3O0O0bB图1-4aA〔2如图1-5,点A、B都在原点的左边,；〔3如图1-6,点A、B在原点的两边,．BbBbaA图1-5O0BbaBbaA图1-6O0综上,数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：〔1数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是．〔2数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是．如果,那么x=．[考点要求]本题通过阅读材料,引出数轴上两点A、B的距离公式,再引出相关问题,考查学生阅读材料,获取新的信息和结论,然后应用所得结论,解答新问题的能力．[思路点拨]依据阅读材料,所获得的结论为,结合各问题分别代入求解．〔1；〔2；因为,所以,所以或．所以或．[答案]〔13,3,4；〔2或．[误区警示]部分学生因为题目较长,阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料,从中获取重要结论,帮助解题．●难点突破方法总结实数是初中数学基础知识,中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到,在解决实数问题时,要注意以下几点：1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多,基础性强,对后续学习影响大,不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等,所以必须要弄清各个概念的区别或者联系,防止应考过程中出现混淆．2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质,要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能．3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时,一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题,可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．整式和分式是代数中的重要内容,填空、选择题以基本概念为主,而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下内容：1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项,分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整式和分式的运算．2.运用公式或法则进行计算,首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征,在此基础上正确选用公式或法则进行计算．3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算．4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想,在整式和分式变换求值中的应用．5.此外,试题呈现的背景贴近生活,贴近社会,而不再是拘泥于抽象的纯数学问题,因而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．第三关：五年真题剖析与规律总结20XX1．的相反数是〔DA．3 B． C． D．3．今年6月,XX市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会.据估算,本届大会合同投资总额达2260亿元.将2260用科学记数法表示为〔结果保留2个有效数字〔AA． B． C． D．14．计算：．18．正整数按图8的规律排列．请写出第20行,第21列的数字．420第一行第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221………图820．先化简,再求值：,其中20XX〔20XX•XX市6的倒数是：〔A〔B〔C6〔D―6答案：A解析：本题考查倒数的概念,乘积是1的两个数互为倒数,故选A。〔20XX•XX市下列运算中,结果正确的是：〔A〔B〔C〔D答案：D解析：本题考查幂的运算和整式的加减,A是同底数幂数相除,底数不变,指数相减,应是,B是合并同类项,C是幂的乘方,底数不变,指数相乘,应是,D是同底数幂相乘,底数不变,指数相加,故D正确。9．〔20XX•XX市20XX北京奥林匹克运动国家体育场"鸟巢"钢结构的材料,首次使用了我国科技人员自主研制的强度为460000000帕的钢材,该数据用科学记数法表示为帕答案：解析：本题考查科学记数法的表示方法,科学记数法是指把一个数写成〔其中,是整数的形式,其中10的指数就是原数的整数位数减去1即可。13．〔20XX•XX市因式分解：答案：解析：分解因式一般遵循"先看有无公因式,再看能否套公式,切记分解要彻底"的原则进行。本题可先提公因式,分解成,而可利用平方差公式分解成。20XX1．写出一个小于的数：．〔答案不唯一；4．因式分解：．0图511．实数在数轴上的位置如图50图5则下列各式正确的是〔CA． B．C． D．20．先化简,再求值：,其中．原式 4分 5分 6分将代入上式得原式 7分 8分20XX4．今年秋季,广西将有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策,预计免费教科书发放总量为1500万册,发放总量用科学记数法记为万册〔保留2个有效数字．9．如图3,是硬币圆周上一点,硬币与数轴相切于原点〔与点重合．假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点恰好与数轴上点重合,则点对应的实数是．20XX１．．2005２．因式分解：．３．按照广西高速公路网的规划,我区地方高速公路于2030年全部建成,建设里程为5353公里,总投资达1542.7亿元．用科学记数法表示总投资为亿元〔保留两位有效数字．12．分式计算的结果是〔D <A> <B> <C> <D>第二讲：方程与不等式第一关：考点点睛一元一次方程考点一方程解的应用例1〔2009·XX已知方程3x-9x+m=0的一个根是1,则m的值是。解题思路：根据方程解的定义,把方程的解x=1代入方程成立,然后解决关于m的方程即可,解：把x=1代入原方程,得3×-9×1+m=0,解得m=6答案：6点评：解题依据是方程解的定义,解题方法是把方程的解代入原方程,转化为关于待定系数的方程。考点二巧解一元一次方程例2〔2008·XX解方程：解题思路：此题先用分配律简化方程,再解就容易了。