考研数学基础课件第12章微分方程解法及应用

微分方程解法及应用

二、一阶微分方程求解三、线性微分方程解的性质四、二阶微分方程求解一、微分方程的概念六、微分方程的应用问题五、微分方程求解的逆问题第十二章1微分方程解法及应用二、一阶微分方程求解三、线性微分方程解的1.微分方程：含未知函数及其导数的等式叫做微分方程

.2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解3.微分方程的解

—通解中的任意常数被确定后的解.—确定通解中任意常数的条件.4.定解条件

n阶方程的初始条件(或初值条件):一、微分方程的概念21.微分方程：含未知函数及其导数的等式叫做微分方程.2.微(n

阶显式微分方程)分类1或一阶方程：二阶方程：n阶方程：分类2线性方程：非线性方程：分类3单个微分方程：微分方程组：（本章内容）3(n阶显式微分方程)分类1或一阶方程：二阶方程：n阶方程6.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.5.解的几何意义特解:

微分方程的一条积分曲线.通解:

积分曲线族.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.46.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.5.解的几1.一阶微分方程的一般形式：二、一阶微分方程求解

2.一阶标准类型方程求解

五个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,贝努利方程，全微分方程3.一阶非标准类型方程求解---变量代换法

代换自变量,代换因变量,代换某组合式化为可求解的.关键:辨别方程类型,掌握相应的求解步骤.51.一阶微分方程的一般形式：二、一阶微分方程求解2.一阶★一阶标准类型方程的形式及求解方法

(1)可分离变量方程标准形式：解法：分离变量法1)分离变量;2)两端积分-------隐式通解.步骤:(2)齐次型方程标准形式：解法：步骤:变量代换法代入原方程得：即则即求此可分离变量方程的解，并回代6★一阶标准类型方程的形式及求解方法(1)可分离变量方程标准(3)一阶线性方程标准形式：解法：1)先解齐次方程,再用常数变易法2)通解公式法:(4)全微分方程标准形式：解法：求原函数法步骤:方法1:凑微分法;方法3:利用积分与路径无关的条件.1)求原函数

u(x,y)2)由du=0知通解为

u(x,y)=C.方法2:偏积分法;7(3)一阶线性方程标准形式：解法：1)先解齐次方程,再用解法：变形为令从而有代入原方程得这是关于的一阶线性微分方程.求出通解后将代入即得的通解.标准形式：(5)贝努利方程8解法：变形为令从而有代入原方程得这是关于的一阶线性微分方程.解法1:

化为线性方程.原方程变形为其通解为:即例1.

解方程9解法1:化为线性方程.原方程变形为其通解为:即例1.解法2:

化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解例1.

解方程10解法2:化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通例2.

解方程解法1:

这是一个齐次方程.解法2:

化为微分形式故这是一个全微分方程.11例2.解方程解法1:这是一个齐次方程.解法2:提示:令u=xy,得将方程改写为(贝努利方程)(分离变量方程)原方程化为提示:例3.

求下列方程的通解:12提示:令u=xy,得将方程改写为(贝努利方程)1.n阶线性微分方程的一般形式：----二阶线性微分方程.说明：叫自由项.①均为已知函数.②齐次方程.非齐次方程.131.n阶线性微分方程的一般形式：----二阶线性微分方程.说2.线性微分方程解的性质：(1)如果函数及是方程(1)的两个解，那么对于任意常数仍然是(1)的解.的特解，那么就是方程(1)的通解.如果与是方程(1)的两个线性无关(2)(3)142.线性微分方程解的性质：(1)如果函数及是方程(1)的两个(4)设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与(2)对应的齐次方程(1)通解，那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和，若而与分别是方程的特解，那么就是原方程的特解.(5)15(4)设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与(2)对应的齐次常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例4.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89年考研)16常数,则该方程的通解是().设线性无关17171.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解四、二阶微分方程求解181.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解四、例5.

