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文档简介
1第七讲若干数学问题中的
数学文化
哥尼斯堡七桥问题
2016秋季数学教育硕士课程
2016年11月171第七讲若干数学问题中的
数学文化
哥尼斯堡七2一、哥尼斯堡七桥问题现今俄罗斯的加里宁格勒是一座历史名城,18世纪时称为哥尼斯堡。当时那里是东普鲁士的首府,曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家、古典唯心主义的创始人康德,一直生活在那里。德国著名的数学家希尔伯特,也出生于此地。2一、哥尼斯堡七桥问题现今俄罗斯的加里宁格勒3哥尼斯堡风景秀美,碧波荡漾的普累格尔河穿过该城;河中心有一座美丽的小岛,岛上商业繁荣,普累格尔河及其两条支流把包含岛在内的全城分为四个区域,有七座桥横跨普累格尔河及其支流,连接了这四个区域。这一别致的桥群,古往今来,吸引着众多的游人。3哥尼斯堡风景秀美,碧波荡漾的普累4
45当地的居民曾经热衷于下面一个有趣的问题:能不能找到一条路线了,使得散步时不重复地走遍这七座桥。
寻找满意路线的问题引起了许多人的兴趣,但结果却没有一个人能够做到。不是少走了一座桥,就是重复走了一座桥。5当地的居民曾经热衷于下面一个有趣6多次尝试失败后,有人写信求教于当时的数学家欧拉。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后,认真思考走法,但始终没能成功,于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?这位年轻的瑞士数学家独具慧眼,看出了这个似乎是趣味几何问题的本质。6多次尝试失败后,有人写信求教于当71736年,29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,在解答问题的同时,开创了数学的一个新的分支——图论。欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为“欧拉定理”。71736年,29岁的欧拉向圣彼得堡科学8在论文中,欧拉将七桥问题抽象出来,把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够一笔不重复的画出过此七条线的问题了。8在论文中,欧拉将七桥问题抽象出来,9
9101011理论上需要解决的问题是:找到“一个图形是一笔画”的充分必要条件,并对是一笔画的图形给出一笔画的方法。
11理论上需要解决的问题是:找到“一个图形是一12
欧拉把图形上的点分成两类:如果以某点为端点的线有偶数条,就称此点为偶结点,如果以某点为端点的线有奇数条,就称此点为奇结点。1213要想不重复地一笔画出某图形,除去起始点和终止点两个点外,其余每个点,如果画进去一条线,就一定要画出来一条线,从而都必须是偶结点。于是“一笔画”的必要条件是“图形中的奇结点的个数为0或2”(当起始点与终止点重合时,奇结点个数为0)。13要想不重复地一笔画出某图形,除去14反之也对:如果图形中的奇结点个数为0或2时,就一定能完成一笔画。当图形中有两个奇结点时,以其中一个为起始点,另一个为终止点,就能完成一笔画。当图形中没有奇结点时,从任何一个点起始都可以完成一笔画(不会出现图形中只有一个奇结点的情况,因为每条线都有两个端点)。14反之也对:如果图形中的奇结点个数为15
这样,欧拉就得出了图形是一笔画的充分必要条件:图形中的奇结点个数为0或2。再看哥尼斯堡七桥问题,图形中有四个奇结点,因此该图形不是一笔画,难怪所有的尝试都失败了。15这样,欧拉就得出了图形是一笔画的16二、一笔画
■⒈凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点为终点。■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)16二、一笔画171718二、一笔画
姜伯驹先生的《一笔画和邮递路线问题》:最短邮递路线问题18二、一笔画19三、拓扑学
在上面的问题中,我们只研究图形各部分位置的相对关系,而不考虑它们的大小和角度。莱布尼茨和欧拉为这种“位置几何学”奠定了最初的基础。庞加莱于19世纪末将其发展为一个系统的数学分支——拓扑学。有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”。19三、拓扑学20三、拓扑学
平面上的欧拉公式:V+F-E=1。