解：去括号,得移项、合并同类项,得-x=6,系数化为1,得x=-6点评：解一元一次方程,掌握步骤,注意观察特点,寻找解题技巧,灵活运用分配委或分数基本性质等,使方程简化。考点三根据方程ax=b解的情况,求待定系数的值例3已知关于x的方程无解,则a的值是〔A.1B.-1C.±1D.不等于1的数解题思路：需先化成最简形式,再根据无解的条件,列出a的等式或不等式,从而求出a的值。解：去分母,得2x+6a=3x-x+6,即0·x=6-6a因为原方程无解,所以有6-6a≠0,即a≠1,答案：D考点四一元一次方程的应用例4〔2009·XX某班学生为希望工程共捐款131元,比每人平均2元还多35元,设这个班的学生有x人,根据题意列方程为_________________。解题思路：本题的相等关系是捐款总数相等,解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35元表示出捐款总数〔2x+35元。答案：2x+35=131二元一次方程考点1：二元一次方程及其解例1：下列方程中,是二元一次方程的是〔A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=思路点拨：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．所以选D例2：二元一次方程5a－11b=21〔A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解思路点拨：不加限制条件时,一个二元一次方程有无数个解．所以选B考点2：二元一次方程组及其解例1：下列方程组中,是二元一次方程组的是〔A．思路点拨：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数,②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．所以选A例2：已知│x－1│+〔2y+12=0,且2x－ky=4,则k=_____．思路点拨：由已知得x－1=0,2y+1=0,∴x=1,y=－,把代入方程2x－ky=4中,2+k=4,∴k=1．考点3：二元一次方程组的应用例1：某校初三〔2班40名同学为"希望工程"捐款,共捐款100元．捐款情况如表：捐款〔元1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组〔A.B.C.D.思路点拨：这是一道表格信息题,通过已知条件可发现两个等量关系：总人数为40人,总捐款金额100元．利用表格信息可列方程组,故应选A．CAB12O例2：如图,点O在直线AB上,OC为射线,比的3倍少,设,的度数分别为,,那么下列求出这两个角的度数的方程是〔CAB12OA.B.C.D.思路点拨：本题侧重考查学生的数形结合思想．已知条件看似给了一个,其实还有一个隐含条件,即与互为邻补角．利用它们可列方程组,故应选B．分式方程考点1：分式的定义例1：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式A．1B.2C.3D.4思路点拨：分母中含字母的代数式,都是分式,其他都不是。注意：〔1除外；<2>分式是形式定义,如化简之后为x,但是分式。答案：B考点2：分式成立的条件例1：写出一个含有字母的分式〔要求：不论取任何实数,该分式都有意义．〔答案不惟一思路点拨：本题考查了分式成立的条件即分母不能为0例2：分式成立的条件是思路点拨：分式成立的条件是分母即x-2≠0。答案：x≠2考点3：分式值为0的条件例：若分式的值为0,则x的值为〔A.1 B.-1 C.±1 D.2思路点拨：应同时具备两个条件:〔1分式的分子为零;〔2分式的分母不为零。答案：D考点4：分式的运算例1：已知,则代数式的值为思路点拨：本类题主要考查分式的化简和代数式的值。在计算代数式的值时,一般先要求出其中字母的值再代入计算,但有时字母的值不能求出或不好求出,可以利用整体代入的方法来计算。这类题目一般都是先化简后代数。甚至有的不用代数。解：＝＝＝∵当或时,的值均为2008,∴小明虽然把值抄错,但结果也是正确的.考点5.分式方程的解法例1：解分式方程：解：方程两边同乘,得,化简,得,解得,检验：时,是原分式方程的解．例2：解方程：．答案：设则原方程可化为2y2+y-6,解得,y2=-2,即,,解得,．经检验,,是原方程的根．思路点拨:解分式方程的基本思想是转化,即把分式方程转化为整式方程求解,具体步骤为"一去〔去分母、二解〔解整式方程、三检验〔检查求出的根是否是增根"。转化的方法有两种:<1>方程两边同乘最简公分母;<2>换元.要注意的是解分式方程必须要检验.考点6：分式方程的增根例：当时,关于的分式方程无解思路点拨：分式方程的增根是原分式方程去分母后转化为整式方程的根,它使得最简公分母为0,所以原分式方程无解或者说分式方程有增根答案：-6一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的,一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样,一般分值在6－9分左右。考点1：一元二次方程及其解法例1：方程的解是〔A．,B．, C．, D．,思路点拨：考查一元二次方程的解法,一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解,此题以因式分解法较简单,此式可以分解为〔x－1<x－2>=0,所以x－1=0或x－２=0,解得x１=１,x２=２．故此题选Ａ．例2：若,则的值等于〔A． B． C． D．或思路点拨：本题考查整体思想,即由题意知x2－x=2,所以原式=,选A.考点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果是方程的两个根,那么的值为：〔A－1〔B2〔C〔D思路点拨：本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理,两根之和是,两根之积是,易求出两根之和是2。答案：B例2：设一元二次方程的两个实数根分别为和,则,x1、·x2．思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系,x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0<a≠0>的两根,则x1、+x2=,x1、·x2=.要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论,即△=b2－4ac≥0.答案：7,3 考点3：一元二次方程的应用例1：某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是〔A．55<1+x>2=35B．35<1+x>2=55C．