信号与线性系统分析第5章课件

富兰克林(1706-1790)

本杰明.富兰克林——资本主义精神最完美的代表，十八世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家。他一生最真实的写照是他自己所说过的一句话“诚实和勤勉，应该成为你永久的伴侣。”富兰克林通过著名的风筝的实验证明了雷电的本质，并发明了避雷针。富兰克林对科学的贡献不仅在静电学方面，他的研究范围极其广泛。在数学方面，他创造了八次和十六次幻方，这两种幻方性质特殊，变化复杂，至今尚为学者称道；在热学中，他改良了取暖的炉子，可以节省四分之三燃料，被称为“富兰克林炉”；在光学方面，他发明了老年人用的双焦距眼镜，戴上这种眼镜既可以看清近处的东西，也可看清远处的东西。他和剑桥大学的哈特莱共同利用醚的蒸发得到负二十五度（摄氏）的低温，创造了蒸发致冷的理论。此外，他对气象、地质、声学及海洋航行等方面都有研究，并取得了不少成就。富兰克不仅是一位优秀的科学家，而且还是一位杰出的社会活动家。他一生用了不少时间去从事社会活动，并参加了第二届大陆会议和《独立宣言》的起草工作。富兰克林特别重视教育，他兴办图书馆、组织和创立多个协会都是为了提高各阶层人的文化素质。2023/1/4富兰克林(1706-1790)次幻方，这两种幻方性质特殊15.1拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的性质5.3拉普拉斯逆变换5.4复频域分析5.5双边拉普拉斯变换一、基本内容第五章连续系统的s域分析2023/1/45.1拉普拉斯变换一、基本内容第五章连续系统的s域分析2

拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的s域分析方法。二、重点

拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。三、难点2023/1/4拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的s域分析方3第五章连续系统的s域分析

频域分析：以虚指数信号ejωt为基本信号，所采用的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t)，对于给定初始状态的线性系统难于利用频域分析。

s域分析：本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。2023/1/4第五章连续系统的s域分析频域分析：以虚指数419世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算子法）解决电工程运算的一些基本问题。他所进行的工作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与严密的数学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换方法在电学、力学。。。等众多的工程与科学领域得到广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨论。2023/1/419世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算子法）解决5拉斯变换的优点表现在：求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和补解，而且初始条件自动的包含在变换式里。拉斯变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算。指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数。拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一重要的概念为研究信号经线性系统传输提供了许多方便。利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性能的许多规律。2023/1/4拉斯变换的优点表现在：2022/12/2765.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=Fb(+j)=

ℱ[f(t)e-t]=2023/1/45.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满7双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

令s=+j,d=ds/j，有2023/1/4双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象8二、收敛域

只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的收敛域，记为ROC。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。2023/1/4二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(9例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。

解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界2023/1/4例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯10例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。

解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。2023/1/4例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉11例3双边信号求其拉普拉斯变换。

求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

仅当>时，其收敛域为<Re[s]<的一个带状区域，如图所示。

2023/1/4例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解其双12例4求下列信号的双边拉氏变换。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。2023/1/4例4求下列信号的双边拉氏变换。解Re[s]=>–13通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。2023/1/4通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样14三、（单边）拉普拉斯变换

简记为F(s)=£[f(t)]f(t)=£

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)象函数F(s)存在（即拉普拉斯积分式收敛）定理：如因果函数f(t)满足：（1）在有限区间a<t<b内（其中0≤a<b<∞）可积，（2）对于某个σ0有则对于Re[s]=σ>σ0，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。2023/1/4三、（单边）拉普拉斯变换简记为F(s)=£[f(t)]象函15*几个常见函数的拉普拉斯变换

1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指数函数e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→2023/1/4*几个常见函数的拉普拉斯变换1、(t)←→1，>-164、周期信号fT(t)特例：T(t)←→1/(1–e-sT)2023/1/44、周期信号fT(t)特例：T(t)←→1/(1175.2拉普拉斯变换的性质一、线性若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有实数a>0，则f(at)←→Re[s]>a0

2023/1/45.2拉普拉斯变换的性质一、线性若f1(t)←→F1(s18例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)2023/1/4例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)19三、时移（延时）特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0

