第75节刚体平面运动的动力学

第7.5节刚体平面运动的动力学7.5.110m搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。设倾倒时底部未移动。可近似认为烟筒为均质杆。解：烟筒的长度l=10m。设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为①。在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg.%l。由刚体定轴转动的动能定理：mgmg-+/=+1®222I=+ml23烟筒上端到达地面时的线速度为：v=l®=.3gl= x9.8x10沁17.2m/s解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴(质心轴)的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：I=壬ml2，细杆的质心与框架的质心的距离为+1，由平行轴定理：0122I=4•[I+m•(十l)2]=4ml2

c 0 2 3再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：I=I+4m•(il)2=7ml2

c 2 3求框架质心的线速度vc框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取杆AB达到水平时框架质心位置位势能零点，得：Mgh=+1®2c2M=4mh=+1c2I ...®='71V=+l®=.3glc2 '7求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力Mg和支点的支撑力N的作用，由质心运动定理：N+Mg=Mac

取自然坐标系，T沿水平方向，“铅直向上，得投影方程:n:N一Mg=Ma=M=4m--7=寺mgnN=寺mg+4mg=7今mgn n h 11 7 n7 7f: c 2N=Ma=Mh卩ffc在铅直位置时，外力矩为0故角加速度卩=0,==〉Nf=07.5.3由长为2,质量各为m的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O,转轴与框架所在平面垂直.最初，对角线OP处于水平，然后从静止开始向下自由摆动.求OP对角线与水平成45。时P点的速度，并求此时框架对支点的作用力.解:先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴(质心轴)的转动惯量:框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：I=壬ml2,细杆的质心与框架的质心的距离为+1，由平行轴定理：0122I=4•[I+m•(+1)2]=4ml2

c 0 2 3L框架的质心距o点的距离为：亠l，由平行轴定理得框架通过o点的转轴的转动惯量为2I=I+4mCl)=ioml2c 2 31)求p点的速度vpNPP框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取对角NPP线op与水平成450角时框架质心位置为势能零点，得：Mgh=11®2c2M=4mh=11_c2®=、：碍:5lv=、]2l®= glp '5(2)求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力Mg和支点的支撑力N的作用，由质心运动定理:N+Mg=Mac取自然坐标系，n沿op方向，f沿垂直于op方向，得投影方程：N—Mgcos45°=Ma a=l®2=21=2•6gTOC\o"1-5"\h\zn n n c 2 5l 2 5N—Mgsin45°=Ma a=lp\o"CurrentDocument"f f f cN= mg+4mg•亠=i3\：2mg\o"CurrentDocument"n5 2 5由定轴转动定理:Mg十l=IPnP=

7.5.4质量为m长为l的均质杆，其B端放在桌上,使杆成水平.突然释放A端，在此瞬时，求：杆质心的加速度,杆B端所受的力.解：(1)T=I卩9mg--=-ml2-P23TOC\o"1-5"\h\z-g l-\o"CurrentDocument"B= a=p- =g21 24(2)由质心运动定理：-1mg-N=ma=mg9N=—mg447.5.5下面是均质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.沿圆柱体上缘作用以水平拉力F,柱体作加速滚动.水平拉力F通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动.在主动力偶矩i的驱动下加速滚动•设柱体牛径为R解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所示。对每种情况，都可以根据质心定理、绕质心轴的转动定理和无滑滚动条件，建立三个方程求解。⑴F-f=ma,(F+f)R=+mR2p,a=PRc2c可求得f=-F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。(2)F-f=ma,fR=+mR2P,a=PRc2c可求得f=F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。⑶a=0,f=0c⑷一f=ma,T+fR=imR2P,a=PR，求得f=-*c 2 c -R负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。7.5.6板的质量为M,受水平力F的作用，沿水平面运动•板与平面间的摩擦系数为从在板上放一半径为R质量为M2的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动.求板的加速度.解:f=P(M+M2)g fj F对圆柱：

转动定理：fR=IP=iMR2P222质心运动定理：f=Ma22转动定理：fR=IP=iMR2P222质心运动定理：f=Ma22C对板：质心运动定理：F-f-f=Ma由于圆柱在板上只滚不滑a=Rp+aC联立解得：F一叽M+M)ga= 2——M+十M327.5.7在水平桌面上放置一质量为m的线轴，内径为b,外径为R,其绕中心轴转动惯量为|mR2.线轴和地面之间的静摩擦系数为山线轴受一水平拉力F,如图所示.(1)使线轴在桌面上保持无滑滚动之F最大值是多少?(2)若F和水平方向成e角，试证，cos0>b/R时，线轴向前滚动；cosevb/R时，线轴向后滚动。解：(1)当线轴在桌面上只滚不滑时Fb-fR=IP二十mR2P3f-F=maf5卩mg联立解得：a=Rp4卩mgRR+3b2)若线轴向前滚动，则有：T>T且FCOS0>ffF即：fR>FbFCOS0>fFR9cos0>-cos0>b/R若线轴向后滚动，则有：T<T且Fcos0<ffF即：fR<FbFcos0<fFR9cos0<Fcos0<b/R7.5.8氧分子总质量为5.30x10-26kg,对于通过其质心且与二原子连线垂直的轴线的转动惯量为10x10-46kg・m2.设在气体中某氧分子运动的速率为500m/s,且其转动动能为其平动动能的2/3，求这一氧分子的角速率．7.5.9,—质量为m,半径为r的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为R.最初，小球质心与圆环中心同高度•求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力.解：设小球运动到最低点时，其质心速度为v,有mg(R—r)=imv2+士(乞mr2)02225无滑滚动条件：—代入上式，可求得v評云在最低点应用质心运动定理： N-mg=mv2/(R—r)N=m[g+v2/(R+r)]=m(g+千g)=2