第三章气体分子热运动速率课件

气体分子热运动速率和能量的统计分布律第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律第三章1§1气体分子的速率分布律§2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律§3玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布§4能量按自由度均分定理概率论的基本知识§1气体分子的速率分布律§2用分子射线实验验证麦克斯2概率论的基本知识一、概率的基本性质1、概率的定义若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的情况下（N→∞），计算所出现某一事件的次数NL，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：

概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。概率论的基本知识一、概率的基本性质1、概率的定义若在相同条件32、概率的基本性质(1)，即事件i的概率只可能在0和1之间。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.归一化条件在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。由此可总结出一条基本原理：等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。3、等概率性2、概率的基本性质(1)4（1）概率相加法则——n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。（2）概率相乘法则——同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。3、概率的基本法则（1）概率相加法则3、概率的基本法则5二、随机变量——如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该变量称为~。1、离散型随机变量表示方式取值有限、分立为随机变量x的概率，满足条件：①

②

归一化条件二、随机变量1、离散型随机变量表示方式取值有限、分立为随机6——变量x可取某一区间内的一切数值。2、连续型随机变量取值无限、连续随机变量x的概率密度:概率密度f(x)等于随机变量取值在单位间隔内的概率，又称为概率分布函数（简称分布函数）。分布函数——变量x可取某一区间内的一切数值。2、连续型随机变量取7概率分布函数f（x），满足条件：①

②

归一化条件离散量与连续量的分布函数概率分布函数f（x），满足条件：①②归一化条件离散量8连续量的分布函数曲线返回1返回2连续量的分布函数曲线返回1返回29三、统计平均值对于离散型随机变量统计平均值为方均值为三、统计平均值对于离散型随机变量统计平均值为方均值为10对于连续型随机变量统计平均值为方均值为对于连续型随机变量统计平均值为方均值为11四、方差（涨落）——表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。（或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）定义相对均方根偏差：相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。四、方差（涨落）——表示随机变量x的取值在其统计平均值附近12“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。涨落现象“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离13分布曲线飞镖F(x)分布曲线飞镖F(x)14从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)为清楚起见,从正面来观察。隔板铁钉伽耳顿板从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)为清楚起见,从15

大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：

经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。

单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。16少数分子无规律性大量分子的统计分布少数分子无规律性大量分子的统计分布17统计规律特点:

（1）只对大量偶然的事件才有意义。（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变)。（3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。（4）统计规律是以动力学规律为基础的。（5）永远伴随着涨落现象。统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。统计规律特点:统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它18§2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置

分布曲线§2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置19令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然后取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度随s变化的关系，从而确定铋分子按速率分布的规律。设速率为v的分子沉积在P’处，s表示弧PP’长度，ω表示R的角速度，D表示R的直径。铋分子由S3到达P’处所需时间为：t时间内R转过的角度为：弧PP’长度：令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）20德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（Langmuir）的实验装置。（装置置于真空之中）淀积屏P速率筛S’W’W狭缝屏分子源德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线21实验装置金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速率v满足如下关系：

实验装置金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵分子束中能穿过第一个凹槽的22密勒－库什实验装置分布曲线密勒－库什实验装置分布曲线23只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围Δv内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速率范围的分子数比率。分子射线的速率分布曲线只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围Δ24§1.气体分子的速率分布律一、速率分布函数1、速率分布函数的定义平衡态下，气体分子速率v可以看做在0~∞之间连续分布的。设系统的总分子数为：

N

速率在v~v+dv之间的分子数：dN速率在v~v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N（对于任意一个分子来说，速率处于v~v+dv之间的概率）平衡态下的速率分布函数：§1.气体分子的速率分布律一、速率分布函数1、速率分布函数的252、速率分布函数的物理意义对任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率。在速率v附近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数N的比率。f(v)也称为分子速率分布的概率密度2、速率分布函数的物理意义对任意一个分子而言，它的速率刚好处263、速率分布函数的应用v～v+dv区间的分子数：

v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率：（一个分子的速率在v～v+dv区间的概率）v1～v2区间的分子数为：

v1～v2区间的分子数在总数中占的比率:(即一个分子的速率在v1～v2区间的概率)

——速率分布函数的归一化条件

3、速率分布函数的应用v～v+dv区间的分子数：v27二、麦克斯韦速率分布律在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v→v＋dv内的分子的比率为：速率分布函数：反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。1、麦克斯韦速率分布律

二、麦克斯韦速率分布律在平衡状态下，当气体分子间的相互作用282、速率分布曲线

曲线下矩形面积的物理意义：

图中任一区间v→v＋dv内，曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：②图中任一有限范围v1→v2内，曲线下的面积则表示在这个范围内分子数占总分子数的比率：③由归一化条件，在0~∞区间，曲线下的面积为1。ov1v22、速率分布曲线曲线下矩形面积的物理意义：图中任一区间v29三、三种统计速率