解初值问题解:

令代入方程得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得说明:解二阶可降阶微分方程初值问题时需注意(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.19例5.解初值问题解:令代入方程得利用初始条件,根据积分得(1)标准形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表达式特征根情况20(1)标准形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表达式特特征方程:

特征方程的根微分方程通解中的对应项一项:两项:k项:2k项:注意：n次代数方程有n个根,且每一项含一个任意常数.对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都推广:21特征方程:特征方程的根微分方程通解中的对应项一项:两项:k根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解已经会求了如何求？——待定系数法求特解的方法22根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解已经则特解可设为则特解可设为23则特解可设为则特解可设为23为特征方程的k(=0,1,2…)重根,则设特解为为特征方程的k(=0,1…)重根,则设特解为上述结论也可推广到高阶方程的情形.24为特征方程的k(=0,1,2…)重根,则设特解例6.25例6.25例7.

求下列微分方程的通解解:它对应得齐次方程为特征方程为则得特征根为：则齐次通解为设原方程得特解为则代入原方程得则则所求通解26例7.求下列微分方程的通解解:它对应得齐次方程为特征方程解:它对应得齐次方程为特征方程为则得特征根为：则齐次通解为设其特解为则代入该方程得则原方程得通解是:27解:它对应得齐次方程为特征方程为则得特征根为：则齐次通解为设解：故对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入方程得故原方程通解为由初始条件得于是所求解为28解：故对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入方程得故原方程时可设特解为时可设特解为(填空)

设例8.时可设特解为29时可设特解为时可设特解为(填空)设例8.时可设特解为欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的的方程(其中叫欧拉方程.为常数)形如(1)定义:(2)解法：次数相同．可化为常系数微分方程.作变量变换将自变量换为得到一个常系数线性微分方程.练习(04数一)：30欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换特点:各项未知函数导P353题2(1)

求以为通解的微分方程.提示:消去

C

得P353题2(2)

求以为通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为五、微分方程求解的逆问题31P353题2(1)求以为通解的微分方程.提示:消去C例10.求一连续可导函数使其满足下列方程:原方程可化为:令则有利用公式可求出解:两边同时对求导六、微分方程应用问题-------求未知函数32例10.求一连续可导函数使其满足下列方程:原方程可化为:解:tu0xx0求导得：再求导得：这是二阶线性常系数非齐次方程33解:tu0xx0求导得：再求导得：这是二阶线性常系数非齐次方这个方程是一阶线性非齐次方程，34这个方程是一阶线性非齐次方程，343535(11年数学三)otxyt36(11年数学三)otxyt36例14.

已知曲线积分无关,其中解:因积分与路径无关,故有即因此有37例14.已知曲线积分无关,其中解:因积分与路径无关,(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:

(1)(02考研)例15.所以38(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数用变量代换化简方程(05考研)解:例16.39用变量代换化简方程(05考研)解:例16.39谢谢大家！满足等式(I)验证(II)若，求函数的表达式.设函数在内具有二阶导数，且练习：(06考研)40谢谢大家！满足等式(I)验证(II)若，求函数的表达4141微分方程解法及应用

二、一阶微分方程求解三、线性微分方程解的性质四、二阶微分方程求解一、微分方程的概念六、微分方程的应用问题五、微分方程求解的逆问题第十二章42微分方程解法及应用二、一阶微分方程求解三、线性微分方程解的1.微分方程：含未知函数及其导数的等式叫做微分方程

.2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解3.微分方程的解

—通解中的任意常数被确定后的解.—确定通解中任意常数的条件.4.定解条件

n阶方程的初始条件(或初值条件):一、微分方程的概念431.微分方程：含未知函数及其导数的等式叫做微分方程.2.微(n

阶显式微分方程)分类1或一阶方程：二阶方程：n阶方程：分类2线性方程：非线性方程：分类3单个微分方程：微分方程组：（本章内容）44(n阶显式微分方程)分类1或一阶方程：二阶方程：n阶方程6.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.5.解的几何意义特解:

微分方程的一条积分曲线.通解:

积分曲线族.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.456.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.5.解的几1.一阶微分方程的一般形式：二、一阶微分方程求解

2.一阶标准类型方程求解

五个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,贝努利方程，全微分方程3.一阶非标准类型方程求解---变量代换法

代换自变量,代换因变量,代换某组合式化为可求解的.关键:辨别方程类型,掌握相应的求解步骤.461.一阶微分方程的一般形式：二、一阶微分方程求解2.一阶★一阶标准类型方程的形式及求解方法

