【中学数学解题中的联想思维及运用（7200字论文）】

PAGE12中学数学解题中的联想思维及运用目录TOC\o"1-2"\h\u951联想思维在中学数学中的应用 12757一、联想思维在数学中的发展 123739（一）联想思维的背景 17334（二）联想思维的意义 214831二、联想思维在数学中的作用 24009三、数学解题中常用的联想思维 330639（一）接近联想 328207（二）相似联想 3106（三）普通联想 49271（四）转化联想 413893（五）对比联想 58429（六）逆向联想 529421四、培养学生联想思维的因素 610675五、解题过程中为何要用联想思维及怎么发现运用联想思维 65888（一）联想思维对数学解题的作用 64713（二）促进解题过程中联想思维的发现与运用 611698六、联想思维与创新思维的联系 1027901结论 113733参考文献 12摘要：数学不论是小学、中学还是大学都是重要科目。数学在日常生活中的应用也极广泛。如何帮助学生了解数学解题的思路，让学生正确、快速的解题是教育的重点。本文基于联想思维相关概述，指明联想思维在数学解题中具有重要作用。之后对联想思维中对比联想、接近联想、类比联想、简单联想、逆向联想在中学数学中的具体案例运用分析。之后对联想思维的培养途径进行思考，主要涉及教师的指导和学生自己养成两个方面。关键词：联想思维；数学；运用一、联想思维在数学中的发展（一）联想思维的背景数学是一种工具，推动着人类文明的发展；数学是一门基础学科，是除语言学外学好其他学科的基础；数学又是一种思想方法，训练人们的思维能力.可见，数学的学习对促进社会和个人的发展都有着积极的作用.在数学学习活动中，解题是最基本的活动之一，也是学好数学的基础.但是在现阶段高中数学解题过程以及解题教学中，仍存在多种障碍和困惑，导致解题活动常常不能顺利的进行。联想思维作为一种极为有效的解题的数学思维应运而生。联想是由当前感知的事物回忆起有关另一事物的心理过程。邵建其.2001.认为在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和有关知识的联系。而联想思维是由此想到彼，并同时发现了它们共同的或类似的规律的思维方式，是一种由此及彼的思维活动，在认识活动过程中起着桥梁和纽带的作用。对于一些未知的数学知识，通过已知知识和未知知识之间的联系，从而使一些未知的数学问题得以解决。在数学的具体解题过程中，通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。（二）联想思维的意义先人为主，思维定势是很多学生在解题中存在的普遍现象。由于这一现象，使得一些学生思维得不到很好发展、解题能力得不到提高。在数学解题中，如果能展开联想思维，往往能受到事半功倍的效果。二、联想思维在数学中的作用用于引出新知。用联想引出新知就是借助学生已有的知识、经验（旧知）去联想与之相关的要学习的知识（新知）.教学时，刘晓燕.2000.让学生复习旧知，然后引导学生从已有的知识、经验展开联想，从联想中激发学生的学习兴趣，引出要学习的内容。用于探索新知。教学中，教师有意识地引导学生利用已有的知识、经验去联想与之相关的新知识，学生就能轻松而又系统地获取新的知识，收到事半功倍的效果。用于解决问题。教学中，教师应充分挖掘和运用知识间相似、接近的联系，帮助学生通过联想，激活头脑中既有的相关知识和经验，从而解决问题。用于培养求异思维。应用性、探索性、开放性试题在中考命题中占有一定的分量，这是考查学生发散思维能力的试题，也是时代赋予的特色。学生可以利用以前的解题策略，巧妙地避开了同一法，联想到多方面，巩固了自己的学习经验，积累了学习方法，收到了意想不到的效果。三、数学解题中常用的联想思维（一）接近联想接近联想是由一个事物联想到与之非常接近的另一个事物的过程，即把在时间、空间上相接近的数学知识联系起来的一种思维活动，如由一个锐角的正弦联想到它的余弦、正切、余切，由正方体联想到长方体等。例2设x为锐角，且满足sinx=3cosx，求sinxcosx。