55<1－x>2=35D．35<1－x>2=55思路点拨：列一元二次方程解决实际问题是一个难点,但在中考试题中经常出现,所以我们要学好列方程解决实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程,其步骤如下：1、弄清题意,正确理解,准确把握题目条件中的数量关系,必要时可用图表辅助分析；2、用字母表示问题中的一个未知数；3、将题设条件中的语句都"翻译"成含有"字母"的代数式；4、寻找等量关系,列出方程.因为增长率问题是"加"；下降率问题是"减",所以本题正确的是55<1－x>2=35.所以本题选C.不等式及不等式组不等式及不等式组,它是在学习方程的基础上进行学习的,不等式的性质和应用在中考中有着比较广泛的出现,分值在3-6分左右,经常与一次函数相结合,考查最值问题或者方案设计。考点1：不等式及其性质例1：已知有理数在数轴上对应的点如图1所示,则下列式子正确的是〔．·····x·····xC．D．思路点拨：由图1可知：0<a<1,b<－1,所以ab<0,|b|>|a|,a+b<0。因为〔A、〔B、〔D选项均不正确,故选C。例2：已知关于的不等式2＜的解集为＜,则的取值范围是〔．A．＞0B.＞1C.＜0D.＜1思路点拨：对照两个不等式可以发现,已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变〔即２在原不等式的左边,经过变形后在右边,含的项在已知不等式的右边,经过变形后在左边,因此应先将2＜变形为＞２,再根据不等式的性质确定的取值范围．以一个数,要根据分母中所含的小数来确定,原则上既要使分母化成整数,又要使所乘的数尽可能地小.解：由不等式变形得.两边同乘以2得.去括号、移项、合并同类项得考点3：解不等式组例：解不等式组的解集应为〔–3〔x+1–〔x–3＜8,①的解集应为〔EQ\F<2x+1,3>–\F<1-x,2>≤1②A．x＜–2 B．–2＜x≤EQ\F<2,7> C．–2＜x≤1 D．x＜–2或x≥1思路点拨：先求出每个不等式的解集,再找出解集的公共部分即为不等式组的解集。不等式组的解集最终可化为四种类型：①x>a；②x<b；③a<x<b<a<b>；④无解<空集>。解：解不等式①,得x>－2。解不等式②,得x≤1。所以不等式组的解集为－2<x≤1,故选C。考点4：用不等式〔组解决实际问题例：学校为家远的同学安排住宿,现有房问若干间,若每间住5人,则还有14人安排不下；若每间住7人,则有一间房有人住但还余床位．问学校可能有几间房间可以安排同学住宿?住宿的学生可能有多少人?思路点拨：由于题目中既不知道有多少房间也不知道有多少住宿的学生,因而感到此题无法处理．但注意到：若每间住5人,则还有14人安排不下,可设学校有房问x间从而可知住宿的学生有<5x+14>人；然生再根据每问住7人,未住满．可以列出不等式．解：设学校有房间x间,则可住宿的学生有<5x+14>人．依题意,得7•<x-1><<5x+14><7x,7<x<10.5,由于x取整数,故x可取8、9、10．那么,相应的住宿人数为54人、59人、64人．第二关：难点攻克●难点透视例1解方程：．[考点要求]本题考查了分式方程的解法．[思路点拨]去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法,验根只需将结果代入最简公分母即可．原方程变形为方程两边都乘以,去分母并整理得,解这个方程得．经检验,是原方程的根,是原方程的增根．∴原方程的根是．[答案]．[方法点拨]部分学生在解分式方程时,往往不能拿到全部分数,其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根,检验这一步不可缺少．例2[考点要求]本题考查用消元法解二元二次方程组．[思路点拨]解方程组的基本思路就是消元和降次,要根据方程组的特点选取适当方法．由方程①可得,∴.它们与方程②分别组成两个方程组：解方程组可知,此方程组无解；解方程组得所以原方程组的解是[答案][规律总结]少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路,不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解,得到两个一次方程,再分别与第二个方程组成两个新的方程组,求解．解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元,即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次,再重新组成新的方程组求解,所求得的结果即为原方程组的解．例3下列一元方程中,没有实数根的是〔A．B．C．D．[考点要求]本题考查一元二次方程根的判别式．[思路点拨]根据,确定好选项方程中的各项的系数及常数项,代入根的判别式进行计算,如果所求结果非负,则有实数根；否则没有实数根．C选项中＜0,方程无实数根．[答案]选C．[错解分析]出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢,出现使用错误,二是在确定各项系数和常数项时,弄错符号,导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化为一般式后,再确定系数及常数项．解题关键：根据可知,若二次项系数与常数项异号,则方程必有实数根,从而缩小解题范围．例4用换元法解分式方程时,如果设,那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是．[考点要求]本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程．[思路点拨]整体代换〔换元法也是我们解方程常用的方法之一,它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用．把代入原方程得,,即,故答案应填写．[答案]．[方法点拨]整体换元要求原方程具备一定结构特点,如果不具备,必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元．例5若不等式组的正整数解只有2,求的整数值．[考点要求]本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用．要求的值,可先求出不等式组中的各不等式的解集,再根据不等式组的正整数解只有2,列出关于的不等式组,进而求出的值．,解得．又∵原不等式组只有正整数解2．由右图,应有．∴∴[答案][误区警示]部分学生解出不等式组的解集后,不知如何运用"正整数解只有2"这一条件．突破方法：用含a的代数式表示不等式组的解集,结合数轴表示出不等式组的解集,再转化为关于a的不等式组,求出a的值．