与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)2023/1/4三、时移（延时）特性若f(t)<----->F(s),20例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?2023/1/4例2:已知f1(t)←→F1(s),解：f2(t)=21四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)2023/1/4四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),R22五、时域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)

f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:例3:2023/1/4五、时域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),R23六、时域积分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则例1:t2(t)<---->?2023/1/4六、时域积分特性（定理）若f(t)←→F(s),R24例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求导得f’(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)←→Fn(s)

则f(t)←→Fn(s)/sn2023/1/4例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求25七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域卷积定理

例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=例3：2023/1/4七、卷积定理时域卷积定理复频域卷积定理例1：tε(t)26八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→2023/1/4八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s27例2：例3：2023/1/4例2：例3：2022/12/2728九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)。初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则终值定理(SF(S)的极点全部位于S左半平面)若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，则2023/1/4九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直29例1：例2：2023/1/4例1：例2：2022/12/27305.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表法（2）利用性质（3）部分分式展开法-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。2023/1/45.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数31由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。

*部分分式展开法*若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为

式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。

2023/1/4由于L-1[1]=(t)，L-1[sn]=(n)(t32（1）F(s)为单极点（单根）例1:2023/1/4（1）F(s)为单极点（单根）例1:2022/12/27332023/1/42022/12/2734例2:2023/1/4例2:2022/12/27352023/1/42022/12/2736（2）F(s)有共轭单极点(p1,2=–±j)K2=K1*

f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若写为K1,2=A±jBf1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)2023/1/4（2）F(s)有共轭单极点(p1,2=–±j)K237例3:2023/1/4例3:2022/12/27382023/1/42022/12/2739例4：

求象函数F(s)的原函数f(t)。

解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=–1，s3,4=j1，s5,6=–1j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*2023/1/4例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。解：A(s)=040（3）F(s)有重极点（重根）

若A(s)=0在s=p1处有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

2023/1/4（3）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=41举例:2023/1/4举例:2022/12/27422023/1/42022/12/27435.4复频域系统分析

一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为

系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则f(j)(t)←→sjF(s)2023/1/45.4复频域系统分析一、微分方程的变换解描述n阶系统44例1

描述某LTI系统的微分方程为

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)。解：方程取拉氏变换，并整理得y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代数方程Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4例1描述某LTI系统的微分方程为解：方程取拉氏变换，并整45y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t)若已知y(0+)=1，y'(0+)=9Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)46二、系统函数

系统函数H(s)定义为

它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L

[h(t)]Yzs(s)=L[h(t)]F(s)2023/1/4二、系统函数系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件47例2

已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应

yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f(t)

2023/1/4例2已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果48三、系统的s域框图

时域框图基本单元∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s域框图基本单元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++2023/1/4三、系统的s域框图时域框图基本单元∫f(t)af(t)y(49X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3

如图框图，列出其微分方程。解

画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f(t)再求h(t)?2023/1/4X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3如图框图，列出其微50四、电路的s域模型对时域电路取拉氏变换

1、电阻u(t)=R

i(t)2、电感U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)U(s)=R

I(s)元件的s域模型2023/1/4四、电路的s域模型对时域电路取拉氏变换1、电阻u(t513、电容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)4、KCL、KVL方程2023/1/43、电容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)4、52例4

如图所示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=δ(t)，起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。解画出电路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V若求uzi(t)和uzs(t)2023/1/4例4如图所示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(53五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>0

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：（1）0<0，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且F(j)=F(s)s=j如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；则F(j)=1/(j+2)2023/1/4五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>0要讨论54（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）0>0，F(j)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里叶变换不存在。2023/1/4（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，如f(t)555.5双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换存在Fb(s)的条件：如果函数f(t)在有限区间内可积，且对于实常数σ1，σ2，有则在σ1<Re[s]<σ2的带状区域内，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。2023/1/45.5双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换存在Fb(s)的条56满足上述两式的函数f(t)称为指数阶函数。在复平面上带状区域σ1<Re[s]<σ2称为双边拉普拉斯变换的收敛域。双边拉普拉斯变换仅在其收敛域内收敛，其更确切地写为2023/1/4满足上述两式的函数f(t)称为指数阶函数。2022/12/2577.1系统函数与系统特性7.2系统的因果性与稳定性7.3信号流图7.4系统的结构一、基本内容第七章系统函数2023/1/47.1系统函数与系统特性一、基本内容第七章系统函数2058