(1)可分离变量方程标准形式：解法：分离变量法1)分离变量;2)两端积分-------隐式通解.步骤:(2)齐次型方程标准形式：解法：步骤:变量代换法代入原方程得：即则即求此可分离变量方程的解，并回代47★一阶标准类型方程的形式及求解方法(1)可分离变量方程标准(3)一阶线性方程标准形式：解法：1)先解齐次方程,再用常数变易法2)通解公式法:(4)全微分方程标准形式：解法：求原函数法步骤:方法1:凑微分法;方法3:利用积分与路径无关的条件.1)求原函数

u(x,y)2)由du=0知通解为

u(x,y)=C.方法2:偏积分法;48(3)一阶线性方程标准形式：解法：1)先解齐次方程,再用解法：变形为令从而有代入原方程得这是关于的一阶线性微分方程.求出通解后将代入即得的通解.标准形式：(5)贝努利方程49解法：变形为令从而有代入原方程得这是关于的一阶线性微分方程.解法1:

化为线性方程.原方程变形为其通解为:即例1.

解方程50解法1:化为线性方程.原方程变形为其通解为:即例1.解法2:

化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解例1.

解方程51解法2:化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通例2.

解方程解法1:

这是一个齐次方程.解法2:

化为微分形式故这是一个全微分方程.52例2.解方程解法1:这是一个齐次方程.解法2:提示:令u=xy,得将方程改写为(贝努利方程)(分离变量方程)原方程化为提示:例3.

求下列方程的通解:53提示:令u=xy,得将方程改写为(贝努利方程)1.n阶线性微分方程的一般形式：----二阶线性微分方程.说明：叫自由项.①均为已知函数.②齐次方程.非齐次方程.541.n阶线性微分方程的一般形式：----二阶线性微分方程.说2.线性微分方程解的性质：(1)如果函数及是方程(1)的两个解，那么对于任意常数仍然是(1)的解.的特解，那么就是方程(1)的通解.如果与是方程(1)的两个线性无关(2)(3)552.线性微分方程解的性质：(1)如果函数及是方程(1)的两个(4)设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与(2)对应的齐次方程(1)通解，那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和，若而与分别是方程的特解，那么就是原方程的特解.(5)56(4)设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与(2)对应的齐次常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例4.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89年考研)57常数,则该方程的通解是().设线性无关58171.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解四、二阶微分方程求解591.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解四、例5.

解初值问题解:

令代入方程得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得说明:解二阶可降阶微分方程初值问题时需注意(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.60例5.解初值问题解:令代入方程得利用初始条件,根据积分得(1)标准形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表达式特征根情况61(1)标准形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表达式特特征方程:

特征方程的根微分方程通解中的对应项一项:两项:k项:2k项:注意：n次代数方程有n个根,且每一项含一个任意常数.对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都推广:62特征方程:特征方程的根微分方程通解中的对应项一项:两项:k根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解已经会求了如何求？——待定系数法求特解的方法63根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解已经则特解可设为则特解可设为64则特解可设为则特解可设为23为特征方程的k(=0,1,2…)重根,则设特解为为特征方程的k(=0,1…)重根,则设特解为上述结论也可推广到高阶方程的情形.65为特征方程的k(=0,1,2…)重根,则设特解例6.66例6.25例7.

求下列微分方程的通解解:它对应得齐次方程为特征方程为则得特征根为：则齐次通解为设原方程得特解为则代入原方程得则则所求通解67例7.求下列微分方程的通解解:它对应得齐次方程为特征方程解:它对应得齐次方程为特征方程为则得特征根为：则齐次通解为设其特解为则代入该方程得则原方程得通解是:68解:它对应得齐次方程为特征方程为则得特征根为：则齐次通解为设解：故对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入方程得故原方程通解为由初始条件得于是所求解为69解：故对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入方程得故原方程时可设特解为时可设特解为(填空)

设例8.时可设特解为70时可设特解为时可设特解为(填空)设例8.时可设特解为欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的的方程(其中叫欧拉方程.为常数)形如(1)定义:(2)解