例6如图甲车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积〔不考虑接缝等因素,计算结果保留．OOBA·图乙图甲AB2米4米60米[考点要求]本题考查用方程解几何问题,方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具,通常结合勾股定理的形式出现．·EFOBA[思路点拨]连结OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E·EFOBA由垂径定理,可知：E是AB中点,F是中点,∴EF是弓形高∴AE=2,EF=2．设半径为R米,则OE=<R－2>米．在Rt△AOE中,由勾股定理,得R2=．解得R=4．∵sin∠AOE=,∴∠AOE=60°,∴∠AOB=120°．∴的长为=．∴帆布的面积为×60=160〔平方米．[答案]160〔平方米．[方法点拨]部分学生遇此问题,不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际,将车棚顶部展开得长方形,其长为车棚长,宽为弧AB长．解题关键：在利用数学知识解决实际问题时,要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来,能将生活中的问题抽象为数学问题．例7已知方程组的解x、y满足2x+y≥0,则m的取值范围是〔A．m≥－B．m≥C．m≥1D．－≤m≤1[考点要求]本题考查方程〔组与不等式的综合问题,此类题型常用的方法是可把看作已知数,用它来表示其余未知数．[思路点拨]由题意,可求出,代入2x+y≥0,解得m≥－．或者也可整体求值,把第<2>式乘以4减去第<1>式直接得,得,解得m≥－．[答案]选A．[方法点拨]本题一般做法是把m看作是已知系数,用含m的代数式表示x、y,解出方程组的解,然后再把所求的x、y的值入题目中的不等式,从而得到只含m的不等式,求出解集．或者也可以依据题目条件的特点,从整体考虑,直接进行整理得到与不等式相关的代数式,进行求解．例8根据对话的内容,试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？一盒饼干的标价可是整数元哦！小朋友,本来你用10元钱买一盒饼干是够的,但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节,我给你买的饼干打9折,两样东西请拿好！还有找你的8角钱．一盒饼干的标价可是整数元哦！小朋友,本来你用10元钱买一盒饼干是够的,但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节,我给你买的饼干打9折,两样东西请拿好！还有找你的8角钱．阿姨,我买一盒饼干和一袋牛奶〔递上10元钱阿姨,我买一盒饼干和一袋牛奶〔递上10元钱[考点要求]本题考查方程在实际情境中的运用,结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容有机结合起来,求出整数解.[思路点拨]设饼干的标价每盒x元,牛奶的标价为每袋y元,①②①②③由②得y=9.2－0.9x④把④代入①,得x+9.2－0.9x＞10∴x＞8由③得8＜x＜10∵x是整数∴x=9将x=9代入④,得y=9.2－0.9×9=1.1[答案]饼干一盒标价9元,一袋牛奶标价1.1元．[方法点拨]部分学生不习惯这种情境题,不能很好地从情景对话中找出有用的信息来．突破方法：因为题目中的条件只是两人对话,因此要紧紧围绕两人的对话进行分析,综合各数据列出不等式组求解．解题关键：情境题中的条件一般不会很多,但每一句话都可能给出重要信息,因此要仔细阅读分析．例9某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元,商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售乙种电视机每台可获利200元,销售丙种电视机每台可获利250元．<1>若同时购进其中两种不同型号电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案；<2>经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的,且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额,利润不能少于8500元的前提,购进这三种型号的电视机共50台,请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？[考点要求]本题考查方程〔组在实际生活中的应用．[思路点拨]在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济.〔1<Ⅰ>设甲种电视机台,乙种电视机台.则,解得<Ⅱ>设甲种电视机台,丙种电视机台.则,解得〔Ⅲ>设乙种电视机台,丙种电视机台.则,解得<舍去><2>设甲种电视机台,乙种电视机台,丙种电视机台.由题意得解得:∴∴进货方案有:①甲、乙、丙各为34台、12台和4台；②甲、乙、丙各为30台、15台和5台；商场的利润为①〔元②〔元∴要是商场获利最大,则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台；[答案]〔1方案一：甲种电视机25台,乙种电视机25台,方案二：甲种电视机35台,乙种电视机15台；〔2要是商场获利最大,则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台．[方法点拨]部分学生完成此题时,解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景,以方案设计为主题,体现分类讨论的数学思想.例10某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产、两种产品,共50件．已知生产一件种产品,需用甲种原料9千克,乙种原料3千克；生产一件种产品,需用甲种原料4千克,乙种原料10千克．据现有条件安排、两种产品的生产件数,有哪几种方案,请你设计出来．若甲种原料每千克80元,乙种原料每千克120元,怎样设计成本最低．[考点要求]本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题,不仅考查学生对知识的掌握,灵活运用知识的解题的能力,同时考查学生数学建模的能力．[思路点拨]〔1设生产种产品件,种产品件．按这样生产需甲种的原料,∴即：．∵为整数,∴∴有三种生产方案．第一种方案：生产种产品30件,种产品20件；第二种方案：生产种产品31件,种产品19件；第三种方案：生产种产品32件,种产品18件．〔2第一种方案的成本：〔元．第二种方案的成本：〔元．