1、最概然速率vp在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于vp附近单位速率区间内的概率最大。物理意义三、三种统计速率1、最概然速率vp在vp附近单位速率区间30根据分布函数求得同种

分子不同温度的速率分布相同温度下不同种类气体的速率分布根据分布函数求得同种分子不同温度的速率分布相同温度下不同312、分子的平均速率——大量分子的速率的算术平均值。平均值计算式为①计算整个速率空间的平均速率②任意区间v1～v2内的平均速率2、分子的平均速率——大量分子的速率的算术平均值。平均值计32根据分布函数求得3、分子的方均根速率①求整个速率空间的方均速率平均值计算式为根据分布函数求得3、分子的方均根速率①求整个速率空间的方均33②任意区间v1～v2内的方均速率根据分布函数求得②任意区间v1～v2内的方均速率根据分布函数求得341)平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论1)平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论352)速率分布的特征速率当气体的温度T和摩尔质量M相同时：

2)速率分布的特征速率当气体的温度T和摩尔质量M相同时：36(n为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义1、课本：P82

1思考题(n为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义1、课本：P837答：——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数占总分子数的比率。——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。——单位体积内分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。答：——分布在速率v附近v~v+dv速率区38——分布在有限速率区间v1~v2

内的分子数占总分子数的比率。——分布在有限速率区间v1~v2

内的分子数。——分布在有限速率区间v1~v2

内的间所有分子的速率之和。——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分39——分布在0～∞速率区间内的分子平均速率。——分布在0～∞速率区间内的分子速率v2

的平均值。——分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）对比——分布在0～∞速率区间内的分子平均速率。——40（A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率（B）vp

是速率最大的速度值（C）vp是麦克斯韦速率分布函数的最大值（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大3、麦克斯韦速率分布中最概然速率vp的概念，下面哪种表述正确？（A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率3、麦克斯韦速41恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件（如只有当速率大于某—数值v1的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能复合为水），同时放出热量。问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗？（一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化，您认为如何？）若氢气瓶为—绝热容器，情况又如何？课本：P82

5〖答〗：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备42课本：P82

3、4、6、7、8思考题例题课本：P83

1、2、3、4课本：P823、4、6、7、8思考题例题课本43

例1:已知分子数N，分子质量m0，分布函数f(v),求：1）速率在间的分子数；2）速率在间所有分子动能之和。

速率在间的分子数:1）2）解：例1:已知分子数N，分子质量m0，分布函数f(v),44例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率。2000解：例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克45例题3：求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于500~501m·s-1之间的分子数密度。（参考课本P845）解：已知例题3：求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于500~5046例4：估算O2在T=300K时速率在790—800m/s区间内的分子数占总分子数的百分比。（参考课本P846）解:例4：估算O2在T=300K时速率在79047解：已知例题5：求气体分子速率在

区间内的分子数占全部分子数的百分率。（参考课本P847（1））解：已知例题5：求气体分子速率在48例题6:有N个粒子，其速率分布函数为:（1）作速率分布曲线（2）求常数C（3）求粒子的平均速率（4）求粒子的方均根速率（参考课本P8412）解：（1）速率分布曲线如图C(vo>v>0)0(v>vo)CvovO（2）求常数C例题6:有N个粒子，其速率分布函数为:（1）作速率分布曲线解49（3）（4）（3）（4）50作业题1、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2vp和3vp的速率附近与最概然速率vp的附近相比，在Δv相同的速率小区间内的分子数比。2、一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；（2）速率在0～v0/2范围内的粒子数；（3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。作业题1、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2v51四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间——以vx，vy，vz为轴的直角坐标系（或以v、θ、φ为坐标的球坐标系）所确定的空间。四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间——以vx，vy，v52速度空间中的一个微分体积元dω=dvxdvvdvz表示：速度矢量的取值范围在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz

内的所有那些速度矢量的整体，而vx，vv，vz是该立方体微分元dvxdvvdvz中最靠近原点的那一点的坐标。速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。速度空间中的一个微分体积元dω=dvxdvvdvz表示：速度532、麦克斯韦速度分布律①麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间内的概率：

分子速度在附近单位区间内的概率密度：气体分子的速度矢量：2、麦克斯韦速度分布律①麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间54设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，速度分量vx在区间vx~vx+dvx

内，速度分量vy在区间

vy~vy+dvy

内，速度分量vz在区间

vz~vz+dvz

内的分子的比率为：——麦克斯韦速度分布律——麦克斯韦速度分布函数设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时55②麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：

vx，vy，vz相互独立

②麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：vx，vy56

速度分量vx的分布函数：速度分量vy和vz的分布函数：速度分量的分布函数也可通过积分求解：课本63速度分量vx的分布函数：速度分量vy和vz的分布函数：57速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：