系统函数和系统特性。二、重点

系统的因果性和稳定性。三、难点2023/1/4系统函数和系统特性。二、重点系统的因果597.1系统函数与系统特性一、系统函数的零点与极点LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(s)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(s)的极点；B(s)=0的根z1，z2，…，zm称为系统函数H(s)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例2023/1/47.1系统函数与系统特性一、系统函数的零点与极点LTI系60例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有2023/1/4例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求61二、系统函数与时域响应

冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(s)的极点确定。下面讨论H(s)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1．连续因果系统

H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面

若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则A(s)中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)2023/1/4二、系统函数与时域响应冲激响应或单位序列响应的函数形式由H62(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]---Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)

以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数2023/1/4(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有63（3）在右半开平面：均为递增函数。

综合结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。

③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。2023/1/4（3）在右半开平面：均为递增函数。综合结论：①H(s)64三、系统函数与频率响应1、连续因果系统若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=jω)也收敛，有H(jω)=H(s)|s=jω

，下面介绍两种常见的系统。

（1）全通函数

若系统的幅频响应|H(jω)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。2023/1/4三、系统函数与频率响应1、连续因果系统若系统函数H(s)65（2）最小相移函数

右半开平面没有零、极点的系统函数称为最小相移函数。2、频率特性的绘制2023/1/4（2）最小相移函数右半开平面没有零、极点的系统函数称为最小662023/1/42022/12/27672023/1/42022/12/27682023/1/42022/12/27692023/1/42022/12/27702023/1/42022/12/27717.2系统的因果性与稳定性一、系统的因果性

因果系统是指，系统的零状态响应yf(t)不会出现于f(t)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应h(t)=0,t<0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0

2023/1/47.2系统的因果性与稳定性一、系统的因果性72二、系统的稳定性1、稳定系统的定义

一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(t)|≤Mf

，其零状态响应|yzs(t)|≤My，则称该系统稳定。（1）连续系统稳定的充分必要条件是若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。2023/1/4二、系统的稳定性1、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有73因果系统稳定性的充分必要条件可简化为

（3）连续因果系统

因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。2023/1/4因果系统稳定性的充分必要条件可简化为（3）连续因果系统因74例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)]

解：设加法器的输出信号X(s)

X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=KG(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)H(s)的极点为为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k<(3/2)2,k<2，即当k<2，系统稳定。2023/1/4例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？75**连续因果系统稳定性判断准则——罗斯-霍尔维兹准则

对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。1、必要条件—简单方法

一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺项；（2）系数的符号相同。

例1

A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异，不稳定例2

A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不稳定例3

A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。2023/1/4**连续因果系统稳定性判断准则——罗斯-霍尔维兹准则762、罗斯列表

将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列规则计算得到：…第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。2023/1/42、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列77特例：对于二阶系统A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a1>0，a0>0例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：212218028.502第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。

2023/1/4特例：对于二阶系统A(s)=a2s2+a1s+a0，若a278例2已知某因果系统函数为使系统稳定，k应满足什么条件？

解列罗斯阵列

331+k(8-k)/31+k所以，–1<k<8，系统稳定。

2023/1/4例2已知某因果系统函数为使系统稳定，k应满足什么条件？797.3信号流图

用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。

信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。一、信号流图1、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。2、信号流图中常用术语2023/1/47.3信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。信80(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。(3)源点与汇点，混合结点：仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。有入有出的结点为混合结点

2023/1/4(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(281沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：2023/1/4沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。(5)前向通路823、信号流图的基本性质

（1）信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。（2）当结点有多个输入时，该接点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。如：x4=ax1+bx2+dx5

x3=cx4

x6=ex4（3）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变为汇点。2023/1/43、信号流图的基本性质（1）信号只能沿支路箭头方向传输。（834、方框图流图注意：加法器前引入增益为1的支路5、流图简化的基本规则：（1）支路串联：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。

X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X12023/1/44、方框图流图注意：加法器前引入增益为1的支路5、流84（3）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X22023/1/4（3）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=85（4）自环的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有来向支路除1–H32023/1/4（4）自环的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有86二、梅森公式上述化简求H复杂。利用Mason公式方便。

系统函数H(.)记为H。梅森公式为：称为信号流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；为所有两两不接触回路的增益乘积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和；…i表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号Pi