空间中的欧拉公式:V+F-E=2。
利用多面体的欧拉公式可以证明:正多面体有且只有五种:正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
20三、拓扑学21本讲结束谢谢!2122第七讲若干数学问题中的
数学文化
哥尼斯堡七桥问题
2016秋季数学教育硕士课程
2016年11月171第七讲若干数学问题中的
数学文化
哥尼斯堡七23一、哥尼斯堡七桥问题现今俄罗斯的加里宁格勒是一座历史名城,18世纪时称为哥尼斯堡。当时那里是东普鲁士的首府,曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家、古典唯心主义的创始人康德,一直生活在那里。德国著名的数学家希尔伯特,也出生于此地。2一、哥尼斯堡七桥问题现今俄罗斯的加里宁格勒24哥尼斯堡风景秀美,碧波荡漾的普累格尔河穿过该城;河中心有一座美丽的小岛,岛上商业繁荣,普累格尔河及其两条支流把包含岛在内的全城分为四个区域,有七座桥横跨普累格尔河及其支流,连接了这四个区域。这一别致的桥群,古往今来,吸引着众多的游人。3哥尼斯堡风景秀美,碧波荡漾的普累25
426当地的居民曾经热衷于下面一个有趣的问题:能不能找到一条路线了,使得散步时不重复地走遍这七座桥。
寻找满意路线的问题引起了许多人的兴趣,但结果却没有一个人能够做到。不是少走了一座桥,就是重复走了一座桥。5当地的居民曾经热衷于下面一个有趣27多次尝试失败后,有人写信求教于当时的数学家欧拉。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后,认真思考走法,但始终没能成功,于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?这位年轻的瑞士数学家独具慧眼,看出了这个似乎是趣味几何问题的本质。6多次尝试失败后,有人写信求教于当281736年,29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,在解答问题的同时,开创了数学的一个新的分支——图论。欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为“欧拉定理”。71736年,29岁的欧拉向圣彼得堡科学29在论文中,欧拉将七桥问题抽象出来,把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够一笔不重复的画出过此七条线的问题了。8在论文中,欧拉将七桥问题抽象出来,30
9311032理论上需要解决的问题是:找到“一个图形是一笔画”的充分必要条件,并对是一笔画的图形给出一笔画的方法。
11理论上需要解决的问题是:找到“一个图形是一33
欧拉把图形上的点分成两类:如果以某点为端点的线有偶数条,就称此点为偶结点,如果以某点为端点的线有奇数条,就称此点为奇结点。1234要想不重复地一笔画出某图形,除去起始点和终止点两个点外,其余每个点,如果画进去一条线,就一定要画出来一条线,从而都必须是偶结点。于是“一笔画”的必要条件是“图形中的奇结点的个数为0或2”(当起始点与终止点重合时,奇结点个数为0)。13要想不重复地一笔画出某图形,除去35反之也对:如果图形中的奇结点个数为0或2时,就一定能完成一笔画。当图形中有两个奇结点时,以其中一个为起始点,另一个为终止点,就能完成一笔画。当图形中没有奇结点时,从任何一个点起始都可以完成一笔画(不会出现图形中只有一个奇结点的情况,因为每条线都有两个端点)。14反之也对:如果图形中的奇结点个数为36
这样,欧拉就得出了图形是一笔画的充分必要条件:图形中的奇结点个数为0或2。再看哥尼斯堡七桥问题,图形中有四个奇结点,因此该图形不是一笔画,难怪所有的尝试都失败了。15这样,欧拉就得出了图形是一笔画的37二、一笔画
■⒈凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点为终点。■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)16二、一笔画381739二、一笔画
姜伯驹先生的《一笔画和邮递路线问题》:最短邮递路线问题18二、一笔画40三、拓扑学
在上面的问题中,我们只研究图形各部分位置的相对关系,而不考虑它们的大小和角度。莱布尼茨和欧拉为这种“位置几何学”奠定了最初的基础。
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