速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：58③注意点适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。归一化条件：

最概然速度的概念：

速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分布律可得出，时，概率取极大。则最概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。

③注意点适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑59思考题分析以下各式的物理意义

——速度空间中任何位置处的概率密度

——速度空间中的分子数密度

——三个速度分量在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz范围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元dvxdvydvz内的分子数占总分子数的比率。

思考题分析以下各式的物理意义——速度空间中任何位置处的60——意义与(3)相同——三个速度分量在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,而-∞<vz<+∞范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为dvxdvy，其棱平行于vz轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。

——三个速度分量在vx~vx+dvx

，而-∞<vy<+∞，-∞<vz<+∞范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于vx轴厚度为dvx的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。

——意义与(3)相同——三个速度分量在vx~vx+dv613、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。在平衡状态下，分布在任一速率区间v~v+dv内的速度矢量端点都落在半径为v，厚度为dv的球壳层内。3、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分布律的62球壳层的体积：

同时代入麦克斯韦速度分布律：

得到麦克斯韦速率分布律：

球壳层的体积：同时代入麦克斯韦速度分布律：得到麦克斯韦634、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数vxdtxyzOdA4、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式用麦64取直角坐标系xyz，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA。设单位体积内的气体分子数为n，则单位体积内速度分量vx在vx～vx＋dvx之间的分子数为nf(vx)dvx.，在所有vx介于vx～vx＋dvx之间的分子中，在一段时间dt内能够与dA相碰的分子只是位于以dA为底，以vxdt为高的柱体内的那一部分，其数目为nf(vx)dvx·vxdtdA=nf(vx)vxdvx·dtdA。取直角坐标系xyz，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA。设65因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在vx～vx＋dvx之间的分子数即为：将上式从0到+∞对vx积分，即求得每秒碰到单位面积上的分子总数为：其中：因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在vx～vx＋dvx66代入前式，即得：由分子的平均速率为：气体碰壁数为：代入前式，即得：由分子的平均速率为：气体碰壁数为：67②推导理想气体的压强公式在dt时间内速度在vx～vx＋dvx，-∞<vy<+∞，-∞<vz<+∞范围内，碰撞在dA面元上的分子数：速度分量为vx的气体分子对面元dA的冲量：

考虑vx>0的分子才能碰上dA面，0<vx<+∞,则气体分子对dA面的总冲量为：②推导理想气体的压强公式在dt时间内速度在vx～vx＋dv68课本P847（2）（3），10

作业题压强为：课本P847（2）（3），10作业题压强为：69§3.玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何§3.玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分70如气体分子处于外力场中，分子能量势能麦克斯韦速度分布律：因子动能理想气体分子仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布zyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(++-=p如气体分子处于外力场中，分子能量势能麦克斯韦速度分布律：因子71玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子经典粒子）按能量分布都与成正比。玻耳兹曼因子（概率因子）分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从统计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能量状态）的概率大得多。玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度为T的平衡态下，72外力场中，分子速度处于

vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz区间内，坐标处于

x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz的空间体积元dV=dxdydz内的分子数为：——玻耳兹曼分布律n0表示在势能εp=0处单位体积内所含各种速度的分子数考虑归一化条件：

+∞外力场中，分子速度处于vx~vx+dvx,vy~73分布在坐标区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内具有各种速度的分子总数：

分布在坐标区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内单位体积内的分子数：

——分子按势能的分布律玻耳兹曼分布律对任何物质的微粒（气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等）在任何保守力场（重力场、电场）中运动的情形都成立。分布在坐标区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内具74二、重力场中粒子按高度的分布令z=0处单位体积内的分子数为n0重力场中的气体分子按高度分布的规律则分布在高度为z处体积元dxdydz内的分子数为：而分布在高度为z处单位体积内的分子数为：二、重力场中粒子按高度的分布令z=0处单位体积内的分子75由理想气体状态方程式中p0＝n0kT为z=0处的大气压强，p为z处的大气压强，m0是大气分子质量，M为气体的摩尔质量。在重力场中气体分子的数密度n随高度的增大按指数减小。由理想气体状态方程式中p0＝n0kT为z=0处的大气压强，p76大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）两边取对数可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空离地面的高度。

——等温气压公式大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低7721、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为27ºC；起飞后，压力计指示为0.80atm，温度仍为27ºC，试计算飞机距地面的高度。解：根据等温气压公式：

有

代入数据

[课堂例题]21、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为27822、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0ºC。

由题意知：

解：22、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度7923、设地球大气是等温的，温度为t=5.0ºC,海平面上的气压为p0=750mmHg，令测得某山顶的气压p=590mmHg，求山高。已知空气的平均分子量为28.97。解：23、设地球大气是等温的，温度为t=5.0ºC,海平面上80麦克斯韦速度分布律