第三种方案的成本：〔元．∴第三种方案成本最低．[答案]〔1第一种方案：生产种产品30件,种产品20件；第二种方案：生产种产品31件,种产品19件；第三种方案：生产种产品32件,种产品18件．〔2第三种方案成本最低．[方法点拨]解决本题的关键在于找出生产种产品和种产品分别甲种原料和乙种原料的数量,再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组,解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案,求出最低成本．●难点突破方法总结方程〔组及方程〔组的应用问题是中考命题的重点,主要考查学生的应用能力,题型内容贴近生活实际,考查学生的分析问题和解决问题的能力,在解题时应注意以下问题：1.正确理解和掌握方程与方程组的相关概念,性质,结论和方法,这是解决有关方程与方程组问题的前提．2.用化归思想求解二元一次方程组,可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程．3.熟练掌握用换元法解方程及方程组．4.关注社会,积累生活经验,通过阅读、观察、比较、分析、归纳、综合等方法解决与生产、生活密切相关的社会热点问题．第三关：五年真题详解与规律探析20XX5．不等式组的解集在数轴上表示为〔C--1012A．-1012B．-1012C．-1012D．6．要使式子有意义,的取值范围是〔DA． B． C． D．20XX6．如果是方程的两个根,那么的值为：〔A-1〔B2〔C〔D答案：B解析：本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理,两根之和是,两根之积是,易求出两根之和是211．方程的解是答案：解析：这是一个分式方程,按照"一去〔去分母、二解〔解整式方程、三检验〔检查求出的根是否是增根"的步骤求出方程的解即可。20．解不等式组：,并把它的解集在数轴上表示出来。答案：解不等式,得解不等式,得所以,不等式组的解集为在数轴上表示为：00方法点拨：本题主要考察不等式组的解集,以及在数轴上表示不等式组的解集。题目难度较小,属于基础知识的考察。同时,一元一次不等式〔组的解法及不等式〔组的应用是一直是各省市中考的考查重点。24．小李骑自行车从A地到B地,小明骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米。求A、B两地间的路程。答案：设A、B两地间的路程为x千米,根据题意,得解得答：A、B两地间的路程为108千米。方法点拨：本题考察用一元一次方程解决实际问题。运用一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程或分式方程解决实际问题,是近年中考的热点题型。本题要把握题目中两人速度这个不变量建立等量关系,就显得尤为简单。同时注意两人从相距36千米到再次相距36千米,两人所骑的路程和为72千米。20XX14．若,则的值等于〔 D A． B．C．或2 D．0或24．XX市20XX的污水处理量为10万吨/天,20XX的污水处理量为34万吨/天,20XX平均每天的污水排放量是20XX平均每天污水排放量的1.05倍,若20XX每天的污水处理率比20XX每天的污水处理率提高〔污水处理率．〔1求XX市20XX、20XX平均每天的污水排放量分别是多少万吨？〔结果保留整数〔2预计我市20XX平均每天的污水排放量比20XX平均每天污水排放量增加,按照国家要求"20XX省会城市的污水处理率不低于",那么我市20XX每天污水处理量在20XX每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨,才能符合国家规定的要求？〔1解：设年平均每天的污水排放量为万吨,则20XX平均每天的污水排放量为1.05x万吨,依题意得：解得经检验,是原方程的解答：20XX平均每天的污水排放量约为56万吨,20XX平均每天的污水排放量约为59万吨．〔可以设20XX平均每天污水排放量约为x万吨,20XX的平均每天的污水排放量约为万吨〔2方法一：解：设20XX平均每天的污水处理量还需要在20XX的基础上至少增加万吨,依题意得：解得答：20XX平均每天的污水处理量还需要在20XX的基础上至少增加万吨．方法二：解：答：20XX平均每天的污水处理量还需要在20XX的基础上至少增加万吨．20XX6．方程的解为．,；12．不等式组的解集是〔AＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．16．以下是方程去分母后的结果,其中正确的是〔CＡ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．20．解不等式,并将它的解集在数轴上表示出来．00123解：20XX11．下列运算正确的是〔D<A> <B><C> <D>12．分式计算的结果是〔D<A><B> <C> <D>20．解方程：解：方程两边都乘以得经检验是原方程的根23．XX市是广西最大的罗非鱼养殖产区,被国家农业部列为罗非鱼养殖优势区域．某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼,要求这两个品种总产量〔吨满品种单价〔万元/吨罗非鱼0.45草鱼0.85足：,总产值为1000万元．已知相关数据如右表所示．求：该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么 范围？〔产值＝产量单价解：设该养殖场下半年罗非鱼的产量为吨 〔1分则 〔6分 〔7分 〔9分 〔10分答：该养殖场下半年罗非鱼的产量控制在857.5吨至900吨的范围内．第三讲：函数第一关：考点点睛平面直角坐标系和一次函数对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现,主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式,在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题,在中考中一般占到6-10分左右。考点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P〔a＋1,2a－1关于x轴的对称点在第一象限,求a的取值范围．解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限,则点P在第四象限．根据各象限内点的坐标特征,可以建立关于a的不等式组,求出a的取值范围．依题意P点在第四象限,则有,解得－1＜＜．答案：的取值范围是－1＜＜．例2：函数y=中,自变量x的取值范围是．解体思路：要使代数式有意义,必须有,解得x≥－EQ\F<1,2>且x≠15．答案：x≥－EQ\F<1,2>且x≠15．