解题思路:由锐角的正弦与余弦的关系，联想到sinxtanx=sinxcosx，，可求得tanx=3，进而联想到锐角三角函数定义，又求出sinx=31010，cosx=10（二）相似联想相似联想是由一种事物联想到具有相似特征的另一种事物的过程，即把具有类似特征的两种数学问题联系起来的思维，如由绝对值可联想到算术根，由正数可联想到非负数。例3设a，b，c是互不相等的任意实数，若X=A2-bc，Y=b2-ca，Z=c2-ab，则X，Y，Z()。A.都不小于。B.都不大于0C.至少有一个小于0D.至少有一个大于0解题思路:要判断X，Y，Z的性质符号，可联想到非负数理论，将三式两边分别相加得：X+Y+Z=a2-bc+b2-ca+c2-ab=1(2a2+2b2+22-2ab-2ac-2bc)=1因为a，b，c互不相等，所以X+Y-Z>0。通过分析，X，Y，Z中可以两个为负数，但一个必为正数，且为正数的绝对值应大于另两个负数和的绝对值。故选D。（三）普通联想普通联想是由一个低层次思维的联想，通过求证和推断等方法来实现举一反三触类旁通的过程。例4设实数X，Y，Z满足Z+Y=3X2-2X-1，Z-Y=X2-2X+1，则X，Y，Z的大小关系是什么？解题思路:要比较数的大小关系，联想到作差和作商比较法。由于X，Y，Z的代数式不能约分，故不能用作商比较法，所以选用作差比较法。由题目给出的两个方程求得Y=X2-1，Z=2X2-2X。因为Z-Y=X2-2X+1=(X-1)2≥0，所以Z≥Y，因为Y-X=X2-X+1=（X-12）2+3（四）转化联想三角函数总共有六个诱导公式，学生容易混淆并对其符号经常判断错误.为了便于学生理解记忆，金美玲.2008认为导学生及时对其进行归纳总结，并提炼出其中的数学思想方法.首先，对公式的形成过程，教师应带领大家再次体会数形结合的思想，引导学生从单位圆的对称性上去理解记忆六个公式。其次，对于公式的应用进行总结，得出利用公式一～公式四，将任意角三角函数转化为锐角三角函数求解的方法，具体可按如下步骤。这实际上体现了从未知到已知的转化联想。用公式任意正角的三角函数任意负角的三角函数用公式任意正角的三角函数任意负角的三角函数三或一三或一用公式一用公式一用公式0~2π的三角函数锐角三角函数用公式0~2π的三角函数锐角三角函数二或四二或四图1转化联想运用（五）对比联想对比联想是由于对某一事物的感知和回忆，从而引起对与之具有相反特点的事物的回忆，即把对立的数学问题联系起来的一种思维活动，如由等式想到不等式、由有理数想到无理数等。例1若方程(x-2)(x2-4x+4m)=0的三根可以作为一个三角形的下边长，求实数的取值范围。解题思路:由方程联想到三角形两边之差小于第三边的不等式｜x1-x2｜<2，结合根与系数的关系，x1+x2=4，x1x2=4m，从而可得子34（六）逆向联想在解决有关问题时，若正面解决有困难，可以从反面去思考，从而使问题妥善解决，这就是我们常说的逆向联想。例，今有圆材，埋于墙壁，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？教师通过以下几个步骤来帮助学生完成此题。1.把一张圆形纸片沿任意一条直径对折，你会发现什么？这说明了什么？2.在上述圆形纸片中再作一条与这条直径垂直的弦，仔细观察图形，尽可能多地找出各种关系，并归纳成几何命题。3.选用所学知识，证明所得命题。4.进一步分析所得命题的题设和结论。5.在另一张圆形纸片上任意画一条弦，作这条弦的垂直平分线，观察这条直线，能得到什么结论？6.剖析垂径定理和由问题5得到的推论，你发现了什么？还能得出什么结论？7.分析学生的研究结果，归纳垂径定理的推论。以上几种联想各有各自的方式和特点，但其中也有交叉点地方，例如接近联想，类比联想有时也是一种关系联想。在数学思维中，各种联想常常交替出现，或复合重叠，以更高级的方式综合进行。马金凤罗小琴2007.认为在解数学题过程中，善于运用各种联想进行思考，解题就能够简捷新颖，富于创造性。四、培养学生联想思维的因素以探究为主，以做题为辅。现阶段，多数教师在解题教学中仍只强调解题策略和解题技巧的训练，导致学生一直处于机械式模仿的水平上，遇见稍加变形的题目则无从下手。这实际上也是由于教师在解题教学中，只是就题论题，没有揭示其中蕴涵的数学思想方法。