考虑分子按速度的分布（按动能分布）

在保守场中

考虑分子按空间分布（按势能分布）

分子按能量分布的统计规律（玻耳兹曼分布律）分子按势能的分布律

特殊化

各种速度

特殊化

重力场

重力场中气体分子按高度分布的规律

等温气压公式

近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度

麦克斯韦考虑分子按速度的分布在保守场中考虑分子按空间分81§4.能量按自由度均分定理一、自由度

——描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的自由度。例1：

自由运动的质点(三维空间)3个平动自由度记作

t=3若受到限制自由度降低

平面上2个平动自由度t=2

直线上1个平动自由度

t=1

一般气体分子的运动：平动、转动和分子内原子间的振动一个质点的位置用x、y、z三个独立坐标决定。独立坐标数指描写物体位置所需的最少坐标数。§4.能量按自由度均分定理一、自由度——描述一个物82例2：自由运动的刚体(如大家熟悉的手榴弹)自由度首先应明确刚体的振动自由度s=0按基本运动分解：平动+转动

刚体的运动：质心的平动+绕通过质心轴的转动例2：自由运动的刚体(如大家熟悉的手榴弹)自由度刚体的运83●每一点绕过C点的轴转动先定转轴：2个自由度再定每个质元在垂直轴的平面内绕轴旋的角度：

1个自由度3个转动自由度r=3结果6个自由度=t+r=3+3=6定质心位置需3个平动自由度t=3整体随某点(通常选质心)平动●每一点绕过C点的轴转动先定转轴：2个自由度再定每个质84一个刚体的位置用1）x、y、z三个独立坐标决定质心位置；2）用两个独立坐标α、β决定转轴的方位；3）用一个独立坐标φ决定刚体相对于某一起始位置转过的角度。绕定轴转动的刚体只有1个自由度。一个刚体的位置用绕定轴转动的刚体只有1个自由度。85物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体受到的限制（或约束）越多，自由度就越小。考虑到物体的形状和大小，它的自由度等于描写物体上每个质点的坐标个数减去所受到的约束方程的个数。物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体受到的限制（或862、气体分子的自由度将每个原子看作质点所以分子是质点系。单原子气体分子：一个自由运动的质点，则其分子需要x、y、z三个独立的空间坐标才能确定其位置，所以它的自由度为3。双原子气体分子：

由一根质量可忽略的弹簧及两个质点构成的模型。用3个独立坐标确定其质心位置；2个独立坐标确定其双原子连线的方位；1个独立坐标决定两质点的相对位置。因而它的自由度是6：3个平动+2个转动+1个振动2、气体分子的自由度单原子气体分子：一个自由运动的质点，则其87多原子气体分子：

由N个原子构成，最多有3N个自由度，其中3个是平动，3个是转动，其余是3N-6是振动的。当分子的运动受到某种限制时，其自由度数就会减少。总自由度=

t——平动自由度；r——转动自由度；s——振动自由度多原子气体分子：由N个原子构成，最多有3N个自由度，其中88对刚性气体分子来说：刚性单原子气体分子：3个自由度：3个平动刚性分子：对于分子内有振动（原子间距离变化）的情况不予考虑。

对刚性气体分子来说：刚性单原子气体分子：3个自由度：3个平动89刚性的多原子气体分子

：6个自由度：3个平动+3个转动在确定质心位置和任一过质心的轴线的方位后，还需要一个用以确定绕该轴转动的角坐标，因而它有6个自由度。刚性双原子气体分子：5个自由度：3个平动+2个转动可以这样来理解，两个原子需要6个坐标，但是由于有刚性的要求（两个原子之间的距离不变），从而形成一个约束方程，自由度等于5。

刚性的多原子气体分子：刚性双原子气体分子：90

自由度数目气体分子自由度

平动转动

振动单原子分子

30033双原子分子

32165多/N原子分子

333N－63N6分子自由度t平动r转动总(一般)s振动总(刚性)自由度数目气体分子自由度平动转动振动单原子分子91二、能量按自由度均分定理理想气体的平均平动动能可以表示为：

分子有3个平动自由度，分子的平均平动动能可表示为：在平衡状态下，大量气体分子沿各个方向运动的机会均等：

平衡态下的分子运动，每一个平动自由度的平均动能：

二、能量按自由度均分定理理想气体的平均平动动能可以表示为：92在温度为T的平衡态下各自由度地位相等每一转动自由度，每一振动自由度也具有与平动自由度相同的平均动能，其值也为。

