第6章刚体的基本运动

第6章刚体的基本运动在上一章的基础上本章的研究对象是刚体，学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动它构成刚体的两个基本运动，也是研究刚体复杂运动的基础。刚体平行移动工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。如图6-1所示车轮的平行推杆AB在运动过程中始终与它初始位置相平行,因此推杆AB作平移。图6-1确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段AB,A、B两点的矢径为r和r,A、B两点间的有向线段r之间的关系为ABABr=r+r (6-1)ABAB

由平动定义知r为恒矢量，4、B两点的轨迹只相差r的恒矢量，即A、B两点的轨迹ABAB形状相同。式(6-1)对时间求导，得v=v (6-2)ABa=a (6-3)AB结论：平移刚体上各点的轨迹形状相同；在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。刚体的定轴转动工程实际中绕固定转动的物体很多，如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。这些刚体的运动特点是：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段，刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动，简称转动，转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。6.2.1转动刚体的运动描述如图6-3所示，选定参考坐标系oxyz，设z轴与刚体的转轴重合，过z轴作一个不动的平面P(称为静平面)，再作一个与刚体一起转动的平面P(称为动平面)，令静平面P00位于oxz面上，初始瞬时这两个平面重合，当刚体转动到t瞬时，两个平面间的夹角为申，申称为刚体的转角，用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法则规定转角申的符号，其单位为弧度(rad)。6-4)6-4)9=f(t)f(t)是时间t的单值连续函数。

角速度是描述刚体转动快慢的物理量，用e表示，即转角申对时间t的导数,6-5)3=d^(或=e6-5)单位为弧度/秒(rad/s),它是代数量。当>0,3>0；ApVO,mVO。6-6)角加速度是角速度m对时间t的导数，用a6-6)-d=dt(或=3=P)单位为弧度/秒2(rad/s2),它是代数量。当a与3同号时，刚体作加速转动；当a与3异号时，刚体作减速转动。工程中常用转速表示转动刚体的转动快慢，即每分钟转过的圈数，用n表示，单位为转/分(r/min)，角速度与转速的关系是6-7)2nnnn/ 6-7)3= = (rad/s)6030注意：转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系有着相似之处，望初学者加以比较。转动刚体上各点的速度和加速度当刚体作定轴转动时，刚体上各点均作圆周运动，故在刚体上任选一点M,设它到转轴的距离为R，如图6-4所示，当刚体转过p角时，点M的弧坐标为s=Rp (6-8)图6-5图6-5式(6-8)对时间t求导得点M的速度为其速度分布如图6-5所示。式(6-9)对时间其速度分布如图6-5所示。式(6-9)对时间t求导得点M的切向加速度为a=RaT点M的法向加速度为v2(R3)2=R32RR(6-9)(6-10)6-11)(6-12(6-12)6-13)点M的全向加速度为TOC\o"1-5"\h\zl' j Ia=，:a2+a2=(Ra)2+(R32)2=Ra2+34Tn方向|aI laltan0=」=丄a 32n其加速度分布如图6-6所示。结论：在同一瞬时，转动刚体上各点的速度v和加速度a的大小均与到转轴的垂直距离R成正比；在同一瞬时，各点速度v的方向垂直与到转轴的距离R，各图6-6 点加速度a的方向与到转轴的垂直距离R的夹角9都相等。6.3点的速度和加速度的矢量表示首先建立角速度的矢量概念，按照右手螺旋法则定义角速度的矢量表示为

3=（ok （6-14）其中，k为转轴z的单位矢量，如图6-7a所示。刚体上任意一点M的矢径r、角速度3和速度v的矢量表示为v=wxr （6-15）同理，对于定轴转动刚体，定义角加速度的矢量概念，a=3=a （6-16）式（6-15）对时间t求导得点M加速度的矢量表示为a=axr+3xv （6-17）如图6-7b所示，式（6-17）右边第一项为切向加速度，第二项为法向加速度，即a=axra=3xv （6-18）t n结论：（1） 作定轴转动刚体上任意一点的速度等于角速度矢与矢径的矢量积；（2） 作定轴转动刚体上任意一点的切向加速度等于角加速度矢与矢径的矢量积，法向加速度等于角速度与速度的矢量积。(b)(b)图6-7图6-图6-8例题6-1如图6-8所示，曲柄OA绕O轴转动，其转动方程为申二4t2（rad）,BC杆绕C轴转动，且杆OA与杆BC平行等长，OA=BC=0.5m,试求当t=1s时，直角杆ABD上D点的速度和加速度。解：由于OA与BC平行等长，则直角杆ABD作平移，因此由平移的定义知：计算D点的速度和加速度，只需计算A点的速度和加速度即可。曲柄OA的角速度由式（6-5）得3= =8t（rad/s）dt曲柄OA的角加速度由式（6-6）得a= =8（rad/s2）dt当t=Is时：(1)直角杆ABD上D点的速度由式(6-9)得v=R3=OA3=0.5x8=4(m/s)方向垂直OA指向角速度方向。6-10)（2）直角杆ABD上D6-10)at=ra=°Aa=0.5x8=4(m/s2)法向加速度由式6-11法向加速度由式6-11)a=R32=OA32=0.5x82=32(m/s2)n全向加速度由式6-12)全向加速度由式6-12)得：a=\：a2+a2=42+322=32.25(m/s2)Tn全向加速度与法线间的夹角由式(6-13)得aa8