因此，教师在今后的教学中，应通过问题解决的探究过程，段志贵.联想2003.让学生真正领悟到其中的数学思想方法，并通过反复的应用练习，让学生将其吸收成为自己解题的工具，有效的指导解题时的思维。在平常的解题教学中，多数教师还会向学生灌输“一题多解”的思维方式，这实际上是想通过对同一个问题的不同思考，从不同角度向学生揭示问题中所隐含的数学思想方法。五、解题过程中为何要用联想思维及怎么发现运用联想思维（一）联想思维对数学解题的作用众所周知，中学是学生学习成长的关键时期，为了促进学生的学习成绩提高，教师可以通过联想思维的培养来提高学生数学解题能力。孙凤军.1997认为联想思维可以将数学理论知识与实际对象联系在一起，在整个活动中起到桥梁作用。学生在数学解题过程中，可以以题目中的图形特征联想到其他相关定义、法则，从而找到解题思路.联想思维对学生学习效率的提高具有至关重要的作用。通过联想，可以实现新旧知识的沟通，帮助学生形成完整的知识网络，以此提高学生数学思维能力及创新能力。（二）促进解题过程中联想思维的发现与运用1.创设类比情境，激发学生兴趣学生学习思维的主动性、积极性的调劝，很大程度上取决于学生的兴趣。在教学中教师应根据学生的兴趣需求，创设类比性的情境，寓理于情，使学生带着一种高涨的热情进行学习与思考，从而展开师生互动的有效教学。特别需要注意的是，教师在设置情境问题时，从思维逻辑上是连续的，环环紧扣的，例如，在培养学生由二维空间思维向三维空间思维拓展时，采用如下的联想教学万法:（1）提出问题，联系生活实际问题:一次会议有十人参加，每两人握手问好一次，请同学们计算共要握多少次手？教师可以引导学生先从两人握手开始计算握手次数，然后依次增加到三人、四人、五人，让学生通过小组合作讨论学习，并记录握手次数，通过亲身体验发现规律。（2）适时归纳，确定万法教师在参与小组合作讨论中，适时地选择具有代表性的小组，让其展示其解决过程与万法。然后，教师不失时机地引导、归纳和总结。（3）联想拓展，推广普及利用上面的这种思维万法，联想发散，可拓展到数学中许多类似问题的解决。学生学到了创造性解决问题的方法，并构建了二维空间思维，初步明确了联想思维的核心是归类联系，拓展引申。收获大大地激发学生的求知欲。2.理解深化，引申探索如果说思维是思维活动的最高表现，则联想思维应该是创新思、维的起点，因此必须鼓励学生有根据地将思维引向深处、广处，周清婵2012.让他们的思维发散于不同的万向。在学生进入积极思维后，教师应该设置连续性的，一环扣一环的生活实例问题，诱导其思维向二元化、三元化的万向发展。问题1.利用联想思维的方法计算并推导你家地板砖组成的正万形的个数。问题2.利用联想思维的万法，计算并推导魔万中所有大小正方体的个数。以上教学过程，从情境到质疑，步步为营，环环紧扣，设计了让学生动手、动脑的实践活动内容，组织他们小组讨论，积极探究，层层深入，使学生始终保持浓厚的兴趣和学习积极性，整节课处于一种积极探究知识，寻找答案的状态之中，不断地在解决问题中进行联想，促进学生思维在学习活动中得到发展，从而培养学生的创新精神，提高学生的思维品质、思维习惯，为正确树立人生观和价值观奠定良好的基础。3.为学生提供联想思维的机会联想思维是从不同方向来考虑解决问题的多种可能性的思维过程，在教学中，有意识地让学生探讨问题解决的多种可能的途径，有利于其联想思维的培养。例如:证明一条线段是另一条线段的2倍时，有如下一些途径:①作短线段的二倍线段，证明二倍线段等于长线段。②取长线段的一半，证明一半的线段等于短线段;③如果长线段是某直角三角形的斜边时，取斜边上的中线，证明斜边的中线等于短线段。④有四个以上的中点条件时，考虑能否通过三角形中位线定理来证明。当然，这些途径都应通过具体的例子来寻找。4.建立新型师生关系，营造思维活动范围首先，要使学生积极主动地探求知识，发挥创造性，必须摒弃课堂上老师是主角，少数学生是配角，大多数学生是观众、听众的教学模式。因为这种课堂教学往往过多地发挥教师的主导作用，限制了学生思维开发。