在温度为T的平衡状态下，物质（气体、液体或固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于。——能量按自由度均分定理在温度为T的平衡态下各自由度地位相等每一转动自由度，每一振93讨论1)能量分配——没有占优势的自由度2)物质：对象无限制（固、液、气）—普遍性平衡态：对状态的限制平均动能：统计的结果3)该定理是关于分子热运动动能的统计规律。4）该定理是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。5）微观上是由于大量分子无规则碰撞的结果。讨论1)能量分配——没有占优势的自由度94分子的平均总动能为分子的平均平动动能为分子的平均转动动能为分子的平均转动动能为分子的平均总动能为分子的平均平动动能为分子的平均转95

分子的平均总能量为振动自由度(分子中原子之间距离的变化）由振动学可知，谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能是相等的。

令得分子的平均总能量为振动自由度(分子中原子之间距离的变化）由96单原子分子双原子分子多原子分子刚性分子单原子分子双原子分子

多原子分子单原子分子双原子分子多原子分子刚性分子单原子分子双原子分子97三、理想气体的内能气体的内能：通常包括所有分子的平动动能、转动动能、振动动能及振动势能。由于分子间存在着相互作用的保守力，所以还具有分子之间的势能。所有分子的各种形式的动能和势能的总和。不包括系统作宏观整体运动的机械能。理想气体的内能：分子各种形式的动能和分子内原子间的振动势能之和。对于理想气体，分子间作用力忽略，所以分子势能之和为零。三、理想气体的内能气体的内能：通常包括所有分子的平动动能、转98m克理想气体的内能：

1mol理想气体的内能：单原子分子气体：双原子分子气体：m克理想气体的内能：1mol理想气体的内99

m克刚性分子理想气体的内能：

1mol刚性分子理想气体的内能：刚性分子理想气体系统m克刚性分子理想气体的内能：1mol刚性分子理想气100单原子分子气体：双原子分子气体：一般情况下，不加说明把分子看作刚性分子。多原子分子气体：单原子分子气体：双原子分子气体：一般情况下，不加说明把分子看101可见1mol理想气体的内能只决定于分子的自由度和气体的温度，而与气体的体积及压强无关。也就是说理想气体平衡态的内能是温度的单值函数。系统内能是一个态函数。如果状态发生变化，则系统的内能也将发生变化。对于理想气体系统来说，内能的变化：

可见1mol理想气体的内能只决定于分子的自由度和气体的温度，102例1：试指出下列各式所表示的物理意义：思考题——分子在温度T时每个自由度上的平均动能——分子在温度T时平均平动动能——分子在温度T时的平均总能量例1：试指出下列各式所表示的物理意义：思考题——分子在103——温度T时,总质量为的m理想气体的内能

——温度T时,总质量为m的气体的总平动动能

——温度T时,1mol气体的每个自由度上的总动能

——温度T时,总质量为的m理想气体的内能——104例2:如果氢和氦的温度相同，摩尔数也相同，那么这两种气体的（1）分子的平均动能是否相同？

（2）分子的平均平动动能是否相同？

（3）内能是否相同？

不同

不同

相同

课本：P83

18、19、20例2:如果氢和氦的温度相同，摩尔数也相同，那么这两种气体的（105四、理想气体的热容物体的热容C：物体温度升高(或降低)1ºC物体所吸收(或放出)的热量。C——物质的比热容物质的摩尔热容Cm：1mol物质温度升高(或降低)1ºC物体所吸收(或放出)的热量。四、理想气体的热容物体的热容C：物体温度升高(或降低)1º106摩尔定容热容：

单原子分子气体：双原子分子气体：摩尔定容热容：单原子分子气体：双原子分子气体：107五、经典理论的缺陷自由度的冻结振动转动平动T/KCV,m/R03/25/27/22510050010005000氢气CV,m—T曲线常温：振动自由度冻结平动+转动（刚性）低温：转动自由度冻结平动五、经典理论的缺陷自由度的冻结振动转动平动T/KCV,m10826、温度为27ºC时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？课本P86解：26、温度为27ºC时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动10927、在室温300K下，1mol氢和1mol氮的内能各是多少？1g氢和1g氮的内能各是多少？1g氢和1g氮的内能各是：

1mol氢和1mol氮的内能各是：

解：27、在室温300K下，1mol氢和1mol氮的内能各是多少110例1：一容器内贮有理想气体氧气，压强p＝1.00atm，温度t＝27.0℃，体积V＝2.00m3。求：（1）氧分子的平均平动动能；（2）氧分子的平均转动动能；（3）氧气的内能。解：氧分子为双原子分子，自由度i＝5；其中，平动自由度t＝3，转动自由度r＝2。由能量均分定理和理想气体的内能公式，可得（1）（2）（3）例1：一容器内贮有理想气体氧气，压强p＝1.00atm，温度11128、求常温下质量为m1=3.00g的水蒸气与m2=3.00g的氢气的混合气体的摩尔定容热容。解：设CV1、CV2分别为水蒸气和氢气的定容比热，CV1,m、CV2,m分别为水蒸气和氢气的的定容摩尔热容。在常温下可忽略振动自由度，则有：例2：课本P8628、求常温下质量为m1=3.00g的水蒸气与m2=3.112第三章气体分子热运动速率课件113[作业4]某种单原子理想气体分子按照能量的概率分布可表示为：试求:（1）