是由源点到汇点的第i条前向通路增益；

△i

称为第i条前向通路特征行列式的余因子。消去接触回路

2023/1/4二、梅森公式上述化简求H复杂。利用Mason公式方便。系87例

求下列信号流图的系统函数解

(1)首先找出所有回路：

L1=H3GL2=2H1H2H3H5

L3=H1H4H5

(2)求特征行列式

△=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子：△1=1，△2=1-GH3

(3)然后找出所有的前向通路：

p1=2H1H2H3

p2=H1H4

**对框图也可利用梅森公式求系统函数。**2023/1/4例求下列信号流图的系统函数解(1)首先找出所有回路：887.4系统的结构Mason公式是由流图H(s)下面讨论，由H(s)流图或方框图一、直接实现---利用Mason公式来实现

分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。2023/1/47.4系统的结构Mason公式是由流图H(s)一89二、级联和并联实现（1）级联形式：将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即H=H1H2…Hn

（2）并联形式：将H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。2023/1/4二、级联和并联实现（1）级联形式：将H分解为若干简单（一阶或90一阶子系统函数二阶子系统函数2023/1/4一阶子系统函数二阶子系统函数2022/12/2791例H(s)=(1)级联形式(2)并联形式2023/1/4例H(s)=(1)级联形式(2)并联形式2022/1292一、拉普拉斯变换与逆变换本章小结二、拉普拉斯变换的性质三、复频域分析四、系统函数五、Routh判据六、信号流图及Mason公式2023/1/4一、拉普拉斯变换与逆变换本章小结二、拉普拉斯变换的性质三、复93P263:5.1(2)(4)(6)(8);5.3(2)(4)(6)(8)P264:5.6(2);5.8(2)(4)(6)(8)P265:5.11(2);5.12(2)P266:5.14(2)(4);5.15(2);5.16(2)5.17(2);5.20P267:5.25P270:5.41;5.42第五章作业重要习题2023/1/4P263:5.1(2)(4)(6)(8);5.3(2)(494富兰克林(1706-1790)

本杰明.富兰克林——资本主义精神最完美的代表，十八世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家。他一生最真实的写照是他自己所说过的一句话“诚实和勤勉，应该成为你永久的伴侣。”富兰克林通过著名的风筝的实验证明了雷电的本质，并发明了避雷针。富兰克林对科学的贡献不仅在静电学方面，他的研究范围极其广泛。在数学方面，他创造了八次和十六次幻方，这两种幻方性质特殊，变化复杂，至今尚为学者称道；在热学中，他改良了取暖的炉子，可以节省四分之三燃料，被称为“富兰克林炉”；在光学方面，他发明了老年人用的双焦距眼镜，戴上这种眼镜既可以看清近处的东西，也可看清远处的东西。他和剑桥大学的哈特莱共同利用醚的蒸发得到负二十五度（摄氏）的低温，创造了蒸发致冷的理论。此外，他对气象、地质、声学及海洋航行等方面都有研究，并取得了不少成就。富兰克不仅是一位优秀的科学家，而且还是一位杰出的社会活动家。他一生用了不少时间去从事社会活动，并参加了第二届大陆会议和《独立宣言》的起草工作。富兰克林特别重视教育，他兴办图书馆、组织和创立多个协会都是为了提高各阶层人的文化素质。2023/1/4富兰克林(1706-1790)次幻方，这两种幻方性质特殊955.1拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的性质5.3拉普拉斯逆变换5.4复频域分析5.5双边拉普拉斯变换一、基本内容第五章连续系统的s域分析2023/1/45.1拉普拉斯变换一、基本内容第五章连续系统的s域分析96

拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的s域分析方法。二、重点

拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。三、难点2023/1/4拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的s域分析方97第五章连续系统的s域分析

频域分析：以虚指数信号ejωt为基本信号，所采用的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t)，对于给定初始状态的线性系统难于利用频域分析。

s域分析：本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。2023/1/4第五章连续系统的s域分析频域分析：以虚指数9819世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算子法）解决电工程运算的一些基本问题。他所进行的工作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与严密的数学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换方法在电学、力学。。。等众多的工程与科学领域得到广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨论。2023/1/419世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算子法）解决99拉斯变换的优点表现在：求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和补解，而且初始条件自动的包含在变换式里。拉斯变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算。指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数。拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一重要的概念为研究信号经线性系统传输提供了许多方便。利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性能的许多规律。2023/1/4拉斯变换的优点表现在：2022/12/271005.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=Fb(+j)=

