最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件

【课标要求】1．理解定理1及其几何说明，理解定理2.2．会用定理1、定理2解决比较简单的问题．【核心扫描】1．含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用．(重点)2．含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题．(难点)【课标要求】1．绝对值的几何意义 如图(1)，|a|表示数轴上

到原点的距离． 如图(2)，|a－b|的几何意义是

的距离．自学导引坐标为a的点A数轴上A，B两点之间自学导引坐标为a的点A数轴上A，B两点之间2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅当

时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a|＋|b|ab≥0试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.由ab＝|ab|知ab≥0，∴原不等式成立．当且仅当ab≥0时等号成立．试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.3．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当

时，等号成立． 想一想：定理2的几何解释是什么？ 提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.(a－b)(b－c)≥03．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|1．若两实数x，y满足xy＜0，那么总有 (

)．

A．|x＋y|＜|x－y| B．|x＋y|＞|x－y| C．|x－y|＜|x|－|y| D．|x＋y|＜|y|－|x|

解析当xy＜0时，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|， 因为|x|＋|y|＞||x|－|y||， 所以|x＋y|＜|x－y|.

答案A基础自测基础自测2．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是(

)．

A．当a，b异号时，左边等号成立

B．当a，b同号时，右边等号成立

C．当a＋b＝0时，两边等号均成立

D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立

答案B最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件3．若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是(

)．

A．|x－y|＜2h B．|x－y|＜2k C．|x－y|＜h＋k D．|x－y|＜|h－k|

答案C最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件4．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．

答案必要不充分最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件【变式1】

证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.

证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x| ≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|. ∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件【变式2】

设f(x)＝x2-x＋c，|x-a|<1 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件与绝对值不等式有关的最值例1、求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值是________．解析y＝|x＋2|－|x－2|≤|x＋2－x＋2|＝4.答案4变式1.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是 (

)．A．1，x∈[－1,2] B．3,0C．3，x∈[－1,2] D．2，x∈[1,2]c与绝对值不等式有关的最值解析y＝|x＋2|－|x－2|≤|变式3.若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为__________．解析∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案(－∞，9)思考：若|x－4|—|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为__________．变式3.若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的本题若解集不是空集，a的范围是多少？本题若解集不是空集，a的范围是多少？最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件含绝对值不等式的恒成立问题【例】

已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m. (1)若不等式有解；

(2)若不等式解集为R；

(3)若不等式解集为∅.分别求出m的范围．

[思维启迪]解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．含绝对值不等式的恒成立问题解法一

因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；解法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|变式2.(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案5变式2.(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件答案(1)A

(2)A答案(1)A(2)A规律方法|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件解析∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M，|f(x0)|＋|g(x0)|<a，故|f(x0)＋g(x0)|<a，所以x0∈N.答案C最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件方法技巧含绝对值的代数式的最值问题【示例】

求函数f(x)＝|x－3|＋|x－1|的最小值，并求出取最小值时x的范围．

[思路分析]恰当变形，利用定理2转化为定值．

解根据定理2，f(x)＝|x－3|＋|x－1|≥|(x－3)－(x－1)|＝2， 当且仅当(x－3)(x－1)≥0，即x≥3或x≤1.

所以当x≥3或x≤1时，f(x)＝|x－3|＋|x－1|最小值为2.方法技巧含绝对值的代数式的最值问题方法点评(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．(2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：①借助绝对值的定义，即零点分段；②利用绝对值几何意义；③利用绝对值不等式性质定理.

方法点评(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件规律方法通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键．最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件[思维启迪]利用绝对值三角不等式进行证明．[思维启迪]利用绝对值三角不等式进行证明．最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件规律方法对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法．最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件题型三绝对值三角不等式定理的应用【例3】(1)“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的 (

)．

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件题型三绝对值三角不等式定理的应用最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件【课标要求】1．理解定理1及其几何说明，理解定理2.2．会用定理1、定理2解决比较简单的问题．【核心扫描】1．含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用．(重点)2．含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题．(难点)【课标要求】1．绝对值的几何意义 如图(1)，|a|表示数轴上

到原点的距离． 如图(2)，|a－b|的几何意义是

的距离．自学导引坐标为a的点A数轴上A，B两点之间自学导引坐标为a的点A数轴上A，B两点之间2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅当

时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a|＋|b|ab≥0试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.由ab＝|ab|知ab≥0，∴原不等式成立．当且仅当ab≥0时等号成立．试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.3．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当

时，等号成立． 想一想：定理2的几何解释是什么？ 提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.(a－b)(b－c)≥03．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|1．若两实数x，y满足xy＜0，那么总有 (

)．

A．|x＋y|＜|x－y| B．|x＋y|＞|x－y| C．|x－y|＜|x|－|y| D．|x＋y|＜|y|－|x|

解析当xy＜0时，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|， 因为|x|＋|y|＞||x|－|y||， 所以|x＋y|＜|x－y|.

答案A基础自测基础自测2．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是(

)．

A．当a，b异号时，左边等号成立

B．当a，b同号时，右边等号成立

C．当a＋b＝0时，两边等号均成立

D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立

答案B最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件3．若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是(

)．

A．|x－y|＜2h B．|x－y|＜2k C．|x－y|＜h＋k D．|x－y|＜|h－k|

答案C最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件4．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．

答案必要不充分最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件【变式1】

证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.

证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x| ≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|. ∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件【变式2】

设f(x)＝x2-x＋c，|x-a|<1 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件与绝对值不等式有关的最值例1、求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值是________．解析y＝|x＋2|－|x－2|≤|x＋2－x＋2|＝4.答案4变式1.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是 (

)．A．1，x∈[－1,2] B．3,0C．3，x∈[－1,2] D．2，x∈[1,2]c与绝对值不等式有关的最值解析y＝|x＋2|－|x－2|≤|变式3.若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为__________．解析∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案(－∞，9)思考：若|x－4|—|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为__________．变式3.若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的本题若解集不是空集，a的范围是多少？本题若解集不是空集，a的范围是多少？最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件含绝对值不等式的恒成立问题【例】

已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m. (1)若不等式有解；

(2)若不等式解集为R；

(3)若不等式解集为∅.分别求出m的范围．

[思维启迪]解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．含绝对值不等式的恒成立问题解法一

因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；解法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|变式2.(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案5变式2.(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件答案(1)A

(2)A答案(1)A(2)A规律方法|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件解析∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M，|f(x0)|＋|g(x0)|<a，故|f(x0)＋g(x0)|<a，所以x0∈N.答案C最新绝对值三角不等式专业知识讲座课件方法技巧含绝对值的代数式的最值问题【示例】

求函数f(x)＝|x－3|＋|x