A=?（2）能量ε高于kT的分子占总分子数百分比；（3）气体分子的平均能量，并判断这种气体分子有几个自由度。其中A为归一化常数。作业题[作业3]1mol温度为T1氢气与2mol温度为T2氦气混合后的温度为多少？

[作业4]某种单原子理想气体分子按照能量的概率分布可表示为114一、麦克斯韦速率/速度分布律研究平衡态下气体分子按速率和速度分布的统计规律二、玻耳兹曼分布律研究平衡态下气体分子按能量分布的统计规律三、能量按自由度均分定理研究平衡态下气体分子热运动能量所遵从的统计规律第三章小结一、麦克斯韦速率/速度分布律第三章小结115气体分子热运动速率和能量的统计分布律第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律第三章116§1气体分子的速率分布律§2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律§3玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布§4能量按自由度均分定理概率论的基本知识§1气体分子的速率分布律§2用分子射线实验验证麦克斯117概率论的基本知识一、概率的基本性质1、概率的定义若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的情况下（N→∞），计算所出现某一事件的次数NL，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：

概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。概率论的基本知识一、概率的基本性质1、概率的定义若在相同条件1182、概率的基本性质(1)，即事件i的概率只可能在0和1之间。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.归一化条件在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。由此可总结出一条基本原理：等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。3、等概率性2、概率的基本性质(1)119（1）概率相加法则——n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。（2）概率相乘法则——同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。3、概率的基本法则（1）概率相加法则3、概率的基本法则120二、随机变量——如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该变量称为~。1、离散型随机变量表示方式取值有限、分立为随机变量x的概率，满足条件：①

②

归一化条件二、随机变量1、离散型随机变量表示方式取值有限、分立为随机121——变量x可取某一区间内的一切数值。2、连续型随机变量取值无限、连续随机变量x的概率密度:概率密度f(x)等于随机变量取值在单位间隔内的概率，又称为概率分布函数（简称分布函数）。分布函数——变量x可取某一区间内的一切数值。2、连续型随机变量取122概率分布函数f（x），满足条件：①

②

归一化条件离散量与连续量的分布函数概率分布函数f（x），满足条件：①②归一化条件离散量123连续量的分布函数曲线返回1返回2连续量的分布函数曲线返回1返回2124三、统计平均值对于离散型随机变量统计平均值为方均值为三、统计平均值对于离散型随机变量统计平均值为方均值为125对于连续型随机变量统计平均值为方均值为对于连续型随机变量统计平均值为方均值为126四、方差（涨落）——表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。（或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）定义相对均方根偏差：相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。四、方差（涨落）——表示随机变量x的取值在其统计平均值附近127“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。涨落现象“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离128分布曲线飞镖F(x)分布曲线飞镖F(x)129从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)为清楚起见,从正面来观察。隔板铁钉伽耳顿板从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)为清楚起见,从130

大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：

经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。

单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。131少数分子无规律性大量分子的统计分布少数分子无规律性大量分子的统计分布132统计规律特点:

（1）只对大量偶然的事件才有意义。（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变)。（3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。（4）统计规律是以动力学规律为基础的。（5）永远伴随着涨落现象。统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。统计规律特点:统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它133§2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置

分布曲线§2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置134令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然后取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度随s变化的关系，从而确定铋分子按速率分布的规律。设速率为v的分子沉积在P’处，s表示弧PP’长度，ω表示R的角速度，D表示R的直径。铋分子由S3到达P’处所需时间为：t时间内R转过的角度为：弧PP’长度：令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）135德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（Langmuir）的实验装置。（装置置于真空之中）淀积屏P速率筛S’W’W狭缝屏分子源德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线136实验装置金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速率v满足如下关系：

实验装置金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵分子束中能穿过第一个凹槽的137密勒－库什实验装置分布曲线密勒－库什实验装置分布曲线138只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围Δv内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速率范围的分子数比率。分子射线的速率分布曲线只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围Δ139§1.气体分子的速率分布律一、速率分布函数1、速率分布函数的定义平衡态下，气体分子速率v可以看做在0~∞之间连续分布的。设系统的总分子数为：