ℱ[f(t)e-t]=2023/1/45.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满101双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

令s=+j,d=ds/j，有2023/1/4双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象102二、收敛域

只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的收敛域，记为ROC。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。2023/1/4二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(103例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。

解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界2023/1/4例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯104例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。

解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。2023/1/4例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉105例3双边信号求其拉普拉斯变换。

求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

仅当>时，其收敛域为<Re[s]<的一个带状区域，如图所示。

2023/1/4例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解其双106例4求下列信号的双边拉氏变换。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。2023/1/4例4求下列信号的双边拉氏变换。解Re[s]=>–107通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。2023/1/4通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样108三、（单边）拉普拉斯变换

简记为F(s)=£[f(t)]f(t)=£

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)象函数F(s)存在（即拉普拉斯积分式收敛）定理：如因果函数f(t)满足：（1）在有限区间a<t<b内（其中0≤a<b<∞）可积，（2）对于某个σ0有则对于Re[s]=σ>σ0，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。2023/1/4三、（单边）拉普拉斯变换简记为F(s)=£[f(t)]象函109*几个常见函数的拉普拉斯变换

1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指数函数e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→2023/1/4*几个常见函数的拉普拉斯变换1、(t)←→1，>-1104、周期信号fT(t)特例：T(t)←→1/(1–e-sT)2023/1/44、周期信号fT(t)特例：T(t)←→1/(11115.2拉普拉斯变换的性质一、线性若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有实数a>0，则f(at)←→Re[s]>a0

2023/1/45.2拉普拉斯变换的性质一、线性若f1(t)←→F1(s112例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)2023/1/4例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)113三、时移（延时）特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0

与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)2023/1/4三、时移（延时）特性若f(t)<----->F(s),114例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?2023/1/4例2:已知f1(t)←→F1(s),解：f2(t)=115四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)2023/1/4四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),R116五、时域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)

f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:例3:2023/1/4五、时域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),R117六、时域积分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则例1:t2(t)<---->?2023/1/4六、时域积分特性（定理）若f(t)←→F(s),R118例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求导得f’(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)←→Fn(s)

则f(t)←→Fn(s)/sn2023/1/4例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求119七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域卷积定理

例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=例3：2023/1/4七、卷积定理时域卷积定理复频域卷积定理例1：tε(t)120八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→2023/1/4八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s121例2：例3：2023/1/4例2：例3：2022/12/27122九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)。初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则终值定理(SF(S)的极点全部位于S左半平面)若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，则2023/1/4九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直123例1：例2：2023/1/4例1：例2：2022/12/271245.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表法（2）利用性质（3）部分分式展开法-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。2023/1/45.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数125由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。

*部分分式展开法*若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为

式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。

2023/1/4由于L-1[1]=(t)，L-1[sn]=(n)(t126（1）F(s)为单极点（单根）例1:2023/1/4（1）F(s)为单极点（单根）例1:2022/12/271272023/1/42022/12/27128例2:2023/1/4例2:2022/12/271292023/1/42022/12/27130（2）F(s)有共轭单极点(p1,2=–±j)K2=K1*

f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若写为K1,2=A±jBf1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)2023/1/4（2）F(s)有共轭单极点(p1,2=–±j)K2131例3:2023/1/4例3:2022/12/271322023/1/42022/12/27133例4：

求象函数F(s)的原函数f(t)。

解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=–1，s3,4=j1，s5,6=–1j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*2023/1/4例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。解：A(s)=0134（3）F(s)有重极点（重根）

若A(s)=0在s=p1处有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

2023/1/4（3）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=135举例:2023/1/4举例:2022/12/271362023/1/42022/12/271375.4复频域系统分析

一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为

系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则f(j)(t)←→sjF(s)2023/1/45.4复频域系统分析一、微分方程的变换解描述n阶系统138例1

描述某LTI系统的微分方程为

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)。解：方程取拉氏变换，并整理得y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代数方程Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4例1描述某LTI系统的微分方程为解：方程取拉氏变换，并整139y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t)若已知y(0+)=1，y'(0+)=9Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)140二、系统函数

系统函数H(s)定义为

它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L

[h(t)]Yzs(s)=