tan9=」= =—=0.125a 3282n其中9=7.13o。例题6-2鼓轮O轴转动，其半径为R=0.2m，转动方程为申=-12+4t（rad），如图6-9所示。绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物A,试求当t=1s时，轮缘上的点M和重物A的速度和加速度。解：鼓轮O轴转动的角速度由式(6-5)得M二dy=_2t+4(rad/s)dt鼓轮O轴转动的角加速度由式(6-6)得a= =_2(rad/s2)dt当t=1s时：(1)点M的速度和加速度由式(6-9)得v=R3=0.2x2=0.4(m/s)M方向垂直R指向角速度方向。切向加速度由式(6-10)得a =Ra=0.2x(_2)=_0.4(m/s2)TM法向加速度由式(6-11)得a=R32=0.2x22=0.8(m/s2)nM全向加速度由式(6-12)得： TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a=\：a2+a2=v0.42+0.82=0.8944(m/s2)M TM nM全向加速度与法线间的夹角由式(6-13)得a a _2|\o"CurrentDocument"tan0=」= = =0.5a 32 22n其中0=26.57o。(2)重物A的速度和加速度重物A的速度为v=v=0.4(m/s)AM方向铅锤向下。重物A的加速度为a=a=一0.4（m/s2）A TM与速度方向相反，作减速运动。例题6-3杆OB绕O轴转动，并套在套筒A中，套筒A在竖直滑道中运动，如图6-10所示。已知套筒A以匀速v=1m/s向上运动，滑道与O轴的水平距离为l=0.4m，试求当杆OB与水平线的夹角申=30o时，导的杆OB的角速度和角加速度。解：由几何关系得tan申vttan申vtT1)由式（1）解得杆OB绕O轴转动的转动方程为2).vt

申=tan-i2)对式（2）求导的杆得OB的角速度和角加速度为v33=(p=Z1+(罟)22（v）31vt[1vt[1+(z)2]2vt[1+(()2]2当p=30o时，由式（1）得时间0.4：30.4：33a=6)=-Itan30ot=—v代入式（3）和式（4），则杆OB的角速度和角加速度为v1例题6-4变速箱由四个齿轮构成，如图6-11所示。齿轮II和III安装在用一轴上，与轴一起运动，各齿轮的齿数分别为z=36、z=112、z=32和z=128，如主动轴I的转1 2 3 4数n=1450（r/min）,试求从动轮帀的转数n。14解：在机械中常用齿轮作为传动部件，例如本题中变速箱，是由多组齿轮构成的，起到增速和减速的作用。在齿轮相互啮合处其速度应相等。如本例中的主动轮I和从动轮II,设其角速度分别为6、6，齿轮的半径分别为r和r，即12126r=6r （1）1122定义齿轮的传动比i等于主动轮的角速度与从动轮角速度的比。12由式（1）有

12由于齿轮啮合时齿距必须相等，21而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿数的比。若设齿轮齿数分别为z、z12由于齿轮啮合时齿距必须相等，21而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿数的比。若设齿轮齿数分别为z、z，则有12从而由式（2）和由式（3）2nr1z1得13）（4）12Grz211即齿轮传递时，两个齿轮角速度的比等于两个齿轮半径的反比，或等于两个齿轮齿数的反比。在机械中还有皮带轮传动，如图如图6-12所示。如不考虑皮带的厚度，并假设皮带与轮无相对滑动，设轮I和轮II的角速度分别为g、g，半径分别为r和r，即12125）（6）gr=gr5）（6）1122皮带轮的传动比i为12GrI=—1 -12Gr21即皮带轮的传递时，两个皮带轮角速度的比等于两个皮带轮半径的反比。由上面公式解本题。设四个轮的转数分别为n、n、n、n，且有1234n=n22nzl= 1= 212nz21nzl=—34nz43将两式相乘得nzzl=—1=—2―414nzz4 13解得从动轮W的转数n为4zz 36x32 …//•、n=n=1450x =117(r/min)4 1zz 112x128246.4本章小结1．刚体平行移动平行移动：在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行。(1)平移刚体上各点的轨迹形状相同；(2)在同一瞬时，平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。2．刚体的定轴转动刚体的绕定轴转动：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段。刚体定轴转动的运动方程： 9=f(t)角速度： M=d9(或=9), 单位为弧度/秒(rad/s)dt角加速度：—dt=dt2(或=3=9)，单位为弧度/秒2(rad/S2)工程中转速n:单位为转/分(r/min)，转速与角速度的关系:rad/s)2rad/s)3= = —60 303.转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系的对应关系:运动特征点作曲线运动刚体作定轴转动匀速运动v=恒量S=s+vto3_恒量申_申+3tO匀变速运动dvd2sa tdtdt2v=v+ato T+1+s=s+vt+—at2O O 2Tv2_v2+2a(s-s)O T Od3d2审a_^_dtdt23_3+ato+1+(P_<p+3t^—at2oo232_32+2a(申一甲)o o一般运动s