N

速率在v~v+dv之间的分子数：dN速率在v~v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N（对于任意一个分子来说，速率处于v~v+dv之间的概率）平衡态下的速率分布函数：§1.气体分子的速率分布律一、速率分布函数1、速率分布函数的1402、速率分布函数的物理意义对任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率。在速率v附近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数N的比率。f(v)也称为分子速率分布的概率密度2、速率分布函数的物理意义对任意一个分子而言，它的速率刚好处1413、速率分布函数的应用v～v+dv区间的分子数：

v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率：（一个分子的速率在v～v+dv区间的概率）v1～v2区间的分子数为：

v1～v2区间的分子数在总数中占的比率:(即一个分子的速率在v1～v2区间的概率)

——速率分布函数的归一化条件

3、速率分布函数的应用v～v+dv区间的分子数：v142二、麦克斯韦速率分布律在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v→v＋dv内的分子的比率为：速率分布函数：反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。1、麦克斯韦速率分布律

二、麦克斯韦速率分布律在平衡状态下，当气体分子间的相互作用1432、速率分布曲线

曲线下矩形面积的物理意义：

图中任一区间v→v＋dv内，曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：②图中任一有限范围v1→v2内，曲线下的面积则表示在这个范围内分子数占总分子数的比率：③由归一化条件，在0~∞区间，曲线下的面积为1。ov1v22、速率分布曲线曲线下矩形面积的物理意义：图中任一区间v144三、三种统计速率

1、最概然速率vp在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于vp附近单位速率区间内的概率最大。物理意义三、三种统计速率1、最概然速率vp在vp附近单位速率区间145根据分布函数求得同种

分子不同温度的速率分布相同温度下不同种类气体的速率分布根据分布函数求得同种分子不同温度的速率分布相同温度下不同1462、分子的平均速率——大量分子的速率的算术平均值。平均值计算式为①计算整个速率空间的平均速率②任意区间v1～v2内的平均速率2、分子的平均速率——大量分子的速率的算术平均值。平均值计147根据分布函数求得3、分子的方均根速率①求整个速率空间的方均速率平均值计算式为根据分布函数求得3、分子的方均根速率①求整个速率空间的方均148②任意区间v1～v2内的方均速率根据分布函数求得②任意区间v1～v2内的方均速率根据分布函数求得1491)平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论1)平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论1502)速率分布的特征速率当气体的温度T和摩尔质量M相同时：

2)速率分布的特征速率当气体的温度T和摩尔质量M相同时：151(n为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义1、课本：P82

1思考题(n为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义1、课本：P8152答：——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数占总分子数的比率。——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。——单位体积内分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。答：——分布在速率v附近v~v+dv速率区153——分布在有限速率区间v1~v2

内的分子数占总分子数的比率。——分布在有限速率区间v1~v2

内的分子数。——分布在有限速率区间v1~v2

内的间所有分子的速率之和。——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分154——分布在0～∞速率区间内的分子平均速率。——分布在0～∞速率区间内的分子速率v2

的平均值。——分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）对比——分布在0～∞速率区间内的分子平均速率。——155（A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率（B）vp

是速率最大的速度值（C）vp是麦克斯韦速率分布函数的最大值（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大3、麦克斯韦速率分布中最概然速率vp的概念，下面哪种表述正确？（A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率3、麦克斯韦速156恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件（如只有当速率大于某—数值v1的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能复合为水），同时放出热量。问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗？（一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化，您认为如何？）若氢气瓶为—绝热容器，情况又如何？课本：P82

5〖答〗：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备157课本：P82

3、4、6、7、8思考题例题课本：P83

1、2、3、4课本：P823、4、6、7、8思考题例题课本158

例1:已知分子数N，分子质量m0，分布函数f(v),求：1）速率在间的分子数；2）速率在间所有分子动能之和。

速率在间的分子数:1）2）解：例1:已知分子数N，分子质量m0，分布函数f(v),159例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率。2000解：例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克160例题3：求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于500~501m·s-1之间的分子数密度。（参考课本P845）解：已知例题3：求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于500~50161例4：估算O2在T=300K时速率在790—800m/s区间内的分子数占总分子数的百分比。（参考课本P846）解:例4：估算O2在T=300K时速率在790162解：已知例题5：求气体分子速率在

区间内的分子数占全部分子数的百分率。（参考课本P847（1））解：已知例题5：求气体分子速率在163例题6:有N个粒子，其速率分布函数为:（1）作速率分布曲线（2）求常数C（3）求粒子的平均速率（4）求粒子的方均根速率（参考课本P8412）解：（1）速率分布曲线如图C(vo>v>0)0(v>vo)CvovO（2）求常数C例题6:有N个粒子，其速率分布函数为:（1）作速率分布曲线解164（3）（4）（3）（4）165作业题1、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2vp和3vp的速率附近与最概然速率vp的附近相比，在Δv相同的速率小区间内的分子数比。2、一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；（2）速率在0～v0/2范围内的粒子数；（3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。作业题1、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2v166四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间——以vx，vy，vz为轴的直角坐标系（或以v、θ、φ为坐标的球坐标系）所确定的空间。四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间——以vx，vy，v167速度空间中的一个微分体积元dω=dvxdvvdvz表示：速度矢量的取值范围在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz

内的所有那些速度矢量的整体，而vx，vv，vz是该立方体微分元dvxdvvdvz中最靠近原点的那一点的坐标。速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。速度空间中的一个微分体积元dω=dvxdvvdvz表示：速度1682、麦克斯韦速度分布律①麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间内的概率：

分子速度在附近单位区间内的概率密度：气体分子的速度矢量：2、麦克斯韦速度分布律①麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间169设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，速度分量vx在区间vx~vx+dvx

内，速度分量vy在区间

vy~vy+dvy

内，速度分量vz在区间

vz~vz+dvz

内的分子的比率为：——麦克斯韦速度分布律——麦克斯韦速度分布函数设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时170②麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：

vx，vy，vz相互独立

②麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：vx，vy171

速度分量vx的分布函数：速度分量vy和vz的分布函数：速度分量的分布函数也可通过积分求解：课本63速度分量vx的分布函数：速度分量vy和vz的分布函数：172速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：

速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：173③注意点适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。归一化条件：

最概然速度的概念：

速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分布律可得出，时，概率取极大。则最概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。

③注意点适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑174思考题分析以下各式的物理意义

——速度空间中任何位置处的概率密度

——速度空间中的分子数密度

——三个速度分量在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz范围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元dvxdvydvz内的分子数占总分子数的比率。

思考题分析以下各式的物理意义——速度空间中任何位置处的175——意义与(3)相同——三个速度分量在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,而-∞<vz<+∞范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为dvxdvy，其棱平行于vz轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。

——三个速度分量在vx~vx+dvx

，而-∞<vy<+∞，-∞<vz<+∞范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于vx轴厚度为dvx的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。

——意义与(3)相同——三个速度分量在vx~vx+dv1763、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。在平衡状态下，分布在任一速率区间v~v+dv内的速度矢量端点都落在半径为v，厚度为dv的球壳层内。3、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分布律的177球壳层的体积：

同时代入麦克斯韦速度分布律：

得到麦克斯韦速率分布律：

球壳层的体积：同时代入麦克斯韦速度分布律：得到麦克斯韦1784、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数vxdtxyzOdA4、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式用麦179取直角坐标系xyz，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA。设单位体积内的气体分子数为n，则单位体积内速度分量vx在vx～vx＋dvx之间的分子数为nf(vx)dvx.，在所有vx介于vx～vx＋dvx之间的分子中，在一段时间dt内能够与dA相碰的分子只是位于以dA为底，以vxdt为高的柱体内的那一部分，其数目为nf(vx)dvx·vxdtdA=nf(vx)vxdvx·dtdA。取直角坐标系xyz，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA。设180因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在vx～vx＋dvx之间的分子数即为：将上式从0到+∞对vx积分，即求得每秒碰到单位面积上的分子总数为：其中：因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在vx～vx＋dvx181代入前式，即得：由分子的平均速率为：气体碰壁数为：代入前式，即得：由分子的平均速率为：气体碰壁数为：182②推导理想气体的压强公式在dt时间内速度在vx～vx＋dvx，-∞<vy<+∞，-∞<vz<+∞范围内，碰撞在dA面元上的分子数：速度分量为vx的气体分子对面元dA的冲量：

考虑vx>0的分子才能碰上dA面，0<vx<+∞,则气体分子对dA面的总冲量为：②推导理想气体的压强公式在dt时间内速度在vx～vx＋dv183课本P847（2）（3），10

作业题压强为：课本P847（2）（3），10作业题压强为：184§3.玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何§3.玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分185如气体分子处于外力场中，分子能量势能麦克斯韦速度分布律：因子动能理想气体分子仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布zyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(++-=p如气体分子处于外力场中，分子能量势能麦克斯韦速度分布律：因子186玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子经典粒子）按能量分布都与成正比。玻耳兹曼因子（概率因子）分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从统计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能量状态）的概率大得多。玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度为T的平衡态下，187外力场中，分子速度处于

vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz区间内，坐标处于

x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz的空间体积元dV=dxdydz内的分子数为：——玻耳兹曼分布律n0表示在势能εp=0处单位体积内所含各种速度的分子数考虑归一化条件：

+∞外力场中，分子速度处于vx~vx+dvx,vy~188分布在坐标区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内具有各种速度的分子总数：

分布在坐标区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内单位体积内的分子数：

——分子按势能的分布律玻耳兹曼分布律对任何物质的微粒（气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等）在任何保守力场（重力场、电场）中运动的情形都成立。分布在坐标区间