例3：三军受命,我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇,甲队先出发,从部队基地到该小镇只有唯一通道,且路程为24km．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象,四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是〔A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出,甲队出发2小时后乙队出发,他们同时到达目的地,路程都是24km,甲队用了6小时,乙队用了4小时．可以求得,乙队行驶的平均速度是24÷4=6km/h．所以,第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象,甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交,交点的横坐标是4.5,这说明两个队在行驶途中有一次相遇,是在乙队出发2.5小时后追上甲队,所以,第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中,在3～4小时之间的一段是水平的,意味着这段时间甲队在途中停留,所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述,四个同学的叙述都正确。答案：选D．考点2：一次函数的概念、图象和性质例1：一次函数y=3x－4的图象不经过〔A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解题思路：由于3＞0,－4＜0,一次函数y=3x－4的图象经过第一、三、四象限,所以图象不经过第二象限．故选B．例2：已知一次函数的图象过点〔0,3与〔2,1,则这个一次函数y随x的增大而．解题思路：由于图象经过的两个点〔0,3与〔2,1,所以在平面直角坐标系中过这两个点作直线〔如图,就得到该函数的图象．观察图象,直线从左向右呈"下降"趋势,则y随x的增大而减小．例3：已知平面上四点A〔0,0,B〔10,0,C〔10,6,D〔0,6,直线y=mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分,则m的值为．解题思路：在平面直角坐标系中描点,可知四边形ABCD是矩形．由于矩形是中心对称图形,所以将它面积二等分的直线一定经过矩形的中心点．找出矩形中心点的坐标,代入直线的关系式可以求出m的值．解：根据题意,在平面直角坐标系中描出各点,可知四边形ABCD是矩形．由图形知,矩形的中心点E〔5,3．由题意知,直线y=mx－3m＋2必过中心点E,所以有3=m×5－3m＋2,解得m=．解：〔1符合条件的点D有3个〔如图,坐标分别是：D1〔2,1,D2〔－2,1,D3〔0,－1．〔2若选择点D1〔2,1时,设直线BD1的的关系式为y=kx＋b,由题意得,解得．∴直线BD1的的关系式为y=x＋．若选择点D2〔－2,1,同上可得直线BD2的的关系式为y=－x－1．若选择点D3〔0,－1时,同上可得直线BD3的的关系式为y=－x－1．例2：在平面直角坐标系中,一动点P〔x,y从M〔1,0出发,沿由A〔-1,1,B〔-1,-1,C〔1,-1,D〔1,1四点组成的正方形边线〔如图①按一定方向运动．图②是P点运动的路程s〔个单位与运动时间〔秒之间的函数图象,图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．〔1s与t之间的函数关系式是：；〔2与图③相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B；〔3写出当3≤s≤8时,y与s之间的函数关系式,并在图③中补全函数图象．解题思路：〔1由图②知,s与t是正比例函数关系,用"待定系数法"可求的关系式；〔2结合题意和图③的函数图象,P点的运动路径是：M→D→A→N；从〔1中知点P的运动速度,可以求出点P运动到点B需要的时间；〔3对3≤s≤8的范围,又需要分三个时间段分别求解．解：<1>设S=kt,代入〔2,1,求得k=．所以S=<t≥0>．<2>图③中,P点的运动路径是：M→D→A→N．由〔1知,点P运动的速度是个单位/秒,所以P点从出发到首次达点B需要5÷=10秒．<3>当3≤s＜5时,,点P从A到B运动,此时y=4－s；当5≤s＜7时,点P从B到C运动,此时y=－1；当7≤s≤8时,点P从C到M运动,此时y=s－8．补全图象如图．考点4：一次函数的应用例1：已知直线l1：y1=－4x＋5和直线l2：y2=x－4．〔1求两条直线l1和l2的交点坐标,并判断交点落在哪一个象限内；〔2在同一个坐标系内画出两条直线的大致位置,然后利用图象求出不等式－4x＋5＞x－4的解集．解题思路：〔1只需要建立关于两个函数关系式的方程组,其解就是交点坐标；〔2作出图象,找出直线l1高于l2的部分,其自变量的取值范围就是不等式的解集．解：〔1解方程组,得．∴直线l1和l2的交点是〔2,－3,在第四象限．〔2直线l1高于l2的部分在交点〔2,－3的左侧,其自变量取值范围是x＜2．所以,不等式－4x＋5＞x－4的解集为x＜2．例2：某公司有A型产品40件,B型产品60件,分配给下属甲、乙两个商店销售,其中70件给甲店,30件给乙店,且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润〔元如下表：A型利润B型利润甲店200170乙店160150〔1设分配给甲店A型产品x件,这家公司卖出这100件产品的总利润为W〔元,求W关于x的函数关系式,并求出x的取值范围；〔2若公司要求总利润不低于17560元,说明有多少种不同分配方案,并将各种方案设计出来；〔3为了促销,公司决定仅对甲店A型产品让利销售,每件让利a元,但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A,B型产品的每件利润不变,问该公司又如何设计分配方案,使总利润达到最大？解题思路：〔1利用"总利润=甲、乙店销售各型商品的利润和"建立函数关系式,然后建立关于x的不等式组,求出x的取值范围；〔2根据"总利润不低于17560元"建立不等式,结合〔1确定出x的正整数解,每一个正整数解对应不同的分配方案；〔3建立一个含有常数a的关于W、x的函数关系式,然后对a的不同取值范围分别讨论,确定出总利润最大的分配方案．解：〔1W=200x＋170〔70－x＋160〔40－x＋150〔x－10=20x＋16800．由题意得,解得10≤x≤40．〔2由w=20x＋16800≥17560,解得x≥38．∴38≤x≤40,∴x=38,39,40,∴有三种不同的分配方案：①x=38时,甲店A型38件,B型32件,乙店A型2件,B型28件．