教师应以训练学生创新能力为目的，以培养学生的联想思维为根本，保留学生自己的空间，尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待学生，使学生真正成为学习的主人，形成一种宽松和谐的教育环境。李晖.联想.2007认为只有在这种氛围中，学生才能充分发挥自己的聪明才智和创造想象的能力。班集体能集思广益，有利于学生之间的多向交流，在班集体中，取长补短，课堂教学中有意识地搞好合作教学，使教师、学生的角色处于随时互换的动态变化中，设计集体讨论，差缺互补，分组操作等内容，锻炼学生的合作能力。特别是一些不易解决的问题，让学生在班集体中开展讨论，这是营造新环境，发扬教学民主环境在班集体中的表现。学生在轻松的环境下，畅所欲言，各抒己见，敢于发表独立的见解，或修正他人的想法，将几个想法组合为一个最佳的想法，从而在学习过程中，培养学生的联想思维能力。5.联想思维训练学生要使自己拥有卓越的想象能力，首先要不断丰富知识、扩大知识面，一旦遇到有通感的事物，联想就会很快展开。其次要有联想意识。对于要解决的问题，有意识地从它的正、反面，以及与它相近、相似的关联事物和经验中，多角度地进行思考，从而找到解决问题的线索。再次要在学习过程中，有意识地进行联想训练，使自己联想技巧得以提高。6.养成良好的数学学习习惯良好的数学学习习惯是学好数学的前提，也是提高数学解题质量的关键。为了提高解题质量，克服解题障碍，在数学学习中，学生应对自己进行严格要求，努力养成良好的数学学习习惯。主要可以从以下几个方面入手：首先，积极主动的参与数学学习，养成课前预习，课后复习的好习惯。在新课改的理念下，多数学校都采用了导学案，让学生在课前进行自主学习，完成导学案上的基础题，并标记难以解决的问题，留到课上讨论。如此的教学模式，体现了以学生为主体的理念，让学生主动参与学习，同时也强调了课前预习的重要性。因此，在数学的学习中，学生在课前应做好预习工作，通过预习，初步了解本节课的重点和难点，并找出自己难以理解的问题，从而带着疑问有目的的进行课堂学习。在上课期间，应集中精力跟着老师的思路走，积极参与课堂的活动与练习，并做好课堂笔记。当然，不可盲目记笔记，应根据实际情况，把自己薄弱的知识点以及教师反复强调的重点知识进行记录。当一堂课结束，应及时进行复习，对课堂笔记以及课本上的知识进行梳理，并进一步理解记忆。其次，养成良好的数学解题习惯。良好解题习惯主要是指在解题时做好认真审题、仔细分析、书写规范以及反思验算四个方面。为了养成这样的习惯，学生应从日常的解题活动出发，做到每个题目都能按照上述的步骤进行，即使是很简单的问题，也要有四步走的意识，从而渐渐地形成习惯。一旦养成了这样良好的解题习惯，在今后的解题中即便不刻意遵循四步骤，也能较好完成解题，大大提高解题的正确率。最后，学生还应养成收集错题的习惯。由于每道错题都能呈现出原来错误的思维，暴露解题者在某个方面的缺陷，因此，在日常的数学学习中，学生应将自己在练习以及考试中出错的题目进行分类总结，从而更好的找到自己的薄弱点，有目标的进行训练。在收集错题的时候，可根据题目所涉及的知识点进行分类，通过在错题集的首页建立目录式的知识框架，按照框架的顺序将错题进行对号入座，方便今后查找；也可按出错的原因进行分类，如由于粗心出错，题意理解错误，或是知识点掌握不好等。总而言之，错题集需要按照一定的规律进行整理，以便今后复习所需。当然，还得养成对所收集的错题进行及时复习的习惯，否则等于做了无用功，即浪费时间也浪费精力。另外，复习应有较强的针对性，不能单单就题论题，应对错题所涉及的知识点以及错误的原因进行复习，抓住自己薄弱环节，有针对性的加强训练。通过这样反复的回顾总结，不仅可以加深对原有知识的理解，避免今后频繁出现类似问题，还可以掌握自己思维的缺陷，更好的进行思维训练。六、联想思维与创新思维的联系创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，提出与众不同的解决方案，从而产生新颖的、独到的、有社会意义的思维成果。联想思维有着广泛的基础，它为我们提供了无限广阔的天地，一个人如果不会运用联想思维，学一点就只知道一点，那么他的知识是零碎的、孤立的，派不上什么用处；可如果他善于运用联想思维，就会由此及彼扩展开去，做到举一反三，闻