第一章 非线性系统概述

第一章非线性系统概述大学本科阶段学习了线性定常系统的分析与综合。严格来说，理想的线性系统是不存在的，总会有一些非线性因素。前面各章的系统是进行线性化处理后近似当作线性系统来研究的，从而可以用线性控制理论对系统进行分析和研究。但是，并不是所有的非线性系统都可以进行线性化处理，对于某些不能进行线性化处理的系统，称为本质非线性控制系统。非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别在于非线性控制系统不满足叠加原理，且系统的响应与初始状态有关。因此，前面各章用于分析线性控制系统的有效方法，不能直接用于非线性控制系统。到目前为止，对非线性控制系统的分析研究，没有一种象线性控制系统那样普遍适用的方法。已有的方法，在应用上都有一定的局限性。所以对某类非线性控制系统，必须考虑相应的分析和设计方法。本章先介绍自动控制系统中常见的典型非线性特性，在此基础上介绍分析非线性控制系统的常用两种方法—描述函数法和相平面法。1.1、研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近小范围工作时，都能作线性化处理。应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。非线性元件（环节）：元件的输入输出不满足（比例+叠加）线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理（本质非线性）。非线性系统：含有非线性环节的系统。非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。VrVrVrV控制系统中，常有非线性特性，如放大元件具有饱和特性，测量元件具有死区特性，齿轮传动中具有内隙特性等。1.2非线性系统的特征1）稳定性分析复杂对线性系统来说，它的参数和初始条件以及输入信号无关。故研究其稳定性时，只要研究它的特征方程即可。换句话说，线性系统的稳定性只和系统参数有关。但是非线性系统则不然，其稳定性除了和系统的结构形式及参数有关外，还与外作用及初始条件有关。（2）不能应用叠加原理线性系统满足叠加原理，可以采用传递函数、频率特性、根轨迹法等概念。同时由于线性系统的运动特征和输入幅值、系统的初始状态无关，所以通常是在典型输入函数和零初始条件下进行研究。然而，非线性系统不满足叠加原理，不能应用上述方法。（3）可能存在自激振荡现象自激振荡：系统在无外部周期变化信号的作用下时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，称自激振荡，简称自振。线性系统只有在临界阻尼情况下才可能有自激振荡。线性系统的工作状态有两种：即稳定和不稳定。至于临界稳定状态只在理论上成立，实际上并不存在。而非线性系统却会产生不守恒的（消耗能量的）等幅振荡，称为自激振荡。自振荡是非线性系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。（4）频率响应发生畸变输入信号是正弦信号时，系统的稳态输出不是正弦信号，而是多种频率的正弦信号组合。1.3非线性系统的分析与设计方法（1）小扰动线性化处理（2）描述函数法一种基于频率域的分析方法。在一定的条件下，用非线性元件输出的基波信号代替在正弦作用下的非正弦输出，使非线性元件近似于一个线性元件，从而可以应用乃奎斯特稳定判据对系统的稳定性进行判别。这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。如系统产生自振荡，如何求出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。（3）相平面法一种基于时域的分析方法。根据绘制出的x-x相轨迹图，去研究非线性系统的稳定性和动态性能。这种方法只适用于一、二阶系统。（4）李雅普诺夫第二法这是一种对线性系统和非线性系统都适用的方法。根据非线性系统动态方程的特征，用相关的方法求出李雅普诺夫函数V（x），然后根据V（x）和&（x）的性质去判别非线性系统的稳定性。（5）逆系统方法这些方法都有一定的局限性。如相平面法，是一种图解法，能给出稳态和暂态性能的全部信息，但只适用于一、二阶非线性控制系统。描述函数法是一种近似的线