②x=39时,甲店A型39件,B型31件,乙店A型1件,B型29件．③x=40时,甲店A型40件,B型30件,乙店A型0件,B型30件．〔3W=〔200－ax＋170〔70－x＋160〔40－x＋150〔x－10=〔20－ax＋16800．①当0＜a＜20时,x=40,即甲店A型40件,B型30件,乙店A型0件,B型30件,能使总利润达到最大．②当a=20时,10≤x≤40,符合题意的各种方案,使总利润都一样．③当20＜a＜30时,x=10,即甲店A型10件,B型60件,乙店A型30件,B型0件,能使总利润达到最大．反比例函数反比例函数的考察也很普遍,反比例函数的图象和性质是考查的重点,反比例函数的几何图形的面积相结合是亮点,对于反比例函数的考查也经常与一次函数或者二次函数相结合,难度相对较小,分数在3-6分左右。考点1：反比例函数的意义例1：下列等式中,哪些是反比例函数〔1〔2〔3xy＝21〔4〔5〔6〔7y＝x＋4思路点拨：根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成〔k为常数,k≠0的形式,容易看出,这里〔1、〔7是整式,〔4的分母不是只单独含x,〔6改写后是,分子不是常数,只有〔2、〔3、〔5能写成定义所给定的形式．例2：当m取什么值时,函数是反比例函数？思路点拨：反比例函数〔k≠0的另一种表达式是〔k≠0,后一种写法中x的次数是－1,因此m的取值必须满足两个条件,即m－2≠0且3－m2＝－1,特别注意不要遗漏k≠0这一条件,也要防止出现3－m2＝1的错误．解：因为是反比例函数,所以有解得．即当时,函数是反比例函数．例3：已知函数y＝y1＋y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x＝1时,y＝4；当x＝2时,y＝5．〔1求y与x的函数关系式；〔2当x＝－2时,求函数y的值．思路点拨：本题中,函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答．先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式,再代入已知条件中的数值,通过解方程或方程组求出待定系数的值．这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的待定系数不一定相同,故不能都设为k,为了区分开,要用不同的字母表示．解：〔1由题意,设y1＝k1x〔k1≠0,〔k2≠0,则,因为当x＝1时,y＝4；当x＝2时,y＝5,所以有解得k1＝2,k2＝2．因此．〔2当x＝－2时,．考点2：反比例函数的性质与图象例1．若点A<x1,1>、B<x2,2>、C<x3,－3>在反比例函数上,则〔A．x1>x2>x3B．x1>x3>x2C．x3>x2>x1D．x3>x1>x2思路点拨：根据反比例函数的增减性,然后利用数形结合的思想画出符合条件的草图。答案：选C例2．在同一直角坐标平面内,如果直线与反比例函数的图象没有交点,那么和的关系一定是〔A<0,>0 B>0,<0 C、同号 D、异号思路点拨：根据两种函数的图象分布特点可以断定有没有交点只要判断比例系数的符号是不是一致,一定注意不要漏解。答案：选D例3．A、C是函数的图象上的任意两点,过A作x轴的垂线,垂足为B,过C作y轴的垂线,垂足为D,记RtΔAOB的面积为S1,RtΔCOD的面积为S2则〔S1＞S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1与S2的大小关系不能确定思路点拨：根据反比例函数中比例系数k的不变性,可以知道根据题意作出的这些三角形的面积都与k的绝对值有关,都等于k的绝对值的一半,所以它们的大小相等。答案：选B考点3：反比例函数的应用例1：一个用电器的电阻可调节,其范围为110～220〔〔即最小值为110,最大值为220,已知电源电压为220〔V,用电器输出的功率P〔W的范围是〔A．P=220WB．P=440WC．220W＜P＜440WD．220W≤P≤440W思路点拨：根据物理学知识,用电器的输出功率,又因为,所以．其中电源电压为220V,可调节电阻范围是110～220,所以电流范围是1～2A,因此输出功率范围是220W≤P≤440W．例2：如图,在反比例函数〔的图象上,有点,它们的横坐标依次为1,2,3,4．分别过这些点作轴与轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为,则．xyOP1P2PxyOP1P2P3P41234思路点拨：反比例函数的图象是一种特殊的曲线,其比例系数k等于双曲线上任意一点横坐标和纵坐标的乘积。由双曲线的解析式及四个点的横坐标,可求得它们的纵坐标依次为2、1、、．将S2和S3向左平移,与S1拼接起来,所以；确定反比例函数的解析式,只需确定一组值或其图象经过的一个点即可．另外,求阴影部分面积时,常运用割补法或是等积变换法来整体求解．答案：例3：某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺了若干块木块,构筑成一条临时便道．木板对地面的压强是木板面积的反比例函数,其图象如下图所示．〔1请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；0200400600102004006001234〔3如果要求压强不超过,木板的面积至少要多大？思路点拨：根据图象找到图象上的点,从而确定反比例函数的额解析式,然后分析题意,分清自变量和函数,给出其中任意的一个,能求出另一个。答案：〔1根据物理学中压力F、压强p与受力面积S之间的关系式,结合图象,可以求出压力F=600〔N；〔3要求压强不超过,所以p≤6000,即≤6000,解不等式即可．二次函数二次函数这一章在初中数学中占有重要地位,同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容,二次函数在中考命题中一直是"重头戏",根据对近几年中考试卷的分析,预计20XX中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题,中高档的解答题,分值一般为9～15分,除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题,阅读理解题和探究题,二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.考点2：二次函数的图形与性质例1：如图1所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点〔－1,2和〔1,0且与y轴交于负半轴.第〔1问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是.

第〔2问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.

例2：抛物线y=－x2+〔m－1x+m与y轴交于〔0,3点,〔1求出m的值并画出这条抛物线；〔2求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；〔3x取什么值时,抛物线在x轴上方?〔4x取什么值时,y的值随x的增大而减小？h思路点拨：由已知点〔0,3代入y=－x2+〔m－1x+m即可求得m的值,即可知道二次函数解析式,并可画出图象,然后根据图象和二次函数性质可得〔2〔3〔4.

解：〔1由题意将〔0,3代入解析式可得m=3,

∴抛物线为y=－x2+2x+3.

图象〔图2：

〔2令y=0,则－x2+2x+3=0,得x1=－1,x2=3；

∴抛物线与x轴的交点为〔－1,0,〔3,0.

∵y=－x2+2x+3=－〔x－12+4,

∴抛物线顶点坐标为〔1,4；

〔3由图象可知：当－1<x<3时,抛物线在x轴上方；

〔4由图象可知：当x>1时,y的值随x值的增大而减小.h考点3：二次函数的应用例1：如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度〔单位：米与小球运动时间〔单位：秒的函数关系式是,那么小球运动中的最大高度．随楼层数x〔楼的变化而变化〔x=1,2,3,4,5,6,7,8；已知点〔x,y都在一个二次函数的图像上〔如图6所示,则6楼房子的价格为元/平方米．思路点拨：观察函数图像得：图像关于对称,当因为x=2到对称轴的距离与x=6到对称轴的距离相等。所以,当第二关：难点攻克例1反比例函数的图象经过点〔2,5,若点〔1,n在反比例函数的图象上,则n的值是．[考点要求]本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式,并会用解析式确定点的坐标．[思路点拨]因为反比例函数的图象经过点〔2,5,所以可将点〔2,5的坐标代入,求k就可确定解析式,再将点〔1,n代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n,由题意得2×5=1×n,所以n=10．[答案]填10.图3-1[方法点拨]由反比例函数解析式经过变形,可以得到,因为k是一个常数,所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值,根据这个结论,很容易求出这类问题的结果．图3-1例2如图3-1,已知点A的坐标为〔1,0,点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为A.<0,0>B.C.D.[考点要求]本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识,数形结合是重要的数学方法之一．当线段AB最短时AB⊥BO,又由点B在直线上可知∠AOB=45°,且OA=1,过点B作x轴的垂线,根据等腰"三线合一"及直角三角形"斜边的中线等于斜边的一半"容易求得点B坐标为,[答案]选B．[误区警示]部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短,但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式,求点的坐标是根据两直线相交,再求出AB直线的解析式,利用方程组求出交点坐标。解题关键：互相垂直的两直线解析式中,一次项系数互为倒数,据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物,若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时,投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x〔册500080001000015000…成绩y〔元28500360004100053500…〔1经过对上表中数据的探究,发现这种读物的投入成本y〔元是印数x〔册的一次函数．求这个一次函数的解析式〔不要求写出x的以值范围；〔2如果出版社投入成绩48000元,那么能印读物多少册？[考点要求]本题考查一次函数解析式的确定及其应用．[思路点拨]〔1设所求一次函数解析式为,则,解得,所以所求函数的关系式为.〔2因为,所以x=12800[答案]能印该读物12800册．[方法点拨]关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式,求出解析式。例4若M、N、P三点都在函数〔ｋ＜0的图象上,则的大小关系为〔A、＞＞B、＞＞C、＞＞D、＞＞[考点要求]本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．[思路点拨]反比例函数当k＜0时,其图象位于二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,结合图象可知,＞＞,[答案]选B．[误区警示]部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质,容易错误的理解成"当k＜0时,图象位于二、四象限,y随x的增大而增大"。突破方法：不单纯的根据性质进行判断,而是画出图象,结合草图进行判断。解题关键：反比例函数图象及性质在描述时,因为是双曲线,所以一定要说明"在每一象限内"这一前提。例5一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象是ABCD[考点要求]本题考查一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象的判定．[思路点拨]可假定一次函数图象正确,逐一判断出k的取值范围,再结合反比例函数及一次函数的图象看是否会出现矛盾,若出现矛盾则该选项错误,[答案]选A．[方法点拨]少数学生因未能掌握这类问题的解法以致举棋不定,无从下手。突破方法：所有这类判断图象可能性的问题的解法相近,关键就是以每一个选项中的某个图象所反映的字母系数符号判断出来,然后再看与另一个图象是否相符。例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示,若y＜0,则x的取值范围是A．－1＜x＜4B．－1＜x＜3yx1O－1F图3-2C．x＜－1或yx1O－1F图3-2[考点要求]本题考查利用二次函数图象解不等式．[思路点拨]抛物线的图象上,当y=0时,对应的是抛物线与x轴的交点,坐标分别为〔－1,0、〔3,0．当y＜0时所对应的是x轴下方的部分,对应的x在－1与3之间,所以x的取值范围是－1＜x＜3,[答案]选B．[方法点拨]本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对应x轴下面的部分,而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3,其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。图3-3例7在直角坐